Комплекс лыдъяс — различия между версиями

Материал из Коми тӧданін
(...Вайӧй жӧ перъям да выль лыдъяс артмӧдам!)
(...Вайӧй жӧ перъям да выль лыдъяс артмӧдам!)
Строка 31: Строка 31:
  
 
Медводз минуса лыдысь квадрат вуж йылысь гижӧма италияса математик Джероламо Кардано "Ыджыд кужӧг" трактатын (Ars magna, 1545). Сійӧ со кутшӧм задача видлалӧма: колӧ корсьны кык лыд, медым налӧн суммаыс вӧлі 10, а лыдмӧдасыс вӧлі 40. Арталӧма да со кутшӧм лыдъяс артмӧдӧма: 5 + √(−15) да 5 − √(−15). На йылысь Кардано пасйӧма: "Тайӧ дзуг ыдждаясыс ковтӧмӧсь, кӧть и зэв аслыспӧлӧсӧсь". Сэсся лыдмӧдӧма найӧс да артмӧдӧма 25 − (−15) = 25 + 15 = 40.
 
Медводз минуса лыдысь квадрат вуж йылысь гижӧма италияса математик Джероламо Кардано "Ыджыд кужӧг" трактатын (Ars magna, 1545). Сійӧ со кутшӧм задача видлалӧма: колӧ корсьны кык лыд, медым налӧн суммаыс вӧлі 10, а лыдмӧдасыс вӧлі 40. Арталӧма да со кутшӧм лыдъяс артмӧдӧма: 5 + √(−15) да 5 − √(−15). На йылысь Кардано пасйӧма: "Тайӧ дзуг ыдждаясыс ковтӧмӧсь, кӧть и зэв аслыспӧлӧсӧсь". Сэсся лыдмӧдӧма найӧс да артмӧдӧма 25 − (−15) = 25 + 15 = 40.
 +
 +
[[Файл:Page 66.jpg|thumb|center|220px|]]
  
 
Сёрӧнджык Кардано бара татшӧм лыдъясӧ "зурасьӧма". Сійӧ лӧсьӧдӧма куб ӧткодьлунлысь вужъяс корсян формула. Артмӧма тадз: ӧткодьлуныслӧн кӧ эм куим вуж, формулаас эм минуса лыдысь квадрат вуж. Мый водзӧ вӧчны тайӧ формуланас, Кардано эз тӧд.
 
Сёрӧнджык Кардано бара татшӧм лыдъясӧ "зурасьӧма". Сійӧ лӧсьӧдӧма куб ӧткодьлунлысь вужъяс корсян формула. Артмӧма тадз: ӧткодьлуныслӧн кӧ эм куим вуж, формулаас эм минуса лыдысь квадрат вуж. Мый водзӧ вӧчны тайӧ формуланас, Кардано эз тӧд.

Версия 20:59, 2 рака 2022

Терминъяс

минуса лыд — отрицательное число
плюса лыд — положительное число
минустӧм лыд — неотрицательное число
квадрат вуж — квадратный корень
куб вуж — кубический корень
лыдмӧдны — умножить
лыдмӧдас — произведение
куб ӧткодьлун — кубическое уравнение
куб ӧткодьлунлӧн вуж — корень кубического уравнения
тшӧтшкӧс — плоскость
ина лыд — вещественное число
интӧм ӧтик — мнимая единица 
лыдмӧдас — произведение

Минуса лыдысь квадрат вуж перйыны оз позь

Школаын ми велӧдлім: "минуссӧ" кӧ "минус" пӧв босьтам, лоас "плюс" (лыдмӧдам кӧ кык минуса лыд, артмас плюса лыд). Лыдмӧдам кӧ кык плюса лыд, бара артмас плюса лыд. Та вӧсна быд лыдлӧн квадрат лоас минустӧм: a лыд кӧ плюса, артмас

a² = aa > 0,
(−a)² = (−a)⋅(−a) = aa > 0,
0² = 0⋅0 = 0.

Сідзкӧ, минуса лыдысь квадрат вуж перйыны оз позь.

...Вайӧй жӧ перъям да выль лыдъяс артмӧдам!

