Ворсанторъяс лӧсьӧдӧм

Терминъяс

тэрыблун - частота,
пельӧм лыд - дробь,
лыдмӧдны - умножить,
лӧсявны x:y моз - относиться как x:y,
Пифагор тэчас - Пифагоров строй,
куима шы - трезвучие,
сӧстӧм тэчас – чистый строй,
ӧтмоз темперируйтӧм тэчас – равномерно темперированный строй,
тшуппас – степень,
12 тшуппаса вуж 2-сьыс – корень 12-й степени из 2

Октава, квинта да кварта

Зэлӧдӧм вез сырмӧ вуджйӧн новлӧдігӧн, чепӧльтігӧн либӧ мӧлӧтӧн кучкалігӧн. Сэки ми кылам кутшӧмкӧ шы. Вез дженьдӧдӧм бӧрын тайӧ шыыс лоас вӧсниджык.

Кор нӧ кык везлӧн ӧтпырйӧ юргӧмыс миянлы кажитчӧ мичаӧн? Важ Элладаса математик Пифагор казяліс: медбур гармонияясын шыяс лӧсялӧны мӧда-мӧдныскӧд подув пельӧм лыдъяс моз. Шуам, кор ӧти шыыс сырмӧ кык пӧв ӧдйӧджык мӧд шыысь, найӧ пӧшти ӧтмоза юргасны. Татшӧм шыяс костын интервал шусьӧ октаваӧн. До-мажор гаммаын (“до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до”) тайӧ кык “до” костын ылна.

Ӧні видзӧдлам шыяс, кодъяс тэрыблун сертиныс лӧсялӧны 3:2 моз. На костын интервал шусьӧ квинтаӧн. Тайӧ улыс “до” да “соль” костын, либӧ “фа” да вылыс “до” костын ылна.

А кыдзи сырман тэрыблун сертиныс лӧсялӧны мӧда-мӧдныскӧд “соль” да вылыс “до”? (Тайӧ нотаяс костын интервал шусьӧ квартаӧн.) Ми тӧдам нин: улыс “до” ноталӧн тэрыблун кӧ лоӧ x, сэки вылыс “до”-лӧн тэрыблуныс лоӧ 2x, а “соль”-лӧн тэрыблуныс лоӧ 3x/2. Сідзкӧ, лӧсявны найӧ кутасны мӧда-мӧдныскӧд 2x : (3x/2) = 4:3 моз. Тайӧ жӧ ногӧн ми тӧдмалам: “фа” да улыс “до” нотаяс сырман тэрыблун серти лӧсялӧны (2/3)·2x : x = 4:3 моз.

Ставыс тайӧ эськӧ и бур, но Пифагор казялӧма татшӧм пропорцияяслысь тырмытӧмтор. Легенда серти, сійӧ муртавлӧма шыяс кост лӧсялӧмсӧ монохордӧн. Тайӧ инструментсӧ математикыд вӧчӧма ас киӧн. Монохорд вӧлі лӧсьӧдӧма вешъян латшӧ ӧшӧдӧм ӧти везйысь. Тайӧ латшнас позьӧ вӧлі урчитны везлысь кузьтасӧ.

Пифагор босьтіс кык ӧткодь монохорд да лӧсьӧдіс везъяс сідзи, медым найӧ ӧткодя юргисны. Сэсся медводдза монохордын сійӧ лэптіс шы 7 октава вылӧ, а мӧдас – 12 квинта вылӧ. Артмӧм шыяс юргӧмаӧсь пӧшти ӧтсяма ногӧн, но неуна торъялӧмаӧсь.

Артыштам кӧ, аддзам: медводдза монохордын везйыслӧн тэрыблун унаасис 2⁷ = 128 пӧв, а мӧд монохордын – (3/2)¹² ≈ 129.7 пӧв. Сідзкӧ, везъясыс тэрыблун сертиныс кутiсны лӧсявны 128: (3/2)¹² ≈ 99:100 моз, мӧд ног шуны: лӧсялӧмыс лои 99%.

