Комплекс лыдъяс

Терминъяс

минуса лыд — отрицательное число
плюса лыд — положительное число
минустӧм лыд — неотрицательное число
квадрат вуж — квадратный корень
куб вуж — кубический корень
лыдмӧдны — умножить
лыдмӧдас — произведение
куб ӧткодьлун — кубическое уравнение
куб ӧткодьлунлӧн вуж — корень кубического уравнения
тшӧтшкӧс — плоскость
ина лыд — вещественное число
интӧм ӧтик — мнимая единица 
лыдмӧдас — произведение

Минуса лыдысь квадрат вуж перйыны оз позь

Школаын ми велӧдлім: "минуссӧ" кӧ "минус" пӧв босьтам, лоас "плюс" (лыдмӧдам кӧ кык минуса лыд, артмас плюса лыд). Лыдмӧдам кӧ кык плюса лыд, бара артмас плюса лыд. Та вӧсна быд лыдлӧн квадрат лоас минустӧм: a лыд кӧ плюса, артмас

a² = a⋅a > 0,
(−a)² = (−a)⋅(−a) = a⋅a > 0,
0² = 0⋅0 = 0.

Сідзкӧ, минуса лыдысь квадрат вуж перйыны оз позь.

...Вайӧй жӧ перъям да выль лыдъяс артмӧдам!

Вӧлӧмкӧ, 16-ӧд нэмсянь математикъяс вӧдитчӧны татшӧм "абутӧм" вужъяснас. (Казьтыштам: 19-ӧд нэмӧдз весиг минуса лыдъяссӧ чайтӧмаӧсь "ылӧдчанаӧн", "лӧсявтӧмӧн".)

Медводз минуса лыдысь квадрат вуж йылысь гижӧма италияса математик Джероламо Кардано "Ыджыд кужӧг" трактатын (Ars magna, 1545). Сійӧ со кутшӧм задача видлалӧма: колӧ корсьны кык лыд, медым налӧн суммаыс вӧлі 10, а лыдмӧдасыс вӧлі 40. Арталӧма да со кутшӧм лыдъяс артмӧдӧма: 5 + √(−15) да 5 − √(−15). На йылысь Кардано пасйӧма: "Тайӧ дзуг ыдждаясыс ковтӧмӧсь, кӧть и зэв аслыспӧлӧсӧсь". Сэсся лыдмӧдӧма найӧс да артмӧдӧма 25 − (−15) = 25 + 15 = 40.

Сёрӧнджык Кардано бара татшӧм лыдъясӧ "зурасьӧма". Сійӧ лӧсьӧдӧма куб ӧткодьлунлысь вужъяс корсян формула. Артмӧма тадз: ӧткодьлуныслӧн кӧ эм куим вуж, формулаас эм минуса лыдысь квадрат вуж. Мый водзӧ вӧчны тайӧ формуланас, Кардано эз тӧд. Италияса мӧд математик, Рафаэль Бомбелли, 1572-ӧд воын индӧма, кыдзи содтавны, чинтавны, лыдмӧдавны да юклыны татшӧм аслыспӧлӧс лыдъяссӧ. Шуам, содталӧны да чинталӧны найӧс тадзи:

a + b√(−1) + c + d√(−1) = (a + c) + (b + d)√(−1),
a + b√(−1) − [c + d√(−1)] = (a − c) + (b − d)√(−1).

А лыдмӧдӧны скобкаяс восьтӧмӧн, кыдзи алгебра урокъяс вылын ми велӧдлім:

[a + b√(−1)]⋅[c + d√(−1)] = 
ac + cb√(−1) + ad√(−1) + bd√(−1)⋅√(−1) =
ac − bd + (cb + ad)√(−1).

Бомбелли видлалӧма со кутшӧм ӧткодьлун:

x³ = 15x + 4.

Сылӧн ӧти вужйыс лоӧ 4:

4³ = 64, 15⋅4 + 4 = 64.

Карданолӧн формулаяс серти, медым корсьны вужсӧ, колӧ содтыны кык лыд: ӧтиыс лоӧ 2 + 11√(−1)-ысь куб вуж, а мӧдыс лоӧ 2 − 11√(−1)-ысь куб вуж. Бомбелли гӧгӧрвоӧма: тайӧ куб вужъясыс лоӧны 2 + √(−1) да 2 − √(−1). Арталам индӧм правилӧ серти:

(2 + √(−1))³ = (2 + √(−1))(2 + √(−1))(2 + √(−1)) = 
(3 + 4√(−1))(2 + √(−1)) = 2 + 11√(−1),
(2 − √(−1))³ = (2 − √(−1))(2 − √(−1))(2 − √(−1)) = 
(3 − 4√(−1))(2 − √(−1)) = 2 − 11√(−1).

