Планиметрия курс − 2

Медводдза юкӧн тані.

Фалеслӧн теорема. Шӧр визь

Фалес теорема. Мед пельӧслӧн ӧти дорын куйлӧны ӧтыджда кык вундӧг: AB = CD. Налӧн помъяс пыр нуӧдам ӧта-мӧдыскӧд ӧтнырвизя веськыдъяс: AA’, BB’, CC’, DD’, кӧні A’, B’, C’, D’ – пельӧслӧн мӧд доркӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки A’B’ = C’D’.

Эскӧдӧм. Нуӧдам A да C чут пыр A’C’-кӧд ӧтнырвизя веськыдъяс. Медводдза веськыдыс вомӧнасьӧ BB’-кӧд K чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ DD’-кӧд L чутын. Сэки AA’B’K да CC’D’L – параллелограммъяс. Сідзкӧ, A’B’ = AK, C’D’ = CK. Петкӧдлам: AK = CL. AK ∥ CL да, ∠KAB = ∠LCD кыдзи весьтасаяс. BK ∥ LD да, ∠KBA = ∠LDC кыдзи весьтасаяс. Таысь кындзи, AB = CD. Сідзкӧ, ABK да CDL куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна AK = CL.

Урчитӧм. Куимпельӧсалӧн шӧр визьӧн шусьӧ сылӧн кык дорлысь шӧрчутъяссӧ йитан вундӧг.

Теорема. Куимпельӧсалӧн шӧр визь коймӧд доркӧд ӧтнырвизя.

Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, D – AB-лӧн шӧрчут, E – BC-лӧн шӧрчут. Нуӧдам D чут пыр AC-кӧд ӧтнырвизя веськыдсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ BC-кӧд F чутын. Фалес теорема серти, BF = FC. Сідзкӧ, F = E да DE ∥ AC.

Теорема. Куимпельӧсалӧн шӧр визь ӧтнырвизя дорыс джын ыджда.

Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, D – AB-лӧн шӧрчут, E – BC-лӧн шӧрчут, F – AC-лӧн шӧрчут. Сэки DE ∥ AC, EF ∥ AB, кыдзи шӧр визьяс. Сідзкӧ, ADEF – параллелограмм да DE = AF = AC/2.

Урчитӧм. Трапециялӧн шӧр визьӧн шусьӧ сылӧн боквыв доръяслысь шӧрчутъяссӧ йитан вундӧг.

Теорема. Трапециялӧн шӧр визь подувъяскӧд ӧтнырвизя.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AB да CD – сылӧн подувъяс, E – AB-лӧн шӧрчут, F – CD-лӧн шӧрчут. Нуӧдам E чут пыр AD-кӧд ӧтнырвизя веськыдсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ CD-кӧд G чутын. Фалес теорема серти, CG = GD. Сідзкӧ, F = G да EF ∥ AD.

Теорема. Трапециялӧн шӧр визь подувъяс содтасджын кузьта.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, EF – сылӧн шӧр визь. Мед BG вундӧг CD вундӧгкӧд ӧтнырвизя, G чут куйлӧ AD вылын. Мед EF да BG вомӧнасьӧны H чутын. Сэки HBCF – параллелограмм да BC = HF = GD. Таысь кындзи, AG ∥ EH, AE = BE. Фалес теорема серти, BH = HG. Сідзкӧ, EH лоӧ ABG куимпельӧсалӧн шӧр визь. Та вӧсна EH = AG/2. Миян артмӧ: EF = EH + HF = BC + AG/2 = BC + (AD – GD)/2 = BC + (AD – BC)/2 = (AD + BC)/2.

Фалеслӧн мӧд теорема

Урчитӧм. AB да CD, EF да GH вундӧгъяс пропорцияынӧсь, AB : CD да EF : GH юкасъяс кӧ ӧткодьӧсь: AB : CD = EF : GH.

Мед AB да CD, EF да GH вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Сэки 1) AB да EF, CD да GH пропорцияынӧсь; 2) AB∙GH = CD∙EF.