Важ Элладаын шылад сикасыс этшакодь на вӧлі да, тайӧ тырмытӧмторсӧ Пифагорыд абу чайтӧма вывтi лёкӧн. Мытшӧдъяс петӧмаӧсь эрдӧ сёрӧнджык, шӧр нэмъясӧ нин.

Пифагор тэчас

Октаваӧн, квартаӧн да квинтаӧн вӧдитчигӧн ми лӧсьӧдам до-мажор гамма. Воддза юкӧнас вӧлі петкӧдлӧма, кыдзи артмӧдӧмаӧсь вылыс “до”, “соль” да “фа” нотаяс: улыс “до”-лӧн кӧ тэрыблуныс x Гц, сэки вылыс “до”-лӧн, “соль”-лӧн да “фа”-лӧн тэрыблунъясыс лоас 2x Гц, 3x/2 Гц да 4x/3 Гц.

Кыдзи артмӧдны “ре”, “ми”, “ля” да “си” нотаяс? Лэччам “соль”-сянь кварта мында улӧ да артмӧдам “ре”. Сэсся каям “ре”-сянь квинта мында вылӧ да артмӧдам “ля”. Бара лэччам кварта мында улӧ да артмӧдам “ми”. “Ми” нотасянь каям квинта мында вылӧ да артмӧдам “си”.

Арталам ноталысь тэрыблунсӧ. Кварта мында улӧ лэччигӧн тэрыблуныс лыдмӧдӧ 3/4 пӧв, а квинта мында вылӧ кайигӧн – 3/2 пӧв. Сідзкӧ, “ре”-лӧн тэрыблуныс лоӧ (3/4)∙(3x/2) = 9x/8 Гц, “ля”-лӧн – (3/2)∙(9x/8) = 27x/16 Гц, “ми”-лӧн – (3/4)∙(27x/16) = 81x/64 Гц, “си”-лӧн – (3/2)∙(81x/64) = 243x/128 Гц.

Ми аддзам: “ре” да улыс “до”-лӧн тэрыблуныс лӧсялӧ 9:8 моз. Тадзи жӧ лӧсялӧны “ми” да “ре”-лӧн, “соль” да “фа”-лӧн, “ля” да “соль”-лӧн, “си” да “ля”-лӧн тэрыблунъяс. Тайӧ нотаяс костын интервал шусьӧ ыджыд секундаӧн.

“Фа” да “ми”-лӧн тэрыблуныс лӧсялӧ 256:243 моз; сідзи жӧ лӧсялӧ вылыс “до” да “си”-лӧн тэрыблуныс. На костын интервал шусьӧ ичӧт секундаӧн.

Татшӧм ногӧн лӧсьӧдӧм гамма шусьӧ Пифагор тэчасӧн. Сійӧн вӧдитчӧмаӧсь важ Элладаын да шӧр нэмся Европаын. Сэсся сыысь эновтчӧмаӧсь.

Куима шы

XV-ӧд нэм помын шылад туялысь Иоанн Тинкторис аслас гижӧдын вӧлі пасйӧма шыяслӧн выль ӧтлаасьӧмъяс (терцияяс) йылысь. Наӧн тшӧкыда вӧдитчӧмаӧсь Англияса шылад тэчысьяс (композиторъяс). Петӧмаӧсь терцияясыс йӧзкостса шыладысь.

Эм кык терция сикас: ыджыд терция да ичӧт терция. Ыджыд терцияын нотаяслӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны 5:4 моз, ичӧт терцияын – 6:5 моз.

Каям “до”-сянь ыджыд терция мында вылӧ, артмӧм нотасянь бара каям ичӧт терция мында вылӧ. Сэки миян артмас “соль” (а ыджыд да ичӧт терцияяс ӧтлаалӧны квинтаӧ): “до”-лӧн тэрыблуныс кӧ x Гц, мӧд ноталӧн тэрыблуныс 5x/4 Гц, а коймӧдыслӧн (6/5)·(5x/4) = 3x/2 Гц. Кор тайӧ лӧсьӧдӧм куим шы ӧтпырйӧн юргӧны, артмӧ аккорд – ыджыд куима шы.

