Планиметрия курс

Веськыд визь йылысь

тшӧтшкӧс – плоскость
веськыд визь – прямая
чут – точка
мыгӧр – фигура
кывкӧртӧд – следствие
эскӧдӧм – доказательство
кыв вожалӧм – противоречие

Планиметрияӧн шусьӧ геометриялӧн юкӧн, кӧні велӧдӧны тшӧтшкӧсвывса мыгӧръяс.

Тшӧтшкӧслысь, веськыд визьлысь, чутлысь медшӧр торъяланлунъяссӧ индам аксиомаяс пыр.

Аксиома. Эм кӧ тшӧтшкӧсын веськыд визь, сэк тшӧтшкӧсса чутъяс пӧвстысь кодсюрӧяс лоасны тайӧ визьын, а мукӧдыс сыысь ортсын.

Аксиома. Кык торъялана чут пыр позьӧ нуӧдны веськыд визь; татшӧм визьыс овлӧ сӧмын ӧти.

Кывкӧртӧд. Вомӧнасьӧны кӧ кык торъялана веськыд визь, вомӧнасян чутныс лоӧ сӧмын ӧти.

Эскӧдӧм. Мед, шуам, веськыд визьясыс вомӧнасьӧны торъялана кык чутын. Сідзкӧ, тайӧ чутъяс пырыс позьӧ гижтыны кык торъялана веськыд визь. А аксиомаыд серти, татшӧм визьыс на пыр вермас мунны сӧмын ӧти. Артмӧ кыв вожалӧм.

Вундӧг

вундӧг – отрезок

Аксиома. Ӧти веськыд визьса куим торъялан чут пиысь ӧтиыс лоӧ мӧд кык костас; татшӧм чутыс овлӧ сӧмын ӧти.

Кык чут на костса став чутыскӧд ӧтув артмӧдӧны вундӧг. Индӧм кык чутыс шусьӧны вундӧг помъясӧн.

Аксиома. Быд вундӧглӧн эм кузьта – плюса лыд.

Вундӧг помъясын кӧ А да В чутъяс, шуам татшӧм вундӧгсӧ АВ; тадзи жӧ и сылысь кузьтасӧ шуам.

Аксиома. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; B-ыс куйлӧ A да C костас. Сэки AC = AB + BC.

Кывкӧртӧд. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; B-ыс куйлӧ A да C костас. Сэки AC > AB, AC > BC.

Кывкӧртӧд. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; AC = AB + BC. Сэки B-ыс куйлӧ A да C костас.

Эскӧдӧм. Миян артмӧ: AC > AB, AC > BC. A чутыс кӧ куйлӧ B да C костас, BC > AC; C чутыс кӧ куйлӧ A да B костас, AB > AC. Сідзкӧ, B-ыс куйлӧ A да C костас.

Тшӧтшкӧсджын

тшӧтшкӧсджын – полуплоскость

Аксиома. Быд веськыд визь юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ. Кык чут A да B куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, оз кӧ AB вундӧгыс вомӧнав индӧм веськыд визьсӧ.

Сідзкӧ, AB-ыс кӧ вомӧналӧ тайӧ веськыд визьсӧ, A да B чутъясыс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын.

Аксиома. Сетӧма кӧ l веськыд визь да сы вылын куйлысь O чут, быть сюрасны и сэтшӧм A да B чутъяс, кодъяслы лӧсялӧ татшӧмтор: A, O, B абу ӧтилаынӧсь, A да B куйлӧны l вылын да O чутыс куйлӧ A да B чутъяс костын.

Визьньӧв

визьньӧв – луч
веськыд визьджын – полупрямая

Мед O чут куйлӧ l веськыд визь вылын. Босьтам l сайын куйлысь M чутсӧ. Нуӧдам O да M чутъяс пыр m веськыд визьсӧ. Сэки m юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ.

Мед A да B чутъяс куйлӧны l веськыд визь вылын. Аксиома серти, найӧ куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын сэк да сӧмын сэк, кор O чут куйлӧ AB вундӧгын. Сідзкӧ, O чут юклӧ l веськыдсӧ кык юкӧн вылӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны визьньӧвъясӧн либӧ веськыд визьджынъясӧн.

OA да OB – кык визьньӧв:

Аксиома. Быд визьньӧвйӧ сы йывсяньыс сетӧм кузьтаӧн позьӧ гижтыны дзик ӧти вундӧг.

Пельӧс йылысь

пельӧс – угол
пельӧс дор – сторона угла
пельӧс йыв – вершина угла
павтыртӧм пельӧс – развёрнутый угол
ёсь пельӧс – острый угол
веськыд пельӧс – прямой угол
ныж пельӧс – тупой угол
орчча пельӧсъяс – смежные углы
вертикаль пельӧсъяс – вертикальные углы

Ӧти чутысь петысь кык визьньӧв артмӧдӧны пельӧс. Тайӧ визьньӧвъясыс шусьӧны пельӧс доръясӧн, а налӧн ӧтувъя чутыс – пельӧс йылӧн.

Пельӧс доръяс костса визьньӧв

Урчитӧм. Визьньӧв мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сылӧн помыс кӧ лӧсялӧ пельӧс йывкӧд да сійӧ кӧ вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.

Висьталӧм. Визьньӧв кӧ мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сійӧ вомӧнасьӧ быд вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.

Эскӧдӧм. Мед O – кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, OM – визьньӧв, коді мунӧ пельӧс доръяс костӧд. Урчитӧм серти, OM вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ AB вундӧгкӧд, кӧні A да B чутъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас. Мед CD – мӧд вундӧг, C куйлӧ OA визьньӧв вылын, D куйлӧ OB визьньӧв вылын.

OM веськыд визь юкӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджынйӧ; аксиома серти, A да B чутъяс оз ӧти тшӧтшкӧсджынас куйлыны. A да C чутъяс куйлӧны OA визьньӧв вылын, та вӧсна найӧ куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, OM веськыд визь серти кӧ. Сідзи жӧ артмӧ: B да D чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, OM веськыд визь серти жӧ. Сідзкӧ, CD вундӧг вомӧнасьӧ OM веськыд визьыскӧд. Пасъям вомӧнасян чутсӧ N шыпасӧн.