Теорема. Мед E да F чутъяс куйлӧны AB да CD вундӧгъяс пытшкын, AE да BE, CF да DF вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки AE да AB, CF да CD вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Эскӧдӧм. AE : BE = CF : DF; сідзкӧ, BE : AE = DF : CF. Та вӧсна (BE : AE) + 1 = (DF : CF) + 1, кытысь артмӧдам (BE + AE) : AE = (DF + CF) : CF. Аксиома серти, BE + AE = AB, DF + CF = CD. Сідзкӧ, AB : AE = CD : CF, кытысь AE : AB = CF : CD.

Фалес теорема. Мед A да B чутъяс куйлӧны O йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, C да D чутъяс – мӧд дор вылын, AC ∥ BD. Сэки OA да OB, OC да OD вундӧгъяс пропорцияынӧсь.

Эскӧдӧм. Мед, шуам, A чут куйлӧ O да B чутъяс костын. Петкӧдлам: OA : AB = OC : CD. Медбӧръя теорема серти, миян артмас OA : OB = OC : OD. Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор OA : AB = p : q, кӧні p да q – дзонь плюса лыдъяс. Юклам OA вундӧгсӧ p пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс OA : p кузьтаӧсь); AB вундӧгсӧ юклам q пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс AB : q кузьтаӧсь). Пропорцияысь аддзам: OA : p = AB : q. Сідзкӧ, OB вундӧг юклӧма p + q пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда. Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр BD-кӧд ӧтнырвизя веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны OD вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; OC вундӧгыс кутӧ p ӧтыджда вундӧг, CD вундӧгыс – q ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, OC : CD = p : q = OA : AB.

Теорема. Мед A да B чутъяс куйлӧны O йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, C да D чутъяс – мӧд дор вылын, OA да OB, OC да OD вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки AC ∥ BD.

Эскӧдӧм. Нуӧдам A чут пыр BD-кӧд ӧтнырвизя веськыдӧс. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд E чутын. Фалес теорема серти, OA : OB = OE : OD. Сідзкӧ, OE = OA∙OD/OB = OC. Та вӧсна E = C да AC ∥ BD.

Ӧтсяма куимпельӧсаяс

Урчитӧм. ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь (∆ABC ~ ∆A’B’C’), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’) да доръясыс пропорцияынӧсь (AB : A’B’ = BC : B’C’ = CA : C’A’).

Теорема. Мед ABC – куимпельӧса, D чут куйлӧ AB дор вылын, E чут куйлӧ AC дор вылын, DE ∥ BC. Сэки ABC да ADE куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.

Эскӧдӧм. ∠D = ∠B, ∠E = ∠C кыдзи весьтаса пельӧсъяс; ∠A куимпельӧсаясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалес теорема серти, AD : AB = AE : AC. Колис петкӧдлыны: AD : AB = DE : BC. Мед F чут куйлӧ AB дор вылын, BF = AD; G чут куйлӧ BC дор вылын, FG ∥ AC. Сэки ∠EAD = ∠GFB, ∠EDA = ∠GBF кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ, EAD да GFB куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна ED = GB. Фалес теорема серти, GB : BC = BF : AB. Сідзкӧ, ED : BC = AD : AB.

Куимпельӧсаяс ӧтсямалун медводдза тӧдмӧс. Мед ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяслӧн ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’. Сэки ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед, шуам, A’B’ ≤ AB. Мед M чут куйлӧ AB дор вылын, AM = A’ B’, N чут куйлӧ AC дор вылын, AN = A’C’. Сэки ∆AMN = ∆A’B’C’ медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠NMA = ∠C’B’A’ = ∠CBA. Сідзкӧ, MN ∥ BC. Воддза теорема серти, AMN да ABC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, A’B’C’ да ABC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.

Куимпельӧсаяс ӧтсямалун мӧд тӧдмӧс. Мед ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяслӧн ∠A = ∠A’, AB : A’B’ = AC : A’C’. Сэки ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед, шуам, A’B’ ≤ AB. Мед M чут куйлӧ AB дор вылын, AM = A’ B’, N чут куйлӧ AC дор вылын, AN = A’C’. Сэки ∆AMN = ∆A’B’C’ медводдза тӧдмӧс серти да, AB : AM = AC : AN. Фалес мӧдара теорема серти, MN ∥ BC. Миян артмӧ: ∆AMN ~ ∆ABC. Та вӧсна A’B’C’ да ABC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.

