Планиметрия курс

Веськыд визь йылысь

тшӧтшкӧс – плоскость
веськыд визь – прямая
чут – точка
мыгӧр – фигура
кывкӧртӧд – следствие
эскӧдӧм – доказательство
кыв вожалӧм – противоречие

Планиметрияӧн шусьӧ геометриялӧн юкӧн, кӧні велӧдӧны тшӧтшкӧсвывса мыгӧръяс.

Тшӧтшкӧслысь, веськыд визьлысь, чутлысь медшӧр торъяланлунъяссӧ индам аксиомаяс пыр.

Аксиома. Эм кӧ тшӧтшкӧсын веськыд визь, сэк тшӧтшкӧсса чутъяс пӧвстысь кодсюрӧяс лоасны тайӧ визьын, а мукӧдыс сыысь ортсын.

Аксиома. Кык торъялана чут пыр позьӧ нуӧдны веськыд визь; татшӧм визьыс овлӧ сӧмын ӧти.

Кывкӧртӧд. Вомӧнасьӧны кӧ кык торъялана веськыд визь, вомӧнасян чутныс лоӧ сӧмын ӧти.

Эскӧдӧм. Мед, шуам, веськыд визьясыс вомӧнасьӧны торъялана кык чутын. Сідзкӧ, тайӧ чутъяс пырыс позьӧ гижтыны кык торъялана веськыд визь. А аксиомаыд серти, татшӧм визьыс на пыр вермас мунны сӧмын ӧти. Артмӧ кыв вожалӧм.

Вундӧг

вундӧг – отрезок

Аксиома. Ӧти веськыд визьса куим торъялан чут пиысь ӧтиыс лоӧ мӧд кык костас; татшӧм чутыс овлӧ сӧмын ӧти.

Кык чут на костса став чутыскӧд ӧтув артмӧдӧны вундӧг. Индӧм кык чутыс шусьӧны вундӧг помъясӧн.

Аксиома. Быд вундӧглӧн эм кузьта – плюса лыд.

Вундӧг помъясын кӧ А да В чутъяс, шуам татшӧм вундӧгсӧ АВ; тадзи жӧ и сылысь кузьтасӧ шуам.

Аксиома. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; B-ыс куйлӧ A да C костас. Сэки AC = AB + BC.

Кывкӧртӧд. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; B-ыс куйлӧ A да C костас. Сэки AC > AB, AC > BC.

Кывкӧртӧд. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; AC = AB + BC. Сэки B-ыс куйлӧ A да C костас.

Эскӧдӧм. Миян артмӧ: AC > AB, AC > BC. A чутыс кӧ куйлӧ B да C костас, BC > AC; C чутыс кӧ куйлӧ A да B костас, AB > AC. Сідзкӧ, B-ыс куйлӧ A да C костас.

Тшӧтшкӧсджын

тшӧтшкӧсджын – полуплоскость

Аксиома. Быд веськыд визь юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ. Кык чут A да B куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, оз кӧ AB вундӧгыс вомӧнав индӧм веськыд визьсӧ.

Сідзкӧ, AB-ыс кӧ вомӧналӧ тайӧ веськыд визьсӧ, A да B чутъясыс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын.

Аксиома. Сетӧма кӧ l веськыд визь да сы вылын куйлысь O чут, быть сюрасны и сэтшӧм A да B чутъяс, кодъяслы лӧсялӧ татшӧмтор: A, O, B абу ӧтилаынӧсь, A да B куйлӧны l вылын да O чутыс куйлӧ A да B чутъяс костын.

Визьньӧв

визьньӧв – луч
веськыд визьджын – полупрямая

Мед O чут куйлӧ l веськыд визь вылын. Босьтам l сайын куйлысь M чутсӧ. Нуӧдам O да M чутъяс пыр m веськыд визьсӧ. Сэки m юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ.