Петкӧдлам, мый ОМ веськыд визьвывса N чут куйлӧ ОМ визьньӧв вылын. N кӧ тайӧ визьньӧв вылас эз куйлы, O чут куйліс эськӧ M да N костын. Сэки, босьтам кӧ тшӧтшкӧссӧ кык джынйӧ юкысь пыдди OB веськыд визь, M да N эз эськӧ куйлыны ӧти тшӧтшкӧсджынас. Но CA, CN, AM вундӧгъяс оз вомӧнасьны OB веськыд визьыскӧд. Сідзкӧ, OB веськыд визь серти кӧ, N, C, A, М чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын. Артмис кыв вожалӧм.

Пельӧс градуса муртӧс

Урчитӧм. Пельӧслӧн доръясыс кӧ артмӧдӧны веськыд визь, сійӧ шусьӧ павтыртӧм пельӧсӧн.

Аксиомаяс. 
1. Быд пельӧс позьӧ муртавны плюса градусӧн. 
2. Визьньӧв кӧ мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сэки тайӧ пельӧсас сымда жӧ градус, мыйта визьньӧвнас артмӧдӧм кыкнан пельӧсас ӧтув босьтӧмӧн.

3. Павтыртӧм пельӧсыс лоӧ 180° ыджда.

4. Быд визьньӧвсянь позьӧ бӧрйӧм тшӧтшкӧсджынйӧ пуктыны сетӧм муртӧсӧн дзик ӧти пельӧс (медтыкӧ 180°-ысь ыджыдджык эз вӧв-а).

Орчча пельӧсъяс

Урчитӧм. Кык пельӧс шусьӧ орччаӧн, налӧн кӧ эм ӧтувъя дор, а мӧд доръяс кӧ артмӧдӧны веськыд визь.

Теорема. Ӧтувтам кӧ орчча пельӧсъяслысь ыджданысӧ, лоӧ 180°.
Эскӧдӧм. Орчча пельӧсъяс артмӧдӧны павтыртӧм пельӧссӧ, кодлӧн ыдждаыс 180°. Сідзкӧ, 2-ӧд аксиома серти, налӧн суммаыс лоас 180°.
Кывкӧртӧд.  Пельӧсыс кӧ 90° ыджда, сыкӧд орчча пельӧсыс сідзжӧ 90° ыджда.

Бур (веськыд), ёсь да ныж пельӧсъяс

Урчитӧм. Пельӧс шусьӧ ёсьӧн, сылӧн градуса муртӧсыс кӧ 90°-ысь этшаджык; бур пельӧсӧн (рочӧн моз веськыд пельӧс), сійӧ кӧ 90° ыджда; ныж пельӧсӧн, сійӧ кӧ 90°-ысь ыджыдджык.

Вертикаль пельӧсъяс

Урчитӧм. Кык пельӧс шусьӧ вертикаль пельӧсъясӧн, ӧтиыслӧн доръясыс кӧ лоӧны мӧд пельӧсса доръяслӧн нюжӧдӧмӧн.

Теорема. Вертикаль пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
Эскӧдӧм. Серпас серти, ∠AOB да ∠BOC орччаӧсь, ∠BOC да ∠COD орччаӧсь. Та вӧсна ∠AOB + ∠BOC = 180°, ∠BOC + ∠COD = 180°. Сідзкӧ, ∠AOB = 180° – ∠BOC = ∠COD.

Куимпельӧсаяс

куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник

Урчитӧм. Куимпельӧсаӧн либӧ куимсэрӧгӧн шусьӧ куим чутысь (кодъяс оз куйлыны ӧти веськыд визь вылын) да найӧс йитан вундӧгъясысь тэчӧм мыгӧр. Индӧм куим чутсӧ куимпельӧсаын шуам йывъяснас, а вундӧгъяссӧ — доръяснас.

ABC куимпельӧсаын AB да AС визьньӧвъяс костын куйлысь пельӧс шусьӧ A йывбердса пельӧсӧн.

Ӧткодь куимпельӧсаяс

ӧткодь куимпельӧсаяс – равные треугольники

Урчитӧм. ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь, налӧн кӧ ӧта-мӧдыслы лӧсялана пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, а ӧта-мӧдыслы лӧсялана доръясыс ӧткузяӧсь: ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’, AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’.

Гижтам визьньӧв. Нюжӧдам кӧ сійӧс, лоӧ веськыд визь, коді юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык джынйӧ. Бӧръям тайӧ тшӧтшкӧсджынъяс письыс ӧтиӧс. Сэсся гижтам ABC куимпельӧса да бӧръям сылысь дорсӧ (шуам, AB вундӧгсӧ), а тайӧ вундӧгыслысь пасъям ӧти помсӧ (шуам, A).

Аксиома. Бӧрйӧм тшӧтшкӧсджынйӧ позьӧ пуктыны ABC-кӧд ӧткодь DEF куимпельӧса сэтшӧм ногӧн, медым DE вундӧг куйліс индӧм визьньӧвйын да D помыс ӧтлаасис визьньӧвйыслӧн воддза чуткӧд.

Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, AB = A’B’, AC = A’C’, ∠A = ∠A’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм AMK куимпельӧса, кӧні: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’, 2) AM куйлӧ AB визьньӧвйын, 3) AMK да ABC куйлӧны AB веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.

Кык куимпельӧсаыс (тані ∆AMK да ∆A’B’C’) кӧ ӧткодьӧсь, сэки и налӧн лӧсялана доръясыс да пельӧсъясыс тшӧтш ӧткодьӧсь: AM = A’B’, AK = A’C’, ∠B’A’C’ = ∠MAK. Сідзкӧ:

1) AB = A’B’ = AM, сійӧ и M = B;

2) ∠BAC = ∠B’A’C’ = ∠BAK, та вӧсна AK да AC визьньӧвъяс тшӧтш лӧсялӧны;

3) AC = A’C’ = AK, сійӧн и K = C.

Кык чут пыр вермӧ мунны сӧмын ӧти веськыд визь. Сідзкӧ, AMK да ABC куимпельӧсаяс ӧта-мӧдкӧд лӧсялӧны. Та вӧсна ∆ABC = ∆A’B’C’.