Куимпельӧсаяс ӧтсямалун коймӧд тӧдмӧс. Мед ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяслӧн AB : A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’. Сэки ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед k = AB : A’B’ = AC : A’C’. Мед M чут куйлӧ AB дор вылын, AM = A’ B’, N чут куйлӧ AC дор вылын, AN = A’C’. Сэки AMN да ABC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AM : AB = AN : AC = MN : BC. Но AM : AB = A’B’ : AB = k. Сідзкӧ, MN = k∙BC = B’C’. Та вӧсна AMN да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Ӧткодь доръяса куимпельӧсаяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Ӧткодь берда веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Ӧткодь берда куимпельӧсаяслӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Ӧткодь берда куимпельӧсаяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.

Теорема. Мед ABC да A’B’C’ – ӧтсяма куимпельӧсаяс, BL да B’L’ – налӧн биссектрисаяс. Сэки BL : B’L’ = AB : A’B’.

Эскӧдӧм. BL да B’L’ биссектрисаяс, та вӧсна ∠ABL = ∠ABC/2 = ∠A’B’C’/2 = ∠A’B’L’. ∆ABC ~ ∆A’B’C’; сідзкӧ, ∠BAL = ∠B’A’L’. Та понда ∆ABL ~ ∆A’B’L’ медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, BL : B’L’ = AB : A’B’.

Теорема. Мед ABC да A’B’C’ – ӧтсяма куимпельӧсаяс, BM да B’M’ – налӧн медианаяс. Сэки BM : B’M’ = AB : A’B’.

Эскӧдӧм. BM да B’M’ медианаяс, та вӧсна AM = AC/2, A’M’ = A’C’/2, кытысь артмӧдам: AM : A’M’ = AB : A’B’. ∆ABC ~ ∆A’B’C’; сідзкӧ, ∠BAM = ∠B’A’M’. Та понда ∆ABM ~ ∆A’B’M’ мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, BM : B’M’ = AB : A’B’.

Теорема. Мед ABC да A’B’C’ – ӧтсяма куимпельӧсаяс, BH да B’H’ – налӧн судтаяс. Сэки BH : B’H’ = AB : A’B’.

Эскӧдӧм. BH да B’H’ судтаяс, та вӧсна ∠AHB = 90º = ∠A’H’B’. ∆ABC ~ ∆A’B’C’; сідзкӧ, ∠BAH = ∠B’A’H’. Та понда ∆ABH ~ ∆A’B’H’ медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, BH : B’H’ = AB : A’B’.

Теорема. Мед ABC куимпельӧсаын AK да BM – медианаяс, O – налӧн вомӧнасян чут. Сэки AO : OK = BO : OM = 2 : 1.

Эскӧдӧм. KM – ABC куимпельӧсалӧн шӧр визь. Сідзкӧ, KM ∥ AB, AB : KM = 2 : 1. Та вӧсна ∠KAB = ∠AKM, ∠MBA = ∠BMK (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс). Сідзкӧ, ∆OAB ~ ∆OKM медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: AO : OK = BO : OM = AB : KM = 2 : 1.

Кывкӧртӧд. Куимпельӧсалӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Эскӧдӧм. Мед AK, BM да CN – ABC куимпельӧсалӧн медианаяс, O – AK да BM-лӧн вомӧнасян чут, O’ – AK да CN-лӧн вомӧнасян чут. Сэки AO : OK = 2 : 1, AO’ : O’K = 2 : 1. Та вӧсна O’ = O.

Теорема. Мед BL – ABC куимпельӧсалӧн биссектриса. Сэки AL : LC = AB : BC.

