Планиметрия курс — различия между версиями

Материал из Коми тӧданін
(Пельӧс йылысь аксиомаяс)
(Пельӧс йылысь аксиомаяс)
Строка 102: Строка 102:
  
 
'''Эскӧдӧм'''. Мед ''O'' – индӧм пельӧслӧн йыв, ''OM'' – индӧм визьньӧв. Урчитӧм серти, ''OM'' вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ ''AB'' вундӧгкӧд, кӧні ''A'' да ''B'' чутъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас. Мед ''CD'' – мӧд вундӧг, ''C'' куйлӧ ''OA'' визьньӧв вылын, ''D'' куйлӧ ''OB'' визьньӧв вылын. ''OM'' веськыд визь юкӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ; аксиома серти, ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын. ''A'' да ''C'' чутъяс куйлӧны ''OA'' визьньӧв вылын, та вӧсна найӧ куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынын ''OM'' веськыд визь серти. Сідзи жӧ артмӧ: ''B'' да ''D'' чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынын ''OM'' веськыд визь серти. Сідзкӧ, ''CD'' вундӧг вомӧнасьӧ ''OM'' веськыд визькӧд. Вомӧнасян чут да ''C'' чут куйлӧны ӧти тшӧткӧсджынын ''OB'' веськыд визь серти. Сідзкӧ, ''CD'' вундӧг вомӧнасьӧ ''OM'' визьньӧвкӧд.
 
'''Эскӧдӧм'''. Мед ''O'' – индӧм пельӧслӧн йыв, ''OM'' – индӧм визьньӧв. Урчитӧм серти, ''OM'' вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ ''AB'' вундӧгкӧд, кӧні ''A'' да ''B'' чутъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас. Мед ''CD'' – мӧд вундӧг, ''C'' куйлӧ ''OA'' визьньӧв вылын, ''D'' куйлӧ ''OB'' визьньӧв вылын. ''OM'' веськыд визь юкӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ; аксиома серти, ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын. ''A'' да ''C'' чутъяс куйлӧны ''OA'' визьньӧв вылын, та вӧсна найӧ куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынын ''OM'' веськыд визь серти. Сідзи жӧ артмӧ: ''B'' да ''D'' чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынын ''OM'' веськыд визь серти. Сідзкӧ, ''CD'' вундӧг вомӧнасьӧ ''OM'' веськыд визькӧд. Вомӧнасян чут да ''C'' чут куйлӧны ӧти тшӧткӧсджынын ''OB'' веськыд визь серти. Сідзкӧ, ''CD'' вундӧг вомӧнасьӧ ''OM'' визьньӧвкӧд.
 +
 +
Пельӧслӧн доръясыс кӧ артмӧдӧны веськыд визь, сійӧ шусьӧ павтыртӧм пельӧсӧн.
  
 
'''Аксиома.''' 1) Быд пельӧслӧн эм плюса градуса муртӧс.  
 
'''Аксиома.''' 1) Быд пельӧслӧн эм плюса градуса муртӧс.  
Строка 116: Строка 118:
  
 
'''Эскӧдӧм.''' Орчча пельӧсъяс артмӧдӧны павтыртӧм пельӧссӧ, кодлӧн ыдждаыс 180°. Сідзкӧ, аксиома серти, налӧн содтасыс лоас 180°.
 
'''Эскӧдӧм.''' Орчча пельӧсъяс артмӧдӧны павтыртӧм пельӧссӧ, кодлӧн ыдждаыс 180°. Сідзкӧ, аксиома серти, налӧн содтасыс лоас 180°.
 +
 +
Пельӧсыс кӧ 90° ыджда, сыкӧд орчча пельӧсыс сідзжӧ 90° ыджда.
 +
 +
Пельӧс шусьӧ ёсьӧн, сылӧн градуса муртӧсыс кӧ 90°-ысь этшаджык; веськыдӧн, сійӧ кӧ 90° ыджда; тшӧтшыдӧн, сійӧ кӧ 90°-ысь ыджыдджык.
  
 
'''Урчитӧм.''' Кык пельӧс шусьӧ сувтсаӧн, ӧтиыслӧн доръясыс кӧ лоӧны мӧд пельӧсса доръяслӧн нюжӧдӧмӧн.
 
'''Урчитӧм.''' Кык пельӧс шусьӧ сувтсаӧн, ӧтиыслӧн доръясыс кӧ лоӧны мӧд пельӧсса доръяслӧн нюжӧдӧмӧн.

