Планиметрия курс

Веськыд визь йылысь

тшӧтшкӧс – плоскость
веськыд визь – прямая
чут – точка
мыгӧр – фигура
кывкӧртӧд – следствие
эскӧдӧм – доказательство
кыв вожалӧм – противоречие

Планиметрияӧн шусьӧ геометриялӧн юкӧн, кӧні велӧдӧны тшӧтшкӧсвывса мыгӧръяс.

Тшӧтшкӧслысь, веськыд визьлысь, чутлысь медшӧр торъяланлунъяссӧ индам аксиомаяс пыр.

Аксиома. Эм кӧ тшӧтшкӧсын веськыд визь, сэк тшӧтшкӧсса чутъяс пӧвстысь кодсюрӧяс лоасны тайӧ визьын, а мукӧдыс сыысь ортсын.

Аксиома. Кык торъялана чут пыр позьӧ нуӧдны веськыд визь; татшӧм визьыс овлӧ сӧмын ӧти.

Кывкӧртӧд. Вомӧнасьӧны кӧ кык торъялана веськыд визь, вомӧнасян чутныс лоӧ сӧмын ӧти.

Эскӧдӧм. Мед, шуам, веськыд визьясыс вомӧнасьӧны торъялана кык чутын. Сідзкӧ, тайӧ чутъяс пырыс позьӧ гижтыны кык торъялана веськыд визь. А аксиомаыд серти, татшӧм визьыс на пыр вермас мунны сӧмын ӧти. Артмӧ кыв вожалӧм.

Вундӧг

вундӧг – отрезок

Аксиома. Ӧти веськыд визьса куим торъялан чут пиысь ӧтиыс лоӧ мӧд кык костас; татшӧм чутыс овлӧ сӧмын ӧти.

Кык чут на костса став чутыскӧд ӧтув артмӧдӧны вундӧг. Индӧм кык чутыс шусьӧны вундӧг помъясӧн.

Аксиома. Быд вундӧглӧн эм кузьта – плюса лыд.

Вундӧг помъясын кӧ А да В чутъяс, шуам татшӧм вундӧгсӧ АВ; тадзи жӧ и сылысь кузьтасӧ шуам.

Аксиома. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; B-ыс куйлӧ A да C костас. Сэки AC = AB + BC.

Кывкӧртӧд. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; B-ыс куйлӧ A да C костас. Сэки AC > AB, AC > BC.

Кывкӧртӧд. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; AC = AB + BC. Сэки B-ыс куйлӧ A да C костас.

Эскӧдӧм. Миян артмӧ: AC > AB, AC > BC. A чутыс кӧ куйлӧ B да C костас, BC > AC; C чутыс кӧ куйлӧ A да B костас, AB > AC. Сідзкӧ, B-ыс куйлӧ A да C костас.

Тшӧтшкӧсджын

тшӧтшкӧсджын – полуплоскость

Аксиома. Быд веськыд визь юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ. Кык чут A да B куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, оз кӧ AB вундӧгыс вомӧнав индӧм веськыд визьсӧ.

Сідзкӧ, AB-ыс кӧ вомӧналӧ тайӧ веськыд визьсӧ, A да B чутъясыс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын.

Аксиома. Сетӧма кӧ l веськыд визь да сы вылын куйлысь O чут, быть сюрасны и сэтшӧм A да B чутъяс, кодъяслы лӧсялӧ татшӧмтор: A, O, B абу ӧтилаынӧсь, A да B куйлӧны l вылын да O чутыс куйлӧ A да B чутъяс костын.

Визьньӧв

визьньӧв – луч
веськыд визьджын – полупрямая

Мед O чут куйлӧ l веськыд визь вылын. Босьтам l сайын куйлысь M чутсӧ. Нуӧдам O да M чутъяс пыр m веськыд визьсӧ. Сэки m юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ.