Эскӧдӧм. BL кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆ABL = ∆CBL мӧд тӧдмӧс серти; сідзкӧ, AL : LC = AB : BC = 1. Мед, шуам, ALB пельӧс ёсь. Мед M чут куйлӧ BL визьньӧв вылын, AM = BM. Сэки ∠AML = ∠ALM (ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс), ∠ALM = ∠BLC (сувтса пельӧсъяс). Сідзкӧ, ∠ABM = ∠CBL, ∠AMB = ∠CLB. Та вӧсна ∆ABM ~ ∆CBL медводдза тӧдмӧс серти да AB : BC = AM : LC = AL : LC.

Теорема. Мед ABC – веськыдпельӧса куимсэрӧг, B – сылӧн веськыд пельӧс, BH – судтаыс. Сэки ABC, AHB да BHC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.

Эскӧдӧм. ABC, AHB да BHC – веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠BAC = ∠HAB = ∠HBC. Сідзкӧ ∆ABC ~ ∆AHB ~ ∆BHC медводдза тӧдмӧс серти.

Теорема. Мед ABC – веськыдпельӧса куимсэрӧг, B – сылӧн веськыд пельӧс, BH – судтаыс. Сэки BH2 = AH∙HC.

Эскӧдӧм. Воддза теорема серти, ∆AHB ~ ∆BHC; сідзкӧ, AH : HB = HB : HC. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, BH2 = AH∙HC.

Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.

Эскӧдӧм. Мед ABC – веськыдпельӧса куимсэрӧг, B – сылӧн веськыд пельӧс. ∆ABC ~ ∆AHB да, AH : AB = AB : AC; ∆ABC ~ ∆BHC да, HC : BC = BC : AC. Сідзкӧ, AC∙AH = AB2, AC∙HC = BC2. Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: AC∙(AH + AC) = AB2 + BC2. Миян артмӧ: AC2 = AB2 + BC2.

Кывкӧртӧд. Мед ABC да A’B’C’ – веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс, B да B’ – веськыд пельӧсъяс, AB : A’B’ = AC : A’C’. Сэки ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед AB = k∙A’B’. Сэки AC = k∙A’C’. Пифагор теорема серти, BC2 = AC2 – AB2 = k2(A’C’2 – A’B’2) = k2B’C’2, кытысь артмӧ BC = k∙B’C’. Та вӧсна AB : A’B’ = BC : B’C’ да куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.

Теорема. Куимпельӧсалӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат содтаскӧд, тайӧ веськыдпельӧса куимсэрӧг.

Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсалӧн AB2 + BC2 = AC2. Босьтам веськыдпельӧса куимсэрӧг AB да BC кузьта катетъясӧн. Пифагор теорема серти, сылӧн гипотенуза AC кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ABC-кӧд коймӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна ABC пельӧсыс веськыд.

Видлӧг. Египетса куимсэрӧг – тайӧ куимпельӧса, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 52 = 32 + 42 да, тайӧ веськыдпельӧса куимсэрӧг.

Чутсянь веськыд визьӧдз ылнаӧн шусьӧ чутсяньыс веськыд визьӧдз нуӧдӧм ӧшанвизь кузьта.

Теорема. Пельӧс биссектрисавывса быд чут ӧтылнаын пельӧс доръяссянь.

Эскӧдӧм. Мед A – пельӧслӧн йыв, M чут куйлӧ биссектриса вылын, K да L чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, MK ⊥ AK, ML ⊥ AL. Сідзкӧ, ∆MKA = ∆MLA гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна MK = ML.

Теорема. Пельӧс пытшкӧсса чут кӧ пельӧс доръяссяньыс ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ биссектриса вылын.

Эскӧдӧм. Мед A – пельӧслӧн йыв, M чут куйлӧ пельӧс пытшкын, K да L чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, MK ⊥ AK, ML ⊥ AL, MK = ML. Сідзкӧ, ∆MKA = ∆MLA гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠MAK = ∠MAL.

Теорема. Куимпельӧсалӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсаса A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны O чутын. Сэки O чут ӧтылнаын AB да AC доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын AB да BC доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын AC да BC доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ C пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны O чут пыр.

Теорема. Вундӧг шӧр ӧшанвизьвывса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.