Ӧткодь берда да ӧткодь доръяса куимпельӧсаяс

ӧткодь берда куимпельӧса – равнобедренный треугольник
ӧткодь доръяса куимпельӧса – равносторонний треугольник
боквыв доръяс – боковые стороны
подув – основание

• Куимпельӧсаын кӧ кык дорыс ӧтыдждаӧсь, шуам сійӧс ӧткодь берда куимпельӧсаӧн.
• Куимпельӧсаын кӧ куимнан дорыс ӧтыдждаӧсь, шуам сійӧс ӧткодь доръяса куимпельӧсаӧн.

Пасйӧд. Ӧткодь берда куимпельӧсаын коймӧд дорыс вермӧ торъявны кык ӧткодь дорсьыс, а вермӧ лоны и на кузьта жӧ. Сэки татшӧм ӧткодь берда куимпельӧсаыс лоӧ тшӧтш ӧткодь доръясаӧн. Сідзкӧ, ӧткодь доръяса куимпельӧса лоӧ тшӧтш ӧткодь бердаӧн, сылӧн быд кык дорыс ӧтыдждаӧсь да.

• Ӧткодь берда куимпельӧсаын ӧткодь доръяссӧ шуам боквыв доръясӧн, а коймӧд дорсӧ — подулӧн.
• Подувлы паныд куйлысь пельӧссӧ шуам йывса пельӧсӧн, а боквыв дорлы паныд куйлысь пельӧссӧ — подувбердса пельӧсӧн.

Теорема. Ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABC – ӧткодь берда куимпельӧса, AB = BC. Лыддям куимпельӧсаыслысь йывъяссӧ ӧтарлань да мӧдарлань: ABC да CBA. Пуктам ∆ABC да ∆CBA орччӧн. Казялам: AB = BC, CB = BA, а на костса B пельӧс ӧтувъя. Сідзкӧ, ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног серти, ∆ABC = ∆CBA. А та вӧсна и ∠BAC = ∠BCA.

☼ ☼ ☼

Ӧткодь доръяса куимпельӧсалысь куимнан дорсӧ позьӧ шуны кӧть подулӧн, кӧть боквыв дорӧн, а куимнан пельӧссӧ — кӧть подувбердса, кӧть йывса пельӧсӧн.

Теорема. Ӧткодь доръяса куимпельӧсаын куимнан пельӧсыс ӧтыджда.

Эскӧдӧм. Мед ABC – ӧткодь доръяса куимпельӧса. Лыддям кӧ AC дорсӧ подулӧн, сэки ∠BAC = ∠BCA, найӧ подувбердса пельӧсъяс да; BC дорсӧ сідзжӧ позьӧ лыддьыны подулӧн, сэки подувбердса пельӧсъясӧн лоӧны ∠ACB да ∠ABC, сідзкӧ найӧ тшӧтш ӧткодьӧсь. Та дырйи ∠BCA да ∠ACB — ӧти сійӧ жӧ пельӧс (видзӧд серпассӧ). Кык ӧткодьлунсьыс (∠BAC = ∠BCA да ∠BCA = ∠ABC) артмӧ: ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC.

Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ мӧд тӧдмалан ног

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, AB = A’B’, ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм AMK куимпельӧса, кӧні: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’, 2) AM куйлӧ AB визьньӧвйын, 3) AMK да ABC куйлӧны AB веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.

Кык куимпельӧсаыс (тані ∆AMK да ∆A’B’C’) кӧ ӧткодьӧсь, сэки и налӧн лӧсялана доръясыс да пельӧсъясыс тшӧтш ӧткодьӧсь: AM = A’B’, ∠B’A’C’ = ∠MAK, ∠A’B’C’ = ∠AMK. Сідзкӧ:

1) AB = A’B’ = AM, сійӧн и M = B;

2) ∠BAC = ∠B’A’C’ = ∠BAK, та вӧсна AK да AC визьньӧвъяс тшӧтш лӧсялӧны;

3) ∠ABC = ∠A’B’C’ = ∠ABK, та вӧсна BK да BC визьньӧвъяс лӧсялӧны жӧ.

Кык торъялана веськыд визь вермӧ вомӧнасьны сӧмын ӧти чутын. Сідзкӧ, миян K да C ӧти и сійӧ жӧ чут. Вылынджык аддзим: M да B тшӧтш ӧти чут. Со и петӧ, мый AMK да ABC куимпельӧсаяс лӧсялӧны. А казьтыштам кӧ, мый ∆AMK да ∆A’B’C’ ӧткодьӧсь, сэки и воам кывкӧртӧдӧ: ∆ABC = ∆A’B’C’.

☼ ☼ ☼

Теорема. Куимпельӧсаыс лоӧ ӧткодь бердаӧн, сыын кӧ эм кык ӧтыджда пельӧс.

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, ∠A = ∠C. Лыддям куимпельӧсаыслысь йывъяссӧ ӧтарлань да мӧдарлань: ABC да CBA. Пуктам ∆ABC да ∆CBA орччӧн. Казялам: ∠A = ∠C, ∠C = ∠A, а на костса AC дорыс ӧтувъя. Сідзкӧ, ӧткодьлунсӧ мӧд тӧдмалан ног серти, ∆ABC = ∆CBA. А та вӧсна и AB = BC.

☼ ☼ ☼

Кывкӧртӧд 1. Куимпельӧсаын кӧ эм кык ӧтыджда пельӧс, татшӧм куимпельӧсаыс быть лоӧ ӧткодь бердаӧн; и мӧдарӧ, куимпельӧсаыс кӧ ӧткодь берда, сыын быть эм кык ӧтыджда пельӧс. (Дженьдӧдӧм могысь шуӧны тадзи: куимпельӧса ӧткодь берда сэк да сӧмын сэк, кор сыын эм кык ӧтыджда пельӧс.)

Кывкӧртӧд 2. Куимпельӧсаын кӧ куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь, татшӧм куимпельӧсаыс быть лоӧ ӧткодь доръясаӧн; и мӧдарӧ, куимпельӧсаыс кӧ ӧткодь доръяса, сылӧн куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь. (Дженьдӧдӧм могысь шуӧны тадзи: куимпельӧса ӧткодь доръяса сэк да сӧмын сэк, кор сыын куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь.)