Мед A да B чутъяс куйлӧны l веськыд визь вылын. Аксиома серти, найӧ куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын сэк да сӧмын сэк, кор O чут куйлӧ AB вундӧгын. Сідзкӧ, O чут юклӧ l веськыдсӧ кык юкӧн вылӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны визьньӧвъясӧн либӧ веськыд визьджынъясӧн.

OA да OB – кык визьньӧв:

Аксиома. Быд визьньӧвйӧ сы йывсяньыс сетӧм кузьтаӧн позьӧ гижтыны дзик ӧти вундӧг.

Пельӧс йылысь

пельӧс – угол
пельӧс дор – сторона угла
пельӧс йыв – вершина угла
павтыртӧм пельӧс – развёрнутый угол
ёсь пельӧс – острый угол
веськыд пельӧс – прямой угол
ныж пельӧс – тупой угол
орчча пельӧсъяс – смежные углы
вертикаль пельӧсъяс – вертикальные углы

Ӧти чутысь петысь кык визьньӧв артмӧдӧны пельӧс. Тайӧ визьньӧвъясыс шусьӧны пельӧс доръясӧн, а налӧн ӧтувъя чутыс – пельӧс йылӧн.

Пельӧс доръяс костса визьньӧв

Урчитӧм. Визьньӧв мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сылӧн помыс кӧ лӧсялӧ пельӧс йывкӧд да сійӧ кӧ вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.

Висьталӧм. Визьньӧв кӧ мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сійӧ вомӧнасьӧ быд вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.

Эскӧдӧм. Мед O – кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, OM – визьньӧв, коді мунӧ пельӧс доръяс костӧд. Урчитӧм серти, OM вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ AB вундӧгкӧд, кӧні A да B чутъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас. Мед CD – мӧд вундӧг, C куйлӧ OA визьньӧв вылын, D куйлӧ OB визьньӧв вылын.

OM веськыд визь юкӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджынйӧ; аксиома серти, A да B чутъяс оз ӧти тшӧтшкӧсджынас куйлыны. A да C чутъяс куйлӧны OA визьньӧв вылын, та вӧсна найӧ куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, OM веськыд визь серти кӧ. Сідзи жӧ артмӧ: B да D чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, OM веськыд визь серти жӧ. Сідзкӧ, CD вундӧг вомӧнасьӧ OM веськыд визьыскӧд. Пасъям вомӧнасян чутсӧ N шыпасӧн.

Петкӧдлам, мый ОМ веськыд визьвывса N чут куйлӧ ОМ визьньӧв вылын. N кӧ тайӧ визьньӧв вылас эз куйлы, O чут куйліс эськӧ M да N костын. Сэки, босьтам кӧ тшӧтшкӧссӧ кык джынйӧ юкысь пыдди OB веськыд визь, M да N эз эськӧ куйлыны ӧти тшӧтшкӧсджынас. Но CA, CN, AM вундӧгъяс оз вомӧнасьны OB веськыд визьыскӧд. Сідзкӧ, OB веськыд визь серти кӧ, N, C, A, М чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын. Артмис кыв вожалӧм.

Пельӧс градуса муртӧс

Урчитӧм. Пельӧслӧн доръясыс кӧ артмӧдӧны веськыд визь, сійӧ шусьӧ павтыртӧм пельӧсӧн.

Аксиомаяс. 
1. Быд пельӧс позьӧ муртавны плюса градусӧн. 
2. Визьньӧв кӧ мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сэки тайӧ пельӧсас сымда жӧ градус, мыйта визьньӧвнас артмӧдӧм кыкнан пельӧсас ӧтув босьтӧмӧн.

3. Павтыртӧм пельӧсыс лоӧ 180° ыджда.

4. Быд визьньӧвсянь позьӧ бӧрйӧм тшӧтшкӧсджынйӧ пуктыны сетӧм муртӧсӧн дзик ӧти пельӧс (медтыкӧ 180°-ысь ыджыдджык эз вӧв-а).