Версия 15:20, 30 сора 2020

Веськыд визь йылысь аксиомаяс

тшӧтшкӧс – плоскость
веськыд визь – прямая
чут – точка
мыгӧр – фигура
кывкӧртӧд – следствие
эскӧдӧм – доказательство
кыв вожалӧм – противоречие

Планиметрияӧн шусьӧ геометриялӧн юкӧн, кӧні велӧдӧны тшӧтшкӧсвывса мыгӧръяс.

Тшӧтшкӧслысь, веськыд визьлысь, чутлысь медшӧр торъяланлунъяссӧ индам аксиомаяс пыр.

Аксиома. Эм кӧ тшӧтшкӧсын веськыд визь, сэк тшӧтшкӧсса чутъяс пӧвстысь кодсюрӧяс лоасны тайӧ визьын, а мукӧдыс сыысь ортсын.

Viz vylyn sajyn.jpg

Аксиома. Кык торъялана чут пыр позьӧ нуӧдны веськыд визь; татшӧм визьыс овлӧ сӧмын ӧти.

Kyk cut pyr.jpg

Кывкӧртӧд. Вомӧнасьӧны кӧ кык торъялана веськыд визь, вомӧнасян чутныс лоӧ сӧмын ӧти.

Эскӧдӧм. Мед, шуам, веськыд визьясыс вомӧнасьӧны торъялана кык чутын. Сідзкӧ, тайӧ чутъяс пырыс позьӧ гижтыны кык торъялана веськыд визь. А аксиомаыд серти, татшӧм визьыс на пыр вермас мунны сӧмын ӧти. Артмӧ кыв вожалӧм.

Eti vomenasjan cut1.jpg

Вундӧг

вундӧг – отрезок

Аксиома. Ӧти веськыд визьса куим торъялан чут пиысь ӧтиыс лоӧ мӧд кык костас; татшӧм чутыс овлӧ сӧмын ӧти.

Cutjas kostyn.jpg

Кык чут на костса став чутыскӧд ӧтув артмӧдӧны вундӧг. Индӧм кык чутыс шусьӧны вундӧг помъясӧн.

Ab vundeg.jpg

Аксиома. Быд вундӧглӧн эм кузьта – плюса лыд.

Вундӧг помъясын кӧ А да В чутъяс, шуам татшӧм вундӧгсӧ АВ; тадзи жӧ и сылысь кузьтасӧ шуам.

Аксиома. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; B-ыс куйлӧ A да C костас. Сэки AC = AB + BC.

Abc sum.jpg

Кывкӧртӧд. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; B-ыс куйлӧ A да C костас. Сэки AC > AB, AC > BC.

Кывкӧртӧд. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; AC = AB + BC. Сэки B-ыс куйлӧ A да C костас.

Эскӧдӧм. Миян артмӧ: AC > AB, AC > BC. A чутыс кӧ куйлӧ B да C костас, BC > AC; C чутыс кӧ куйлӧ A да B костас, AB > AC. Сідзкӧ, B-ыс куйлӧ A да C костас.

Тшӧтшкӧсджын

тшӧтшкӧсджын – полуплоскость

Аксиома. Быд веськыд визь юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ. Кык чут A да B куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, AB вундӧг кӧ оз вомӧнась индӧм веськыд визьсӧ.

Сідзкӧ, AB кӧ вомӧнасьӧ веськыд визьсӧ, A да B чутъясыс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын.

Thothkesdzyn.jpg

Аксиома. Сетӧма кӧ l веськыд визь да сы вылын куйлысь O чут, эмӧсь сэтшӧм торъяланлуна A да B чутъяс: A, O, B – торъяӧсь, A да B куйлӧны l вылын да O чутыс куйлӧ A да B чутъяс костын.

AOB aks.jpg

Визьньӧв

визьньӧв – луч
веськыд визьджын – полупрямая

Мед O чут куйлӧ l веськыд визь вылын. Босьтам l сайын куйлысь M чутсӧ. Нуӧдам O да M чутъяс пыр m веськыд визьсӧ. Сэки m юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ.

Lmo.jpg

Мед A да B чутъяс куйлӧны l веськыд визь вылын. Аксиома серти, найӧ куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын сэк да сӧмын сэк, кор O чут куйлӧ AB вундӧгын. Сідзкӧ, O чут юклӧ l веськыдсӧ кык юкӧн вылӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны визьньӧвъясӧн либӧ веськыд визьджынъясӧн.