Биссектриса, медиана да судта

• Биссектрисаӧн шуӧны визьньӧв, коді петӧ пельӧс йылысь да юклӧ тайӧ пельӧссӧ шӧрипӧв.

• Куимпельӧсаын биссектрисаӧн шуӧны вундӧг, коді юклӧ сылысь ӧти пельӧссӧ шӧрипӧв да йитӧ тайӧ пельӧс йывсӧ паныда дор вылын куйлысь чуткӧд.

• Куимпельӧсаын медианаӧн шуӧны вундӧг, коді йитӧ сылысь ӧти йывсӧ паныда дорвывса шӧр чуткӧд.

Теорема. Кык веськыд визь кӧ вомӧнасьӧны да та дырйи артмӧм нёль пельӧсысь ӧтиыс кӧ лоӧ бур, сэки мукӧд куим пельӧсыс тшӧтш бурӧсь.

Эскӧдӧм. Тайӧ куим пельӧс пӧвстысь ӧтиыс куйлӧ 90°‐а пельӧскӧд вертикаль ногӧн, та вӧсна сійӧ лоӧ тшӧтш бур (вертикаль пельӧсъяс ӧткодьӧсь да). Мӧд кыкыс 90°‐а пельӧскӧд орччаӧсь, та вӧсна и найӧ бурӧсь (кыдзи ми тӧдам нин).

• Веськыд визь шусьӧ перпендикулярӧн мӧд веськыд визьлы, найӧ кӧ артмӧдӧны бур пельӧс.

• Куимпельӧсаын судтаӧн шуӧны вундӧг, коді йитӧ сылысь ӧти йывсӧ паныда дор визь вылын куйлысь чуткӧд да лоӧ тайӧ дорыслы перпендикулярӧн.

Теорема. Ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧсса биссектрисаыс лоӧ ӧттшӧтш медианаӧн да судтанас.

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, кӧні AB = BC, а BD – биссектрисаыс, коді юклӧ ABC-сӧ кык пельӧ: ∆ABD да ∆CBD. Казялам: AB = CB, ∠ABD = ∠CBD, а BD – налӧн ӧтувъя дор. Ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног серти, ∆ABD = ∆CBD. Таысь петӧ кык тор:

1. AD = DC, а сідзкӧ, BD — медиана;
2. ∠BDA = ∠BDC; серпасысь позьӧ аддзыны, мый тайӧ ӧткодь пельӧсъясыс орччаӧсь. Кыдзи ми тӧдам, орчча пельӧсъяслӧн суммаыс 180°, та вӧсна ∠BDA = 90° да ∠BDC = 90°, а сідзкӧ, BD — судта.

Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ коймӧд тӧдмалан ног

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, кӧні AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм AMK куимпельӧса, кӧні: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’; 2) AM куйлӧ AB визьньӧвйын; 3) K да C чутъяс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын AB веськыд визь серти.

(колӧ серпас)

AB = A’B’ = AM, та вӧсна M = B.

AC = A’C’ = AK; сідзкӧ, AC да AK – боквыв доръяс ӧткодь берда CAK куимпельӧсаын. Та вӧсна ∠AKC = ∠ACK. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠BKC = ∠BCK.

Сідзкӧ, ∠ACB = ∠ACK + ∠BCK = ∠AKC + ∠BKC = ∠AKB. Таысь кындзи, AC = AK, BC = BK. Сы вӧсна ABC да ABK куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмалан ног серти да ∆A’B’C’ = ∆ABK = ∆ABC.

Веськыд визьлань ортсы чут пыр гижтӧм перпендикуляр

Теорема. Веськыд визьысь ортсыын куйлысь чут пыр оз позь гижтыны сы дорӧ кык торъялана перпендикуляр.

Эскӧдӧм (паныдсянь). Мед A чут лоӧ l веськыд визьысь ортсыын, а AM да AN – тайӧ визь дорас кык торъялана перпендикуляр, кодъяс вомӧналӧны l-сӧ M да N чутъясын. Та дырйи M да N – кык торъялана чут.

Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм MBN куимпельӧса, кӧні: 1) ∆MBN = ∆MAN, 2) A да B чутъяс куйлӧны l веськыд визь серти торъя тшӧтшкӧсджынъясын.

Миян артмӧ: ∠AMN = ∠BMN = 90°; та вӧсна ∠AMB = 180° да M чут куйлӧ AB веськыд визь вылын. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: N чут куйлӧ AB веськыд визь вылын. AB да l веськыдъяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. Сідзкӧ, M = N, а тайӧ оз лӧсяв миян воддза шуӧмкӧд, код серти M да N – кык торъялана чут.

Теорема. Ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧсса судта лоӧ ӧттшӧтш биссектрисаӧн да медианаӧн.

Эскӧдӧм (паныдсянь). Мед судтаыс оз ло биссектрисаӧн. Гижтам йывса пельӧслысь биссектрисасӧ. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧслӧн биссектрисаыс ӧттшӧтш лоӧ сылы судтаӧн. Сідзкӧ, йывса пельӧсысь позьӧ гижтыны подувлы кык торъялана перпендикуляр, а тайӧ оз лӧсяв воддза теоремакӧд.

Теорема. Веськыд визь дорӧ сыысь ортсыын куйлысь чут пырыс позьӧ гижтыны перпендикуляр.

Эскӧдӧм. Мед A чут куйлӧ l веськыд визьысь ортсыын, B да C чутъяс лоӧны l вылын. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм BA’C куимпельӧса, кӧні: 1) ∆BA’C = ∆BAC, 2) A да A’ чутъяс куйлӧны l веськыд визь серти торъя тшӧтшкӧсджынъясын. Сідзкӧ, ABA’ куимпельӧсаын AB = A’B, BC визьньӧв – ∠ABA’-лӧн биссектриса. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧслӧн биссектрисаыс ӧттшӧтш лоӧ сылы судтаӧн. Сідзкӧ, AA’ лоӧ l-лы перпендикулярӧн.