Орчча пельӧсъяс

Урчитӧм. Кык пельӧс шусьӧ орччаӧн, налӧн кӧ эм ӧтувъя дор, а мӧд доръяс кӧ артмӧдӧны веськыд визь.

Теорема. Ӧтувтам кӧ орчча пельӧсъяслысь ыджданысӧ, лоӧ 180°.
Эскӧдӧм. Орчча пельӧсъяс артмӧдӧны павтыртӧм пельӧссӧ, кодлӧн ыдждаыс 180°. Сідзкӧ, 2-ӧд аксиома серти, налӧн суммаыс лоас 180°.
Кывкӧртӧд.  Пельӧсыс кӧ 90° ыджда, сыкӧд орчча пельӧсыс сідзжӧ 90° ыджда.

Бур (веськыд), ёсь да ныж пельӧсъяс

Урчитӧм. Пельӧс шусьӧ ёсьӧн, сылӧн градуса муртӧсыс кӧ 90°-ысь этшаджык; бур пельӧсӧн (рочӧн моз веськыд пельӧс), сійӧ кӧ 90° ыджда; ныж пельӧсӧн, сійӧ кӧ 90°-ысь ыджыдджык.

Вертикаль пельӧсъяс

Урчитӧм. Кык пельӧс шусьӧ вертикаль пельӧсъясӧн, ӧтиыслӧн доръясыс кӧ лоӧны мӧд пельӧсса доръяслӧн нюжӧдӧмӧн.

Теорема. Вертикаль пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
Эскӧдӧм. Серпас серти, ∠AOB да ∠BOC орччаӧсь, ∠BOC да ∠COD орччаӧсь. Та вӧсна ∠AOB + ∠BOC = 180°, ∠BOC + ∠COD = 180°. Сідзкӧ, ∠AOB = 180° – ∠BOC = ∠COD.

Куимпельӧсаяс

куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник

Урчитӧм. Куимпельӧсаӧн либӧ куимсэрӧгӧн шусьӧ куим чутысь (кодъяс оз куйлыны ӧти веськыд визь вылын) да найӧс йитан вундӧгъясысь тэчӧм мыгӧр. Индӧм куим чутсӧ куимпельӧсаын шуам йывъяснас, а вундӧгъяссӧ — доръяснас.

ABC куимпельӧсаын AB да AС визьньӧвъяс костын куйлысь пельӧс шусьӧ A йывбердса пельӧсӧн.

Ӧткодь куимпельӧсаяс

ӧткодь куимпельӧсаяс – равные треугольники

ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь, налӧн кӧ ӧта-мӧдыслы лӧсялана пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, а ӧта-мӧдыслы лӧсялана доръясыс ӧткузяӧсь: ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’, AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’.

Гижтам визьньӧв. Нюжӧдам кӧ сійӧс, лоӧ веськыд визь, коді юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык джынйӧ. Бӧръям тайӧ тшӧтшкӧсджынъяс письыс ӧтиӧс. Сэсся гижтам ABC куимпельӧса да бӧръям сылысь дорсӧ (шуам, AB вундӧгсӧ), а тайӧ вундӧгыслысь пасъям ӧти помсӧ (шуам, A).

Аксиома. Бӧрйӧм тшӧтшкӧсджынйӧ позьӧ пуктыны ABC-кӧд ӧткодь DEF куимпельӧса сэтшӧм ногӧн, медым DE вундӧг куйліс индӧм визьньӧвйын да D помыс ӧтлаасис визьньӧвйыслӧн воддза чуткӧд.

Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, AB = A’B’, AC = A’C’, ∠A = ∠A’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм AMK куимпельӧса, кӧні: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’, 2) AM куйлӧ AB визьньӧвйын, 3) AMK да ABC куйлӧны AB веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.