Мед A да B чутъяс куйлӧны l веськыд визь вылын. Аксиома серти, найӧ куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын сэк да сӧмын сэк, кор O чут куйлӧ AB вундӧгын. Сідзкӧ, O чут юклӧ l веськыдсӧ кык юкӧн вылӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны визьньӧвъясӧн либӧ веськыд визьджынъясӧн.

OA да OB – кык визьньӧв:

Аксиома. Быд визьньӧвйӧ сы йывсяньыс сетӧм кузьтаӧн позьӧ гижтыны дзик ӧти вундӧг.

Пельӧс йылысь

пельӧс – угол
пельӧс дор – сторона угла
пельӧс йыв – вершина угла
павтыртӧм пельӧс – развёрнутый угол
ёсь пельӧс – острый угол
веськыд пельӧс – прямой угол
тшӧтшыд пельӧс – тупой угол
орчча пельӧсъяс – смежные углы
сувтса пельӧсъяс – вертикальные углы

Ӧти чутысь петысь кык визьньӧв артмӧдӧны пельӧс. Тайӧ визьньӧвъясыс шусьӧны пельӧс доръясӧн, а налӧн ӧтувъя чутыс – пельӧс йылӧн.

Пельӧс доръяс костса визьньӧв

Урчитӧм. Визьньӧв мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сылӧн помыс кӧ лӧсялӧ пельӧс йывкӧд да сійӧ кӧ вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.

Висьталӧм. Визьньӧв кӧ мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сійӧ вомӧнасьӧ быд вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.

Эскӧдӧм. Мед O – кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, OM – визьньӧв, коді мунӧ пельӧс доръяс костӧд. Урчитӧм серти, OM вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ AB вундӧгкӧд, кӧні A да B чутъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас. Мед CD – мӧд вундӧг, C куйлӧ OA визьньӧв вылын, D куйлӧ OB визьньӧв вылын. OM веськыд визь юкӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджынйӧ; аксиома серти, A да B чутъяс оз ӧти тшӧтшкӧсджынас куйлыны. A да C чутъяс куйлӧны OA визьньӧв вылын, та вӧсна найӧ куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, OM веськыд визь серти кӧ. Сідзи жӧ артмӧ: B да D чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, OM веськыд визь серти жӧ. Сідзкӧ, CD вундӧг вомӧнасьӧ OM веськыд визьыскӧд. Пасъям вомӧнасян чутсӧ N шыпасӧн.

Петкӧдлам, мый "ОМ" веськыд визьвывса N чут куйлӧ ОМ визьньӧв вылын. N кӧ тайӧ визьньӧв вылас эз куйлы, O чут куйліс эськӧ M да N костын. Сэки, босьтам кӧ тшӧтшкӧссӧ кык джынйӧ юкысь пыдди OB веськыд визь, M да N эз эськӧ куйлыны ӧти тшӧтшкӧсджынас. Но CA, CN, AM вундӧгъяс оз вомӧнасьны OB веськыд визьыскӧд. Сідзкӧ, OB веськыд визь серти кӧ, N, C, A, М чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын. Артмис кыв вожалӧм.

Пельӧс градуса муртӧс

Урчитӧм. Пельӧслӧн доръясыс кӧ артмӧдӧны веськыд визь, сійӧ шусьӧ павтыртӧм пельӧсӧн.

Аксиомаяс. 
1. Быд пельӧс позьӧ муртавны плюса градусӧн. 
2. Визьньӧв кӧ мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сэки тайӧ пельӧсас сымда жӧ градус, мыйта визьньӧвнас артмӧдӧм кыкнан пельӧсас ӧтув босьтӧмӧн.
3. Павтыртӧм пельӧсыс лоӧ 180° ыджда.
4. Быд визьньӧвсянь позьӧ бӧрйӧм тшӧтшкӧсджынйӧ пуктыны сетӧм муртӧсӧн дзик ӧти пельӧс (медтыкӧ 180°-ысь ыджыдджык эз вӧв-а).