Кайны кӧ медводз ичӧт терция мында вылӧ, а сэсся ыджыд терция мында вылӧ, бара артмас квинта. Тайӧ шыяссьыс лӧсьӧдӧм аккорд шусьӧ ичӧт куима шыӧн.

Ми тӧдам: Пифагор тэчасын “ре” да “до”-лӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны 9:8 моз, сідзи жӧ лӧсялӧны “ми” да “ре”-лӧн тэрыблунъяс. Сідзкӧ, “ми” да “до” лӧсялӧны (9:8)·(9:8) = 81:64 моз. Тайӧ пӧшти (но абу стӧч) 5:4 = 80:64.

Со миян и артмис мытшӧд: кыдзи колана ногӧн лӧсьӧдны “ми” нотасӧ? Тадзи, медым “до – ми – соль” нотаяс ӧтпырйӧн мичаа юргисны, али Пифагор тэчас серти, али кутшӧмкӧ коймӧд ногӧн? Кыдзи мукӧд нотасӧ лӧсьӧдны?

Шылад ворсысьяслы ковмис корсьны ӧти кывйӧ воӧм (компромиссъяс).

Мукӧд гамма тэчасъяс

Воддза гижӧдысь ми аддзим: ворсанторсӧ кӧ лӧсьӧдны Пифагор тэчас сертиыс, куима шыяс омӧля артмасны. Сідзкӧ, XV-ӧд нэмын европаса шыладлы сійӧ эз нин шогмы. Та понда шылад туялысьяс босьтчӧмаӧсь бӧрйыны бурджык гамма тэчас.

1482-ӧд воын Бартоломео Рамос де Пареха, испанияса теоретик, вӧзйӧма сӧстӧм тэчассӧ. До мажор гаммалы сійӧс артмӧдӧны со кыдзи. Вылыс да улыс “до” нотаяслӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны 2:1 моз. Сэсся лӧсьӧдам “соль”, “фа” да “ре” нотаяссӧ Пифагор тэчас сертиыс: “соль” да улыс “до”-лӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны 3:2 моз, “фа” да улыс “до”-лӧн – 4:3 моз, “соль” да “ре”-лӧн – 4:3 моз. Мукӧд шыяссӧ ми лӧсьӧдам ыджыд терцияясӧн вӧдитчӧмӧн: “ми” да улыс “до”-лӧн, “ля” да “фа”-лӧн, “си” да “соль”-лӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны 5:4 моз. Сэки бура артмӧны “до – ми – соль”, “ми – соль – си” да “фа – ля – до” куима шыяс. Тшӧтшкӧ “ре – фа – ля” куима шыыс оз артмы, “фа” да “ре” нотаяслӧн тэрыблунъяс лӧсялӧны Пифагор тэчасын моз.

Рамослӧн тэчасыс эзджык отсав шылад ворсысьяслы да, найӧ лӧсьӧдӧмаӧсь ворсанторъяснысӧ мӧд ногӧн. Органлысь трубаяс дженьдӧдыштӧмӧн позьӧ вежны квинтаяс сідзи, медым шылад кывзысьяс тайӧс эз казявны. Шуам, шӧр тона тэчасыс артмӧдӧма сэтшӧм жӧ ногӧн, кыдзи вӧчӧны Пифагор тэчассӧ, но “стӧч” квинта пыдди босьтам неуна дженьыдджык интервал; квинтаыс дженьдӧдыштӧма сідзи, медым артмӧдӧм “ми” да улыс “до” костын лои стӧч ыджыд терция (мӧд ногӧн кӧ, нотаясыслӧн тэрыблунъяс лӧсялісны 5:4 моз). Тырмытӧмторъяс тайӧ тэчасыслӧн эрдӧдчасны сьӧд клавишъяслы шыяссӧ лӧсьӧдігӧн.