Кык куимпельӧсаыс (тані ∆AMK да ∆A’B’C’) кӧ ӧткодьӧсь, сэки и налӧн лӧсялана доръясыс да пельӧсъясыс тшӧтш ӧткодьӧсь: AM = A’B’, AK = A’C’, ∠B’A’C’ = ∠MAK. Сідзкӧ:

1) AB = A’B’ = AM, сійӧ и M = B;

2) ∠BAC = ∠B’A’C’ = ∠BAK, та вӧсна AK да AC визьньӧвъяс тшӧтш лӧсялӧны;

3) AC = A’C’ = AK, сійӧн и K = C.

Кык чут пыр вермӧ мунны сӧмын ӧти веськыд визь. Сідзкӧ, AMK да ABC куимпельӧсаяс ӧта-мӧдкӧд лӧсялӧны. Та вӧсна ∆ABC = ∆A’B’C’.

Ӧткодь берда да ӧткодь доръяса куимпельӧсаяс

ӧткодь берда куимпельӧса – равнобедренный треугольник
ӧткодь доръяса куимпельӧса – равносторонний треугольник
боквыв доръяс – боковые стороны
подув – основание

• Куимпельӧсаын кӧ кык дорыс ӧтыдждаӧсь, шуам сійӧс ӧткодь берда куимпельӧсаӧн.
• Куимпельӧсаын кӧ куимнан дорыс ӧтыдждаӧсь, шуам сійӧс ӧткодь доръяса куимпельӧсаӧн.

Пасйӧд. Ӧткодь берда куимпельӧсаын коймӧд дорыс вермӧ торъявны кык ӧткодь дорсьыс, а вермӧ лоны и на кузьта жӧ. Сэки татшӧм ӧткодь берда куимпельӧсаыс лоӧ тшӧтш ӧткодь доръясаӧн. Сідзкӧ, ӧткодь доръяса куимпельӧса лоӧ тшӧтш ӧткодь бердаӧн, сылӧн быд кык дорыс ӧтыдждаӧсь да.

• Ӧткодь берда куимпельӧсаын ӧткодь доръяссӧ шуам боквыв доръясӧн, а коймӧд дорсӧ — подулӧн.
• Подувлы паныд куйлысь пельӧссӧ шуам йывса пельӧсӧн, а боквыв дорлы паныд куйлысь пельӧссӧ — подувбердса пельӧсӧн.

Теорема. Ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABC – ӧткодь берда куимпельӧса, AB = BC. Лыддям куимпельӧсаыслысь йывъяссӧ ӧтарлань да мӧдарлань: ABC да CBA. Пуктам ∆ABC да ∆CBA орччӧн. Казялам: AB = BC, CB = BA, а на костса B пельӧс ӧтувъя. Сідзкӧ, ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног серти, ∆ABC = ∆CBA. А та вӧсна и ∠BAC = ∠BCA.

☼ ☼ ☼

Ӧткодь доръяса куимпельӧсалысь куимнан дорсӧ позьӧ шуны кӧть подулӧн, кӧть боквыв дорӧн, а куимнан пельӧссӧ — кӧть подувбердса, кӧть йывса пельӧсӧн.

Теорема. Ӧткодь доръяса куимпельӧсаын куимнан пельӧсыс ӧтыджда.

Эскӧдӧм. Мед ABC – ӧткодь доръяса куимпельӧса. Лыддям кӧ AC дорсӧ подулӧн, сэки ∠BAC = ∠BCA, найӧ подувбердса пельӧсъяс да; BC дорсӧ сідзжӧ позьӧ лыддьыны подулӧн, сэки подувбердса пельӧсъясӧн лоӧны ∠ACB да ∠ABC, сідзкӧ найӧ тшӧтш ӧткодьӧсь. Та дырйи ∠BCA да ∠ACB — ӧти сійӧ жӧ пельӧс (видзӧд серпассӧ). Кык ӧткодьлунсьыс (∠BAC = ∠BCA да ∠BCA = ∠ABC) артмӧ: ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC.

Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ мӧд тӧдмалан ног

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, AB = A’B’, ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм AMK куимпельӧса, кӧні: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’, 2) AM куйлӧ AB визьньӧвйын, 3) AMK да ABC куйлӧны AB веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.

Кык куимпельӧсаыс (тані ∆AMK да ∆A’B’C’) кӧ ӧткодьӧсь, сэки и налӧн лӧсялана доръясыс да пельӧсъясыс тшӧтш ӧткодьӧсь: AM = A’B’, ∠B’A’C’ = ∠MAK, ∠A’B’C’ = ∠AMK. Сідзкӧ:

1) AB = A’B’ = AM, сійӧн и M = B;

2) ∠BAC = ∠B’A’C’ = ∠BAK, та вӧсна AK да AC визьньӧвъяс тшӧтш лӧсялӧны;

3) ∠ABC = ∠A’B’C’ = ∠ABK, та вӧсна BK да BC визьньӧвъяс лӧсялӧны жӧ.

Кык торъялана веськыд визь вермӧ вомӧнасьны сӧмын ӧти чутын. Сідзкӧ, миян K да C ӧти и сійӧ жӧ чут. Вылынджык аддзим: M да B тшӧтш ӧти чут. Со и петӧ, мый AMK да ABC куимпельӧсаяс лӧсялӧны. А казьтыштам кӧ, мый ∆AMK да ∆A’B’C’ ӧткодьӧсь, сэки и воам кывкӧртӧдӧ: ∆ABC = ∆A’B’C’.

☼ ☼ ☼

Теорема. Куимпельӧсаыс лоӧ ӧткодь бердаӧн, сыын кӧ эм кык ӧтыджда пельӧс.

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, ∠A = ∠C. Лыддям куимпельӧсаыслысь йывъяссӧ ӧтарлань да мӧдарлань: ABC да CBA. Пуктам ∆ABC да ∆CBA орччӧн. Казялам: ∠A = ∠C, ∠C = ∠A, а на костса AC дорыс ӧтувъя. Сідзкӧ, ӧткодьлунсӧ мӧд тӧдмалан ног серти, ∆ABC = ∆CBA. А та вӧсна и AB = BC.

☼ ☼ ☼

Кывкӧртӧд 1. Куимпельӧсаын кӧ эм кык ӧтыджда пельӧс, татшӧм куимпельӧсаыс быть лоӧ ӧткодь бердаӧн; и мӧдарӧ, куимпельӧсаыс кӧ ӧткодь берда, сыын быть эм кык ӧтыджда пельӧс. (Дженьдӧдӧм могысь шуӧны тадзи: куимпельӧса ӧткодь берда сэк да сӧмын сэк, кор сыын эм кык ӧтыджда пельӧс.)

Кывкӧртӧд 2. Куимпельӧсаын кӧ куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь, татшӧм куимпельӧсаыс быть лоӧ ӧткодь доръясаӧн; и мӧдарӧ, куимпельӧсаыс кӧ ӧткодь доръяса, сылӧн куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь. (Дженьдӧдӧм могысь шуӧны тадзи: куимпельӧса ӧткодь доръяса сэк да сӧмын сэк, кор сыын куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь.)

Биссектриса, медиана да судта

• Биссектрисаӧн шуӧны визьньӧв, коді петӧ пельӧс йылысь да юклӧ тайӧ пельӧссӧ шӧрипӧв.

• Куимпельӧсаын биссектрисаӧн шуӧны вундӧг, коді юклӧ сылысь ӧти пельӧссӧ шӧрипӧв да йитӧ тайӧ пельӧс йывсӧ паныда дор вылын куйлысь чуткӧд.

• Куимпельӧсаын медианаӧн шуӧны вундӧг, коді йитӧ сылысь ӧти йывсӧ паныда дорвывса шӧр чуткӧд.