Эскӧдӧм. Мед AB – индӧм вундӧг, C – сылӧн шӧрчут, l – шӧр ӧшанвизь, M чут куйлӧ l вылын. Сэки MCA да MCB куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, AM = BM.

Теорема. Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр ӧшанвизь вылын.

Эскӧдӧм. Мед AB – индӧм вундӧг, MA = MB. Сэки AMB – ӧткодь берда куимпельӧса. Мед MC – сылӧн биссектриса. Сэки MC – медиана да судта, та вӧсна сійӧ AB вундӧглӧн шӧр ӧшанвизь.

Теорема. Куимпельӧса доръяслӧн шӧр ӧшанвизьяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, O – AB да AC доръяслӧн шӧр ӧшанвизьяс вомӧнасян чут. Сэки OA = OB, OA = OC. Сідзкӧ, OB = OC. Та вӧсна O чут куйлӧ BC дорлӧн шӧр ӧшанвизь вылын.

Теорема. Куимпельӧсалӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Эскӧдӧм. Мед ABC – сетӧм куимпельӧса, AK, BL, CM – сылӧн судтаяс. Нуӧдам A, B да C чутъяс пыр BC-кӧд, AC-кӧд да AB-кӧд ӧтнырвизя веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны A’, B’ да C’ чутъясын. ABA’C да AC’BC – параллелограммъяс. Сідзкӧ, C’B = AC = BA’ да BL – A’C’ дорлӧн шӧр ӧшанвизь. Сідзи жӧ миян артмӧ: AK – B’C’ дорлӧн шӧр ӧшанвизь, CM – A’B’ дорлӧн шӧр ӧшанвизь. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Менелай теорема. Мед B чут куйлӧ AC вундӧгын, F чут куйлӧ AE вундӧгын, BE да CF вомӧнасьӧны D чутын. Сэки (AB : BC)∙(CD : DF)∙(EF : AE) = 1.

Эскӧдӧм. Мед FG ӧтнырвизя AB-кӧд. Сэки ABE да FGE куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна FE : AE = GF : AB; FGD да CBD куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна FG : DF = BC : CD. Сідзкӧ, (FE : AE)∙AB = (BC : CD)∙DF, кытысь (AB : BC)∙(CD : DF)∙(EF : AE) = 1.

Чева теорема. Мед ABC куимпельӧсаын K, L да M чутъяс куйлӧны BC, AC да AB вылын. Мед AK, BL да CM вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1.

Эскӧдӧм. Мед O – AK, BL да CM вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелай теорема серти, (AM : MB)∙(BO : OL)∙(CL : AC) = 1, (CK : KB)∙(BO : OL)∙(AL : LC) = 1. Сідзкӧ, (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1.

Теорема (мӧдара). Мед ABC куимпельӧсаын K, L да M чутъяс куйлӧны BC, AC да AB вылын. Мед (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1. Сэки AK, BL да CM вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Эскӧдӧм. Мед M’ чут куйлӧ AB вылын, AK, BL да CM’ вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (AM’ : MB’)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1. Сідзкӧ, AM : MB = AM’ : MB’. Та вӧсна M = M’.

Кывкӧртӧд. Куимпельӧсалӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Кывкӧртӧд. Куимпельӧсалӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Эскӧдӧм. Мед AK, BL да CM – ABC куимпельӧсалӧн биссектрисаяс. Сэки AM : MB = AC : CB, BK : KC = BA : AC, CL : LA = CB : BA. Сідзкӧ, (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = (AC : CB)∙(BA : AC)∙(CB : BA) = 1. Воддза теорема серти, AK, BL да CM вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Кывкӧртӧд. Куимпельӧсалӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Эскӧдӧм. Мед AK, BL да CM – ABC куимпельӧсалӧн судтаяс. ALB да AMC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, AM : LA = CM : BL. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: BK : MB = AK : CM, CL : CK = BL : AK. Сідзкӧ, (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = (AM : AL)∙(BK : MB)∙(CL : KC) = (CM : BL)∙(AK : CM)∙(BL : AK) = 1. Та вӧсна AK, BL да CM вомӧнасьӧны ӧти чутын.