Содтам кӧ 2 + √(−1) да 2 − √(−1), буретш 4 и артмас.

Ачыс Бомбелли, Кардано моз, чайтӧма √(−1)-а лыдъяссӧ ковтӧмӧн. Налӧн пӧльза йылысь пасйӧма Альбер Жирар (1595−1632), прансуз математик; сӧмын сылысь мӧвпъяссӧ дыр на пыдди эз пуктыны.

Ина, интӧм да комплекс лыдъяс

Анри Декарт пондӧма a + b√(−1) лыдъяссӧ шуны интӧмӧн (рочӧн кӧ, мнимые; англичан кывйӧн — imaginary). Сёрӧнджык терминология вежсьӧма:

• a + b√(−1) лыдсӧ ӧні шуӧны комплекс лыдӧн;
• a лыдсӧ шуӧны ина лыдӧн (вещественное число);
• b√(−1) лыдсӧ шуӧны интӧм лыдӧн (мнимое число).

Леонард Эйлер пондӧма пасъявны √(−1) лыдсӧ i шыпасӧн; i лыд шусьӧ "интӧм ӧтик" (мнимая единица). Ӧні a + b√(−1) пыдди гижӧны a + bi.

Геометрия боксянь гӧгӧрвоӧдӧм

Тшӧтшкӧс вылын бӧръям координата система. Мед a + bi — комплекс лыд (a да b — ина лыдъяс, i = √(−1) — интӧм ӧтик). Пуктам тшӧтшкӧс вылас a абсциссаа да b ординатаа чут. Сідзкӧ, быд комплекс лыдлы лӧсялӧ тшӧтшкӧсвывса чут (либӧ радиус-вектор).

Казьтыштам: a + bi да c + di лыдъяслӧн суммаыс лоӧ

a + c + (b + d)i. 

Тшӧтшкӧсвывса чутъясыслӧн со кутшӧм координатаяс: (a, b) да (c, d); суммаыслӧн (a + c, b + d). Сідзкӧ, артмӧ радиус-векторъясыслӧн сумма.

Сетӧма кӧ (a, b) координатаяса радиус-вектор, позьӧ муртавны сылысь кузьтасӧ да тӧдмавны, кутшӧм пельӧс сійӧ артмӧдӧ абсцисса чӧрскӧд (0°-сянь 360°-ӧдз, либӧ 0-сянь 2π-ӧдз). Кузьтаыс шусьӧ a + bi лыдлӧн модульӧн, а пельӧсыс шусьӧ сылӧн аргументӧн.

Пифагор теоремаысь тыдовтчӧ: модульлӧн квадрат лоӧ a² + b².

Видлӧг. 1 + i лыдлы лӧсялӧ (1, 1) координатаа радиус-вектор. Сійӧ артмӧдӧ 45° (либӧ π/4) пельӧс абсцисса чӧрскӧд. Кузьтаыс лоӧ √2 (кыкысь квадрат вуж). Сідзкӧ, аргумент лоӧ π/4, модуль лоӧ √2.

Видлӧг. −i лыдлы лӧсялӧ (0, −1) координатаа радиус-вектор. Сійӧ артмӧдӧ 270° (либӧ 3π/2) пельӧс абсцисса чӧрскӧд. Кузьтаыс лоӧ 1. Сідзкӧ, аргумент лоӧ 3π/2, модуль лоӧ 1.

Мед a + bi лыдлӧн модуль лоӧ r, а аргумент лоӧ φ. Сэки

a = r⋅cos φ, b = r⋅sin φ.

Мый артмӧ, лыдмӧдам кӧ комплекс кык лыд? Казьтыштам:

(a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i.

Сідзкӧ, медводдза лыдыс кӧ r модуля да φ аргумента, а мӧд лыдыс кӧ ρ модуля да ψ аргумента, налӧн лыдмӧдасыс лоӧ

rρ(cos φ⋅cos ψ − sin φ⋅sin ψ) + rρ(cos φ⋅sin ψ + sin φ⋅cos ψ)i.

Уськӧдам тӧд вылӧ тригонометрияысь формулаяс:

cos φ⋅cos ψ − sin φ⋅sin ψ = cos (φ + ψ),

cos φ⋅sin ψ + sin φ⋅cos ψ = sin (φ + ψ).

Та вӧсна лыдмӧдасыс лоӧ

rρ⋅cos (φ + ψ) + rρ⋅sin (φ + ψ)⋅i.

Сылӧн модульыс лоӧ rρ, а аргументыс лоӧ φ + ψ.

Сідзкӧ, медым лыдмӧдны комплекс кык лыд, колӧ лыдмӧдны налысь модульяссӧ да содтыны налысь аргументъяссӧ.