Ортсыса пельӧс

Куимпельӧсалысь став видлалӧм сикас пельӧсъяссӧ позьӧ шуны тшӧтш пытшкӧс пельӧсъясӧн. Куимпельӧса бердын куимнан пытшкӧс пельӧскӧд орччӧн куйлӧны ортсы пельӧсъяс. Мӧд ногӧн шуны, куимпельӧсалӧн ортсы пельӧсӧн шусьӧ быд пытшкӧс пельӧскӧд орчча пельӧс.

Теорема. Ортсыса пельӧс ыджыдджык куимпельӧсаса кыкнан пельӧсысь, коді сыкӧд абу орччӧн.

Эскӧдӧм. Мед ABC — куимпельӧса, ∠BCD — сылӧн ортсы пельӧс, коді куйлӧ ∠BCA-кӧд орччӧн; та дырйи C чут куйлӧ A да D костын. Петкӧдлам: ∠ABC < ∠BCD.

Та могысь гижтам ∠BCD пельӧс доръяс костӧд сэтшӧм CE визьньӧв, медым ∠ABC = ∠BCE. Кытысь лоӧ E чутыс? BC вундӧг шӧрын куйлысь чут пыр (пасъям сійӧс O) гижтам AO визьньӧв. Тайӧ визьньӧв вылас пасъям E чут, коді куйлӧ O чутсянь сы ылнаын жӧ, кыдзи и A чут. Миян артмӧ: 1) OC = OB; 2) AO = OE; 3) ∠AOB = ∠EOC кыдзи вертикаль пельӧсъяс. Сідзкӧ ∆AOB = ∆EOC медводдза тӧдмалан ног серти. Та вӧсна ∠ABC = ∠BCE, кыдзи ӧткодь куимпельӧсаясын лӧсялана пельӧсъяс.

O, B да E чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын AD веськыд визь серти. Миян артмӧ: 1) ∠BCD = 180° – ∠BCA (кыдз орчча); 2) ВС да AE вундӧгъяс вомӧнасьӧны, мӧд ног шуны, CB визьньӧв мунӧ ∠ACE пельӧс доръяс костӧд. Сідзкӧ ∠ACE = ∠BCE + ∠BCA. 3) ∠ACE < 180°, та вӧсна ∠ACE-ысь кӧ чинтам ∠BCA да 180°-ысь сійӧ жӧ ∠BCA чинтам, медводдза чинтасыс лоас этшаджык мӧд чинтассьыс (формулаӧн кӧ пасъям, ∠ACE – ∠BCA < 180° – ∠BCA).

Ӧтувтам кӧ став артмӧм формула, лоас:

∠ABC = ∠BCE;

∠BCE = ∠ACE – ∠BCA;

∠ACE – ∠BCA < 180° – ∠BCA;

180° – ∠BCA = ∠BCD.

Сідзкӧ ∠ABC < ∠BCD.

Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам, мый ∠BAC < ∠BCD.

Куимпельӧсалысь доръяс да пельӧсъяс ӧтластитӧм

Теорема. Куимпельӧсаын ыджыдджык дорлы паныд куйлӧ ыджыдджык пельӧс.

Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсаын AC > AB. Петкӧдлам: ∠ABC > ∠ACB. Пасъям AC вундӧг вылын сэтшӧм D чут, медым AD = AB. Сідзкӧ, ∠ABD = ∠BDA, ӧд найӧ ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс.

BD вундӧг юкӧ ∆ABC-сӧ кык пельӧ; сы пытшкын ӧні эм кык куимпельӧса: ∆ABD да ∆BCD. ∠BDA лоӧ ∆BCD куимпельӧсалы ортсыса пельӧс. Кыдзи ми тӧдам нин, ортсыса пельӧс век ыджыдджык пытшкӧсса пельӧсысь, коді сыкӧд абу орчча. Сідзкӧ ∠BDA > ∠BCD. Ӧтувтам кӧ став артмӧм формула, лоас:

∠ABC > ∠ABD,

∠ABD = ∠BDA,

∠BDA > ∠BCD,

∠BCD = ∠ACB.

Сідзкӧ, ∠ABC > ∠ACB.

Теорема. Куимпельӧсаын ыджыдджык пельӧслы паныд куйлӧ ыджыдджык дор.

(татчӧ колӧ серпас)

Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсаын ∠ABC > ∠ACB. Петкӧдлам: AC > AB.

Тайӧ кӧ абу сідз, либӧ AC = AB, либӧ AC < AB. Кыдзи ми тӧдам нин, кор AC = AB, сэки ∠ABC = ∠ACB; кор AC < AB, сэки ∠ABC < ∠ACB. Тайӧ оз лӧсяв ∠ABC > ∠ACB ӧткодьтӧмлункӧд.

☼ ☼ ☼

Сідзкӧ, куимпельӧсаын ӧти дор кузьджык мӧд дорсьыс сэк да сӧмын сэк, кор медводдза дорыслы паныд куйлан пельӧс ыджыдджык мӧд дорыслы паныд куйлан пельӧсысь.

Ёсь пельӧса, бур (веськыд) пельӧса да ныж пельӧса куимсэрӧгъяс

ёсь пельӧса куимсэрӧг — остроугольный треугольник
бур (веськыд) пельӧса куимсэрӧг — прямоугольный треугольник
ныж пельӧса куимсэрӧг — тупоугольный треугольник

Куимсэрӧг шусьӧ ёсь пельӧсаӧн, сыын кӧ куимнан пельӧсыс ёсь.

Куимсэрӧг шусьӧ бур (веськыд) пельӧсаӧн, сыын кӧ ӧти пельӧсыс бур (веськыд).

Куимсэрӧг шусьӧ ныж пельӧсаӧн, сыын кӧ ӧти пельӧсыс ныж.

Теорема. 1) Бур пельӧса куимсэрӧгын гипотенузабердса пельӧсъяс ёсьӧсь. 2) Гипотенуза кузьджык катетысь.

Эскӧдӧм. 1) Бур пельӧскӧд орчча пельӧс тшӧтш бур; теорема серти, сійӧ ыджыдджык гипотенузабердса пельӧсысь. 2) Бур (веськыд) пельӧсыс куимпельӧсаын медыджыд, та вӧсна сылы паныд куйлысь дор медкузь.

Висьталӧм. Ныж пельӧса куимсэрӧгын эм кык ёсь пельӧс.