Lmoab.jpg

OA да OB – кык визьньӧв:

Viznjov.jpg

Пельӧс йылысь аксиомаяс

пельӧс – угол
пельӧс дор – сторона угла
пельӧс йыв – вершина угла

Ӧти чутысь петысь кык визьньӧв артмӧдӧны пельӧс. Тайӧ визьньӧвъясыс шусьӧны пельӧс доръясӧн, а налӧн ӧтувъя чутыс – пельӧс йылӧн.

Peljes.jpg

Урчитӧм. Визьньӧв мунӧ пельӧс доръяс костын, сылӧн помыс кӧ лӧсялӧ пельӧс йывкӧд да сійӧ кӧ вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.

Vn pel kost.jpg

Висьталӧм. Визьньӧв кӧ мунӧ пельӧс доръяс костын, сійӧ вомӧнасьӧ быд вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.

Эскӧдӧм. Мед O – индӧм пельӧслӧн йыв, OM – индӧм визьньӧв. Урчитӧм серти, OM вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ AB вундӧгкӧд, кӧні A да B чутъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас. Мед CD – мӧд вундӧг, C куйлӧ OA визьньӧв вылын, D куйлӧ OB визьньӧв вылын. OM веськыд визь юкӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ; аксиома серти, A да B чутъяс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын. A да C чутъяс куйлӧны OA визьньӧв вылын, та вӧсна найӧ куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынын OM веськыд визь серти. Сідзи жӧ артмӧ: B да D чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынын OM веськыд визь серти. Сідзкӧ, CD вундӧг вомӧнасьӧ OM веськыд визькӧд. Вомӧнасян чут да C чут куйлӧны ӧти тшӧткӧсджынын OB веськыд визь серти. Сідзкӧ, CD вундӧг вомӧнасьӧ OM визьньӧвкӧд.

Пельӧслӧн доръясыс кӧ артмӧдӧны веськыд визь, сійӧ шусьӧ павтыртӧм пельӧсӧн.

Аксиома. 1) Быд пельӧслӧн эм плюса градуса муртӧс. 2) Мед визьньӧв мунӧ пельӧс доръяс костын. Сэки пельӧсыслӧн градуса муртӧс ӧтыджда артмӧм кык пельӧсъяслӧн градуса муртӧс содтаскӧд. 3) Павтыртӧм пельӧс 180° ыджда.

Аксиома. Быд визьньӧвйӧ сылӧн йывсянь позьӧ пуктыны сетӧм кузьтаа вундӧг, да сӧмын ӧтиӧс.

Аксиома. Быд визьньӧвсянь индӧм тшӧтшкӧсджынйӧ позьӧ пуктыны сетӧм муртӧса пельӧс (180°-ысь ичӧтджыкӧс), да сӧмын ӧтиӧс.

Урчитӧм. Кык пельӧс шусьӧ орччаӧн, налӧн кӧ эм ӧтувъя дор, а мӧд доръяс кӧ артмӧдӧны веськыд визь.

Теорема. Орчча пельӧсъяс содтасыс лоӧ 180°.

Эскӧдӧм. Орчча пельӧсъяс артмӧдӧны павтыртӧм пельӧссӧ, кодлӧн ыдждаыс 180°. Сідзкӧ, аксиома серти, налӧн содтасыс лоас 180°.

Пельӧсыс кӧ 90° ыджда, сыкӧд орчча пельӧсыс сідзжӧ 90° ыджда.

Пельӧс шусьӧ ёсьӧн, сылӧн градуса муртӧсыс кӧ 90°-ысь этшаджык; веськыдӧн, сійӧ кӧ 90° ыджда; тшӧтшыдӧн, сійӧ кӧ 90°-ысь ыджыдджык.

Урчитӧм. Кык пельӧс шусьӧ сувтсаӧн, ӧтиыслӧн доръясыс кӧ лоӧны мӧд пельӧсса доръяслӧн нюжӧдӧмӧн.

Теорема. Сувтса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Серпас серти, ∠AOB да ∠BOC орччаӧсь, ∠BOC да ∠COD орччаӧсь. Та вӧсна ∠AOB + ∠BOC = 180°, ∠BOC + ∠COD = 180°. Сідзкӧ, ∠AOB = 180° – ∠BOC = ∠COD.

Содтӧд юӧр