XV – XVI нэмъясын вӧлі вӧзйӧма некымын сё гамма тэчас. Тшӧкыда композиторъяс найӧс артмӧдӧмаӧсь лӧсьӧдӧм шыладъяс сертиныс.

Ӧтмоз темперируйтӧм тэчас

1519-ӧд воын Адриан Вилларт, енбиа фламандияса композитор да велӧдысь, гижис зэв дзуг шылада сьылан композиция – “Quid non Ebrietas”. Некутшӧм тӧдса шылад тэчас сылы эз лӧсяв. Вилларт ачыс вӧзйис выль тэчассӧ – ӧтмоз темперируйтӧм.

Тайӧ кадӧ улыс да вылыс до костын октава вӧлі юклӧма дас кык интервал вылӧ (фортепиано клавиатураын моз). Тайӧ юклӧмыс артмӧма татшӧм нотаясӧн: до, до-диез, ре, ре-диез, ми, фа, фа-диез, соль, соль-диез, ля, ля-диез, си, до.

Ӧтмоз темперируйтӧм тэчасын орчча нотаяслӧн тэрыблунъясыс лӧсялӧны ӧткодя: улыс “до”-лӧн да “до-диез”-лӧн кӧ тэрыблунъясыс x Гц да q·x Гц, сэки “ре”-лӧн тэрыблуныс лоас q·q·x = q²x Гц, “ре-диез”-лӧн тэрыблуныс лоас q·q²x = q³x Гц, “ми”-лӧн тэрыблуныс лоас q·q³x = q⁴x Гц да сідз водзӧ. Бӧрвылас миян артмас: вылыс “до”-лӧн тэрыблуныс лоас q¹²x Гц. Мӧдарсянь, вылыс да улыс “до” костын интервал – октава, сы вӧсна вылыс “до”-лӧн тэрыблуныс 2x Гц. Сідзкӧ q¹² = 2 да q лоас 12 тшуппаса вужйӧн 2-сьыс: q ≈ 1,059463094.

Мыйӧн бур тайӧ тэчасыс? Ворсам кутшӧмкӧ шылад. Сэсся став нотаяссӧ вештам ӧткодь интервалъяс вылӧ либӧ улӧ да выльысь ворсам (тайӧ шусьӧ транспонируйтӧмӧн). Артмӧм шыладыс юргас сідзи жӧ, сӧмын быттьӧ сійӧс дзоньнас вештӧмаӧсь вылӧ либӧ улӧ.

Кыдзи лӧсялӧны нотаяслӧн тэрыблунъяс квартаын, квинтаын да терцияясын? Кварта – тайӧ улыс “до” да “фа” костын интервал . Налӧн тэрыблунъясыс x Гц да q⁵x Гц. Сідзкӧ найӧ лӧсялӧны q⁵ ≈ 1,334839854 моз (сӧстӧм тэчасын 4:3 ≈ 1,333333333 моз). Тадзи жӧ артмӧдам и мукӧдыслы: квинта нотаяслӧн тэрыблунъясыс лӧсялӧны q⁷ ≈ 1,498307077 моз (сӧстӧм тэчасын 3:2 = 1,5 моз); ыджыд терциялӧн – q⁴ ≈ 1,25992105 моз (сӧстӧм тэчасын 5:4 = 1,25 моз); ичӧт терциялӧн – q³ ≈ 1,189207115 моз (сӧстӧм тэчасын 6:5 = 1,2 моз). Позьӧ казявны: артмӧм интервалъяс дӧза матынӧсь сӧстӧм тэчаслӧн интервалъяс дінӧ. Збыльысь, прӧстӧй кывзысьлы найӧ кажитчӧны мичаӧн.

XVIII-ӧд нэмын ӧтмоз темперируйтӧм тэчас вӧсна сулаліс прансуз композитор Жан-Филипп Рамо. Шылад сэки ёна сӧвмӧма да, тайӧ тэчасыс лоис медбурӧн.