Эскӧдӧм. Ӧти пельӧсыс кӧ ныж, сыкӧд орчча пельӧсыс ёсь. Кыдз ми тӧдам нин, ортсыса пельӧс ыджыдджык пытшкӧсса пельӧсысь, коді абу сыкӧд орччӧн. Сідзкӧ куимпельӧсаыслӧн мукӧд пытшкӧсса пельӧсъяс ёсь пельӧсысь ичӧтджыкӧсь; та вӧсна найӧ асьныс ёсьӧсь.

Висьталӧм. Ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс ёсьӧсь.

Эскӧдӧм. Кыдз ми тӧдам нин, 1) ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, 2) бур пельӧса либӧ ныж пельӧса куимсэрӧгын эм кык ёсь пельӧс. Сідзкӧ, подувбердса пельӧс оз вермы лоны бурӧн ни ныжӧн.

Куимпельӧса ӧткодьтӧмлун

Теорема. Куимпельӧсаын кык дорыслӧн ӧтувъя кузьта век лоӧ ыджыдджык коймӧд дор кузьтасьыс.

Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсаын AC дор медыджыд. Мед D чут куйлӧ AC вундӧг вылын, AB = AD. Миян артмӧ: ∆DAB — ӧткодь берда куимсэрӧг, DB — сылӧн подулыс, ∠ADB — подувбердса пельӧсыс.

Сідзкӧ, ∠ADB ёсь кыдз подувбердса пельӧс ӧткодь берда куимсэрӧгын. Та вӧсна ∠BDC ныж. Миян артмӧ: BDC куимпельӧсаын ∠BDC медыджыд, сы понда BC > DC. Сідзкӧ, AC = AD + CD < AB + BC.

Ӧтнырвизя (параллель) веськыдъяс

Урчитӧм. Кык веськыд визь шусьӧ ӧтнырвизяӧн (параллельӧн), найӧ кӧ оз вомӧнасьны.

Теорема. Кык торъялана веськыд визь кӧ ӧшанвизьлунаӧсь коймӧд веськыдлы, найӧ ӧтнырвизяӧсь.

Эскӧдӧм (паныдсянь). Веськыд визьясыс кӧ вомӧнасьӧны, налӧн вомӧнасян чутысь позис эськӧ нуӧдны коймӧд веськыдӧ кык торъялана ӧшанвизь.

Кывкӧртӧд. Веськыд визьысь ортсыын куйлысь чут пыр позьӧ нуӧдны ӧтнырвизя веськыдсӧ.

Эскӧдӧм. Нуӧдам сетӧм A чутысь индӧм m веськыдӧ l ӧшанвизь. Сэсся A чут пыр нуӧдам l-лы ӧшанвизьлуна n веськыдсӧ. Миян артмӧ: l ӧшанвизьлуна m-лы да n-лы. Сідзкӧ, m да n ӧтнырвизяӧсь.

Параллельлун йылысь тӧдмӧсъяс

пытшкӧсса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс – внутренние накрест лежащие углы
ортсыса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс – внешние накрест лежащие углы
весьтаса пельӧсъяс – соответственные углы
пытшкӧсса ӧтарбокса пельӧсъяс – внутренние односторонние углы
ортсыса ӧтарбокса пельӧсъяс – внешние односторонние углы

Сетӧма торъялана кык веськыд визь да найӧс вундысь (накӧд вомӧнасьысь веськыд визь). Серпас вылын петкӧдлӧма:

пытшкӧсса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс,

ортсыса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс,

весьтаса пельӧсъяс,

пытшкӧсса ӧтарбокса пельӧсъяс,

ортсыса ӧтарбокса пельӧсъяс.

Теорема. Сетӧма кык веськыд визь да найӧс вундысь. Артмӧм пытшкӧсса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыдъясыс ӧтнырвизяӧсь.

Эскӧдӧм. Мед AC да BD – сетӧм веськыдъяс, AB – вундысь, ∠ABD = ∠BAC. Мед M – AB вундӧглӧн шӧр. Нуӧдам M чут пыр AC веськыдӧ MP ӧшанвизь. Мед сійӧ вомӧнасьӧ BD-кӧд Q чутын. ∠AMP = ∠BMQ кыдз сувтсаяс. Сідзкӧ, ∆AMP = ∆BMQ мӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠BQM = ∠APM = 90°. Миян артмӧ: BQ да AP веськыдъяс ӧшанвизьлунаӧсь PQ веськыдлы. Сідзкӧ, найӧ ӧтнырвизяӧсь.

Кывкӧртӧд. Сетӧма кык веськыд визь да найӧс вундысь. Артмӧм ортсыса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыдъясыс ӧтнырвизяӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ∠1, ∠2 – ортсыса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс, ∠1 = ∠2.

∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 кыдз сувтсаяс. Сідзкӧ, ∠3 = ∠4. Тайӧ пельӧсъясыс – пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Сідзкӧ, веськыдъясыс ӧтнырвизяӧсь.

Кывкӧртӧд. Сетӧма кык веськыд визь да найӧс вундысь. Артмӧм пытшкӧсса (ортсыса) ӧтарбокса пельӧсъяс содтасыс кӧ 180° ыджда, веськыдъясыс ӧтнырвизяӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ∠1, ∠2 – пытшкӧсса ӧтарбокса пельӧсъяс, ∠1 + ∠2 = 180°.

∠2 да ∠3 орччаӧсь, та вӧсна ∠2 + ∠3 = 180°. Сідзкӧ, ∠1 = ∠3. ∠1 да ∠3 пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс; теорема серти, сетӧм веськыдъясыс ӧтнырвизяӧсь. Ортсыса ӧтарбокса пельӧсъяс содтасыс кӧ 180° ыджда, подулалам кывкӧртӧдсӧ сэтшӧм жӧ ногӧн.

Кывкӧртӧд. Сетӧма кык веськыд визь да найӧс вундысь. Весьтаса пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыдъясыс ӧтнырвизяӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ∠1, ∠2 – весьтаса пельӧсъяс, ∠1 = ∠2.

∠1 да ∠3 сувтсаяс, та вӧсна ∠1 = ∠3. Сідзкӧ, пытшкӧсса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс, ∠2 да ∠3, ӧтыдждаӧсь. Теорема серти, веськыдъясыс ӧтнырвизяӧсь.