Вӧлӧмкӧ, 16-ӧд нэмсянь математикъяс вӧдитчӧны татшӧм "абутӧм" вужъяснас. (Казьтыштам: 19-ӧд нэмӧдз весиг минуса лыдъяссӧ чайтӧмаӧсь "ылӧдчанаӧн", "лӧсявтӧмӧн".)

GirolamoCardano.jpeg

Медводз минуса лыдысь квадрат вуж йылысь гижӧма италияса математик Джероламо Кардано "Ыджыд кужӧг" трактатын (Ars magna, 1545). Сійӧ со кутшӧм задача видлалӧма: колӧ корсьны кык лыд, медым налӧн суммаыс вӧлі 10, а лыдмӧдасыс вӧлі 40. Арталӧма да со кутшӧм лыдъяс артмӧдӧма: 5 + √(−15) да 5 − √(−15). На йылысь Кардано пасйӧма: "Тайӧ дзуг ыдждаясыс ковтӧмӧсь, кӧть и зэв аслыспӧлӧсӧсь". Сэсся лыдмӧдӧма найӧс да артмӧдӧма 25 − (−15) = 25 + 15 = 40.

Page 66.jpg

Сёрӧнджык Кардано бара татшӧм лыдъясӧ "зурасьӧма". Сійӧ лӧсьӧдӧма куб ӧткодьлунлысь вужъяс корсян формула. Артмӧма тадз: ӧткодьлуныслӧн кӧ эм куим вуж, формулаас эм минуса лыдысь квадрат вуж. Мый водзӧ вӧчны тайӧ формуланас, Кардано эз тӧд. Италияса мӧд математик, Рафаэль Бомбелли, 1572-ӧд воын индӧма, кыдзи содтавны, чинтавны, лыдмӧдавны да юклыны татшӧм аслыспӧлӧс лыдъяссӧ. Шуам, содталӧны да чинталӧны найӧс тадзи:

a + b√(−1) + c + d√(−1) = (a + c) + (b + d)√(−1),
a + b√(−1) − [c + d√(−1)] = (ac) + (bd)√(−1).

А лыдмӧдӧны скобкаяс восьтӧмӧн, кыдзи алгебра урокъяс вылын ми велӧдлім:

[a + b√(−1)]⋅[c + d√(−1)] = 
ac + cb√(−1) + ad√(−1) + bd√(−1)⋅√(−1) =
acbd + (cb + ad)√(−1).

Бомбелли видлалӧма со кутшӧм ӧткодьлун:

x³ = 15x + 4.

Сылӧн ӧти вужйыс лоӧ 4:

4³ = 64, 15⋅4 + 4 = 64.

Карданолӧн формулаяс серти, медым корсьны вужсӧ, колӧ содтыны кык лыд: ӧтиыс лоӧ 2 + 11√(−1)-ысь куб вуж, а мӧдыс лоӧ 2 − 11√(−1)-ысь куб вуж. Бомбелли гӧгӧрвоӧма: тайӧ куб вужъясыс лоӧны 2 + √(−1) да 2 − √(−1). Арталам индӧм правилӧ серти:

(2 + √(−1))³ = (2 + √(−1))(2 + √(−1))(2 + √(−1)) = 
(3 + 4√(−1))(2 + √(−1)) = 2 + 11√(−1),
(2 − √(−1))³ = (2 − √(−1))(2 − √(−1))(2 − √(−1)) = 
(3 − 4√(−1))(2 − √(−1)) = 2 − 11√(−1).

Содтам кӧ 2 + √(−1) да 2 − √(−1), буретш 4 и артмас.

Ачыс Бомбелли, Кардано моз, чайтӧма √(−1)-а лыдъяссӧ ковтӧмӧн. Налӧн пӧльза йылысь пасйӧма Альбер Жирар (1595−1632), прансуз математик; сӧмын сылысь мӧвпъяссӧ дыр на пыдди эз пуктыны.