Орчча пельӧсъяс

Урчитӧм. Кык пельӧс шусьӧ орччаӧн, налӧн кӧ эм ӧтувъя дор, а мӧд доръяс кӧ артмӧдӧны веськыд визь.
Теорема. Ӧтувтам кӧ орчча пельӧсъяслысь ыджданысӧ, лоӧ 180°.
Эскӧдӧм. Орчча пельӧсъяс артмӧдӧны павтыртӧм пельӧссӧ, кодлӧн ыдждаыс 180°. Сідзкӧ, 2-ӧд аксиома серти, налӧн суммаыс лоас 180°.
Кывкӧртӧд.  Пельӧсыс кӧ 90° ыджда, сыкӧд орчча пельӧсыс сідзжӧ 90° ыджда.

Веськыд, ёсь да тшӧтшыд пельӧсъяс

Урчитӧм. Пельӧс шусьӧ ёсьӧн, сылӧн градуса муртӧсыс кӧ 90°-ысь этшаджык; веськыдӧн, сійӧ кӧ 90° ыджда; тшӧтшыдӧн, сійӧ кӧ 90°-ысь ыджыдджык.

Сувтса пельӧсъяс

Урчитӧм. Кык пельӧс шусьӧ сувтсаӧн, ӧтиыслӧн доръясыс кӧ лоӧны мӧд пельӧсса доръяслӧн нюжӧдӧмӧн.
Теорема. Сувтса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
Эскӧдӧм. Серпас серти, ∠AOB да ∠BOC орччаӧсь, ∠BOC да ∠COD орччаӧсь. Та вӧсна ∠AOB + ∠BOC = 180°, ∠BOC + ∠COD = 180°. Сідзкӧ, ∠AOB = 180° – ∠BOC = ∠COD.

Куимпельӧсаяс

куимпельӧса – треугольник

Урчитӧм. Куимпельӧсаӧн шусьӧ куим чутысь (кодъяс оз куйлыны ӧти веськыд визь вылын) да найӧс йитан вундӧгъясысь тэчӧм мыгӧр. Чутъясыс шусьӧны куимпельӧса йывъясӧн, вундӧгъясыс шусьӧны куимпельӧса доръясӧн.

A йывбердса пельӧсӧн ABC куимпельӧсаын шусьӧ AB да AС визьньӧвъясӧн артмӧм пельӧс.

Урчитӧм. ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь, налӧн кӧ ӧта-мӧдыслы лӧсялана пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь да ӧта-мӧдыслы лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь: ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’, AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’.

Сетӧма визьньӧв. Сылӧн нюжӧдӧмыс – веськыд визь; сійӧ юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ. Бӧръям на пиысь ӧтиӧс. Мед нӧшта сетӧма ABC куимпельӧса.

Аксиома. Индӧм тшӧтшкӧсджынйӧ позьӧ пуктыны ABC-кӧд ӧткодь A’B’C’ куимпельӧса сідзи, медым A’B’ вундӧг куйліс индӧм визьньӧвйын да A’ ӧтлаасис сылӧн воддза чуткӧд.

Куимпельӧсаяс ӧткодьлун йылысь медводдза тӧдмӧс

Теорема. Мед ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, AB = A’B’, AC = A’C’, ∠A = ∠A’. Сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: эм сэтшӧм торъяланлуна AMK куимпельӧса: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’, 2) AM куйлӧ AB визьньӧв пытшкын, 3) AMK да ABC куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын AB веськыд визь серти. ∆AMK = ∆A’B’C’, та вӧсна AM = A’B’, AK = A’C’, ∠B’A’C’ = ∠MAK. Сідзкӧ: 1) AB = A’B’ = AM да, M = B; 2) ∠BAC = ∠B’A’C’ = ∠BAK, та вӧсна AK да AC визьньӧвъяс лӧсялӧны; 3) AC = A’C’ = AK да, K = C. Кык чут пыр мунӧ сӧмын ӧти веськыд визь. Сідзкӧ, AMK да ABC куимпельӧсаяс лӧсялӧны. Та вӧсна ∆ABC = ∆A’B’C’.