Параллель веськыд йылысь аксиома

Аксиома. Веськыд визьысь ортсыын куйлысь чут пыр позьӧ нуӧдны сӧмын ӧти ӧтнырвизя веськыдӧс.

Кывкӧртӧд. Кык торъялана веськыд визь кӧ ӧтнырвизяӧсь коймӧд веськыдкӧд, найӧ ӧтнырвизяӧсь ӧта-мӧдыскӧд.

Эскӧдӧм. Мед a да b веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь c веськыдкӧд да вомӧнасьӧны M чутын. Сідзкӧ, M чут пыр позьӧ нуӧдны кык торъялана веськыд визь, кодъяс c-кӧд ӧтнырвизяӧсь. Аксиома серти, позьӧ нуӧдны сӧмын ӧтиӧс. Тайӧ кыв вожалӧм.

Параллель веськыдъяс торъяланлунъяс

Теорема. Сетӧма кык ӧтнырвизя веськыд да найӧс вундысь. Сэки артмӧм пытшкӧсса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ∠DAB да ∠CBA абу ӧтыдждаӧсь. Нуӧдам A чут пыр AE веськыдӧс сідзи, медым ∠EAB = ∠CBA. Сідзкӧ, EA да BC веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Та вӧсна A чут пыр мунӧ BC-кӧд ӧтнырвизя кык веськыд: AD да AE. Тайӧ кыв вожалӧм.

Кывкӧртӧд. Сетӧма кык ӧтнырвизя веськыд да найӧс вундысь. Сэки 1) артмӧм ортсыса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь; 2) артмӧм весьтаса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь; 3) артмӧм пытшкӧсса ӧтарбокса пельӧсъяс содтасыс 180° ыджда; 4) артмӧм ортсыса ӧтарбокса пельӧсъяс содтасыс 180° ыджда.

Куимпельӧсаын пельӧсъяс суммаыс

Теорема. Куимпельӧсаын пельӧсъяс содтасыс 180° ыджда.

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса. Нуӧдам B чут пыр AC-кӧд ӧтнырвизя DE веськыдсӧ. Сідзкӧ, ∠DBA = ∠BAC, ∠EBC = ∠BCA кыдз пытшкӧсса крестӧнкуйлысьяс. Миян артмӧ: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = ∠DBA + ∠ABC + ∠EBC = 180°.

Кывкӧртӧд. Куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс лоӧ сыкӧд неорчча пытшкӧс пельӧсъяс содтас ыджда.

Эскӧдӧм. Мед ∠ABD – ортсыса пельӧс. Сідзкӧ, ∠ABD + ∠ABC = 180°. Мӧдарсянь, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Та вӧсна ∠ABD = 180° – ∠ABC = ∠BAC + ∠BCA.

Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧгын ёсь пельӧсъяс содтасыс 90° ыджда.

Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса ӧткодь берда куимпельӧсаын ёсь пельӧс 45° ыджда.

Кывкӧртӧд. Ӧткодь доръяса куимпельӧсаын ёсь пельӧс 60° ыджда.

Нёльпельӧсаяс

Урчитӧм. Сетӧма нёль чут, на пиысь некутшӧм куим оз куйлыны ӧти веськыд визь вылын. Йитам найӧс сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн вундӧгъясӧн. Мед вундӧгъяс пиысь некутшӧм кык оз вомӧнасьны пытшкӧсса чутын. Артмӧм мыгӧрыс шусьӧ нёльпельӧсаӧн.

Мед нёльпельӧса тэчӧма A, B, C, D чутъясысь да найӧс йитысь AB, BC, CD, DA вундӧгъясысь. Сэки гижӧны: ABCD нёльпельӧса. Чутъясыс шусьӧны нёльпельӧсалӧн йывъясӧн; найӧс йитысь вундӧгъяс шусьӧны нёльпельӧсалӧн доръясӧн.

Нёльпельӧсалӧн кык йыв шусьӧ орччаӧн, найӧ кӧ лоӧны ӧти дор помъясӧн. Кык дор шусьӧ орччаӧн, найӧ кӧ петӧны ӧти йылысь. Кык йыв шусьӧ вочаӧн, найӧ кӧ абу орччаяс. Кык дор шусьӧ вочаӧн, найӧ кӧ абу орччаяс. Кык воча йыв йитысь вундӧг шусьӧ диагональӧн.

Теорема. Нёльпельӧсалӧн пельӧсъяс содтасыс 360° ыджда. Эскӧдӧм. Нуӧдам нёльпельӧсалысь диагональсӧ, коді сійӧс юкӧ кык куимпельӧса вылӧ (серпас вылын тайӧ AC). Миян артмӧ: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA + ∠CAD + ∠ADC + ∠ADC = 180° + 180° = 360°.

Параллелограмм

Нёльпельӧса шусьӧ параллелограммӧн, сылӧн кӧ став воча доръясыс ӧтнырвизяӧсь ӧта-мӧдыслы.

Параллелограмм йылысь тӧдмӧсъяс

1-ӧд тӧдмӧс. Мед нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сэки тайӧ параллелограмм.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм нёльпельӧса, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Сідзкӧ, 2∠A + 2∠B = 360°, ∠A + ∠B = 180°. Та вӧсна AD да BC веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: AB да CD веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь.

2-ӧд тӧдмӧс. Мед нёльпельӧсалӧн диагональясыс вомӧнасьӧны шӧр чутаныс. Сэки тайӧ параллелограмм.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм нёльпельӧса, O чут – AC да BD диагональяслӧн вомӧнасянін, AO = OC, BO = OD. AOB да COD пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь кыдзи сувтсаяс. Сідзкӧ, ∆AOB = ∆COD медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠OAB = ∠OCD. Тайӧ пытшкӧсса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс да, AB ∥ CD. Сідзи артмӧ: AD ∥ BC.