Ина, интӧм да комплекс лыдъяс

Анри Декарт пондӧма a + b√(−1) лыдъяссӧ шуны интӧмӧн (рочӧн кӧ, мнимые; англичан кывйӧн — imaginary). Сёрӧнджык терминология вежсьӧма:

  • a + b√(−1) лыдсӧ ӧні шуӧны комплекс лыдӧн;
  • a лыдсӧ шуӧны ина лыдӧн (вещественное число);
  • b√(−1) лыдсӧ шуӧны интӧм лыдӧн (мнимое число).

Леонард Эйлер пондӧма пасъявны √(−1) лыдсӧ i шыпасӧн; i лыд шусьӧ "интӧм ӧтик" (мнимая единица). Ӧні a + b√(−1) пыдди гижӧны a + bi.

Геометрия боксянь гӧгӧрвоӧдӧм

Тшӧтшкӧс вылын бӧръям координата система. Мед a + bi — комплекс лыд (a да b — ина лыдъяс, i = √(−1) — интӧм ӧтик). Пуктам тшӧтшкӧс вылас a абсциссаа да b ординатаа чут. Сідзкӧ, быд комплекс лыдлы лӧсялӧ тшӧтшкӧсвывса чут (либӧ радиус-вектор).

Казьтыштам: a + bi да c + di лыдъяслӧн суммаыс лоӧ

a + c + (b + d)i. 

Тшӧтшкӧсвывса чутъясыслӧн со кутшӧм координатаяс: (a, b) да (c, d); суммаыслӧн (a + c, b + d). Сідзкӧ, артмӧ радиус-векторъясыслӧн сумма.

Сетӧма кӧ (a, b) координатаяса радиус-вектор, позьӧ муртавны сылысь кузьтасӧ да тӧдмавны, кутшӧм пельӧс сійӧ артмӧдӧ абсцисса чӧрскӧд (0°-сянь 360°-ӧдз, либӧ 0-сянь 2π-ӧдз). Кузьтаыс шусьӧ a + bi лыдлӧн модульӧн, а пельӧсыс шусьӧ сылӧн аргументӧн.

Пифагор теоремаысь тыдовтчӧ: модульлӧн квадрат лоӧ a² + b².

Видлӧг. 1 + i лыдлы лӧсялӧ (1, 1) координатаа радиус-вектор. Сійӧ артмӧдӧ 45° (либӧ π/4) пельӧс абсцисса чӧрскӧд. Кузьтаыс лоӧ √2 (кыкысь квадрат вуж). Сідзкӧ, аргумент лоӧ π/4, модуль лоӧ √2.

Видлӧг.i лыдлы лӧсялӧ (0, −1) координатаа радиус-вектор. Сійӧ артмӧдӧ 270° (либӧ 3π/2) пельӧс абсцисса чӧрскӧд. Кузьтаыс лоӧ 1. Сідзкӧ, аргумент лоӧ 3π/2, модуль лоӧ 1.

Мед a + bi лыдлӧн модуль лоӧ r, а аргумент лоӧ φ. Сэки

a = r⋅cos φ, b = r⋅sin φ.

Мый артмӧ, лыдмӧдам кӧ комплекс кык лыд? Казьтыштам:

(a + bi)(c + di) = acbd + (ad + bc)i.

Сідзкӧ, медводдза лыдыс кӧ r модуля да φ аргумента, а мӧд лыдыс кӧ ρ модуля да ψ аргумента, налӧн лыдмӧдасыс лоӧ

(cos φ⋅cos ψ − sin φ⋅sin ψ) + (cos φ⋅sin ψ + sin φ⋅cos ψ)i.

Уськӧдам тӧд вылӧ тригонометрияысь формулаяс:

cos φ⋅cos ψ − sin φ⋅sin ψ = cos (φ + ψ),
cos φ⋅sin ψ + sin φ⋅cos ψ = sin (φ + ψ).

Та вӧсна лыдмӧдасыс лоӧ

⋅cos (φ + ψ) + ⋅sin (φ + ψ)⋅i.

Сылӧн модульыс лоӧ , а аргументыс лоӧ φ + ψ.

Сідзкӧ, медым лыдмӧдны комплекс кык лыд, колӧ лыдмӧдны налысь модульяссӧ да содтыны налысь аргументъяссӧ.

Содтӧд юӧр

Велӧдӧм паськӧдан блогын − 1

Велӧдӧм паськӧдан блогын − 2