3-ӧд тӧдмӧс. Мед нёльпельӧсалӧн кык воча дор ӧтыдждаӧсь да ӧтнырвизяӧсь. Сэки тайӧ параллелограмм.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм нёльпельӧса, O чут – AC да BD диагональяслӧн вомӧнасянін, AB = CD, AB ∥ CD. Сідзкӧ, ∠BAO = ∠DCO, ∠ABO = ∠CDO кыдзи пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Та вӧсна ∆AOB = ∆COD мӧд тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: AO = OC, BO = OD да ABCD – параллелограмм мӧд тӧдмӧс серти.

4-ӧд тӧдмӧс. Мед нёльпельӧсалӧн кык воча доръяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтыдждаӧсь. Сэки тайӧ параллелограмм.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм нёльпельӧса. Сэки ∆ABC = ∆CDA коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ∠BCA = ∠CAD. Тайӧ пытшкӧсса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс да, BC ∥ AD. Та вӧсна ABCD – параллелограмм 3-ӧд тӧдмӧс серти.

Параллелограмм торъяланлунъяс

1-ӧд торъяланлун. Параллелограммлӧн воча пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм. Сэки ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°. Сідзкӧ, ∠A = 180° – ∠B = ∠C. Сідзи жӧ артмӧдам: ∠B = ∠D.

2-ӧд торъяланлун. Параллелограммлӧн воча доръяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм. Сэки ∠BAC = ∠ACD, ∠BCA = ∠CAD кыдз пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Сідзкӧ, ABC да CDA куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна AB = CD, AD = BC.

3-ӧд торъяланлун. Параллелограммлӧн диагональяс вомӧнасьӧны асланыс шӧр чутас.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, O – диагональясыслӧн вомӧнасян чут. Сэки ∠OAD = ∠OCB, ∠ODA = ∠OBC кыдз пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Ми тӧдам нин: AD = BC. Сідзкӧ, AOD да COB куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна AO = OC, BO = OD.

Веськыдсэрӧг

Урчитӧм. Параллелограмм, кодлӧн ӧти пельӧсыс веськыд, шусьӧ веськыдсэрӧгӧн.

Пасйӧд. Веськыдсэрӧглӧн став пельӧсыс веськыд.

Теорема. Веськыдсэрӧглӧн диагональясыс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм веськыдсэрӧг. Сэки BAD да CDA куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, AC = BD.

Теорема. Параллелограммлӧн диагональясыс кӧ ӧтыдждаӧсь, тайӧ веськыдсэрӧг.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, AC = BD. Сэки AB = CD, ∠BAD + ∠CDA = 180°. Сідзкӧ, BAD да CDA куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠BAD = ∠CDA = 90°.

Ромб

Урчитӧм. Параллелограмм шусьӧ ромбӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда.

Теорема. Ромблӧн диагональ лоӧ сылӧн пельӧсыслӧн биссектриса.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм ромб. Сэки ABC – ӧткодь берда куимпельӧса. Та вӧсна ∠BAC = ∠BCA. Таысь кындзи, ∠BAC = ∠DCA, ∠BCA = ∠DAC кыдзи пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Сідзкӧ, ∠BCA = ∠DCA, ∠BAC = ∠DAC.

Теорема. Ромблӧн диагональяс ӧшанвизьлунаӧсь ӧта-мӧдыслы.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм ромб. Ми тӧдам нин: BD диагональ лоӧ ∠ABC пельӧслӧн биссектриса. AB = BC да, BD ӧшанвизьлуна AC-лы (ӧткодь берда куимпельӧсалӧн торъяланлун серти).

Теорема. Параллелограмм, кодлӧн диагональыс юклӧ пельӧссӧ шӧрипӧв, лоӧ ромб.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠ABD = ∠CBD. Сідзкӧ, ∠CBD = ∠ADB кыдзи пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Та вӧсна ∠ABD = ∠ADB. Миян артмӧ: ∆DBA ӧткодь берда, AB = AD. Сідзкӧ, ABCD – ромб.

Теорема. Параллелограмм, кодлӧн диагональясыс ӧшанвизьлунаӧсь ӧта-мӧдыслы, лоӧ ромб.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, сылӧн диагональясыс вомӧнасьӧны O чутын. Сэки AOB да BOC куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Та вӧсна OA = OB.

Квадрат

Урчитӧм. Нёльпельӧса шусьӧ квадратӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс 90° ыджда.

Кывкӧртӧд. Квадратлӧн диагональясыс 1) ӧтыдждаӧсь, 2) ӧта-мӧдыслы ӧшанвизьлунаӧсь, 3) шӧрипӧв юклӧны квадратыслысь пельӧсъяссӧ.

Кывкӧртӧд. Квадратлӧн диагональ юклӧ сійӧс ӧткодь берда веськыдпельӧса кык куимсэрӧг вылӧ.

Кывкӧртӧд. Квадратлӧн кык диагональ юклӧны сійӧс ӧткодь берда веськыдпельӧса нёль куимсэрӧг вылӧ.

Трапеция

Урчитӧм. Нёльпельӧса шусьӧ трапецияӧн, сылӧн кӧ воча кык дор ӧтнырвизяӧсь, а мӧд воча кык дор абу ӧтнырвизяӧсь.

Ӧтнырвизя доръясыс шусьӧны трапеция подувъясӧн. Мӧд кык дор шусьӧны трапециялӧн боквыв доръясӧн.

Веськыдпельӧса трапециялӧн ӧти пельӧсыс веськыд.

Ӧткодь берда трапециялӧн боквыв доръясыс ӧтыдждаӧсь.

Теорема. Ӧткодь берда трапециялӧн подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, BC да AD – сылӧн подувъяс, AB = CD. Мед BE ∥ CD, E чут куйлӧ AD вундӧг вылын. Сідзкӧ, BCDE – параллелограмм да BE = CD, ∠CDA = ∠BEA. Та вӧсна AB = BE да ∠BAE = ∠BEA. Миян артмис: ∠CDA = ∠BAD.

Теорема. Трапециялӧн кӧ подувбердса ӧтыдждаӧсь, сійӧ ӧткодь берда.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, BC да AD – сылӧн подувъяс, ∠CDA = ∠BAD. Мед BE ∥ CD, E чут куйлӧ AD вундӧг вылын. Сідзкӧ, BCDE – параллелограмм да BE = CD, ∠CDA = ∠BEA. Та вӧсна ∠BAE = ∠BEA. Сідзкӧ, AB = BE = CD.