Теорема. Кык веськыд визь кӧ вомӧнасьӧны да та дырйи артмӧм нёль пельӧсысь ӧтиыс кӧ лоӧ бур, сэки мукӧд куим пельӧсыс тшӧтш бурӧсь.

Эскӧдӧм. Тайӧ куим пельӧс пӧвстысь ӧтиыс куйлӧ 90°‐а пельӧскӧд вертикаль ногӧн, та вӧсна сійӧ лоӧ тшӧтш бур (вертикаль пельӧсъяс ӧткодьӧсь да). Мӧд кыкыс 90°‐а пельӧскӧд орччаӧсь, та вӧсна и найӧ бурӧсь (кыдзи ми тӧдам нин).

• Веськыд визь шусьӧ перпендикулярӧн мӧд веськыд визьлы, найӧ кӧ артмӧдӧны бур пельӧс.

• Куимпельӧсаын судтаӧн шуӧны вундӧг, коді йитӧ сылысь ӧти йывсӧ паныда дор визь вылын куйлысь чуткӧд да лоӧ тайӧ дорыслы перпендикулярӧн.

Теорема. Ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧсса биссектрисаыс лоӧ ӧттшӧтш медианаӧн да судтанас.

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, кӧні AB = BC, а BD – биссектрисаыс, коді юклӧ ABC-сӧ кык пельӧ: ∆ABD да ∆CBD. Казялам: AB = CB, ∠ABD = ∠CBD, а BD – налӧн ӧтувъя дор. Ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног серти, ∆ABD = ∆CBD. Таысь петӧ кык тор:

1. AD = DC, а сідзкӧ, BD — медиана;
2. ∠BDA = ∠BDC; серпасысь позьӧ аддзыны, мый тайӧ ӧткодь пельӧсъясыс орччаӧсь. Кыдзи ми тӧдам, орчча пельӧсъяслӧн суммаыс 180°, та вӧсна ∠BDA = 90° да ∠BDC = 90°, а сідзкӧ, BD — судта.

Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ коймӧд тӧдмалан ног

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, кӧні AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм AMK куимпельӧса, кӧні: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’; 2) AM куйлӧ AB визьньӧвйын; 3) K да C чутъяс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын AB веськыд визь серти.

(колӧ серпас)

AB = A’B’ = AM, та вӧсна M = B.

AC = A’C’ = AK; сідзкӧ, AC да AK – боквыв доръяс ӧткодь берда CAK куимпельӧсаын. Та вӧсна ∠AKC = ∠ACK. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠BKC = ∠BCK.

Сідзкӧ, ∠ACB = ∠ACK + ∠BCK = ∠AKC + ∠BKC = ∠AKB. Таысь кындзи, AC = AK, BC = BK. Сы вӧсна ABC да ABK куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмалан ног серти да ∆A’B’C’ = ∆ABK = ∆ABC.

Веськыд визьлань ортсы чут пыр гижтӧм перпендикуляр

Теорема. Веськыд визьысь ортсыын куйлысь чут пыр оз позь гижтыны сы дорӧ кык торъялана перпендикуляр.

Эскӧдӧм (паныдсянь). Мед A чут лоӧ l веськыд визьысь ортсыын, а AM да AN – тайӧ визь дорас кык торъялана перпендикуляр, кодъяс вомӧналӧны l-сӧ M да N чутъясын. Та дырйи M да N – кык торъялана чут.

Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм MBN куимпельӧса, кӧні: 1) ∆MBN = ∆MAN, 2) A да B чутъяс куйлӧны l веськыд визь серти торъя тшӧтшкӧсджынъясын.

Миян артмӧ: ∠AMN = ∠BMN = 90°; та вӧсна ∠AMB = 180° да M чут куйлӧ AB веськыд визь вылын. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: N чут куйлӧ AB веськыд визь вылын. AB да l веськыдъяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. Сідзкӧ, M = N, а тайӧ оз лӧсяв миян воддза шуӧмкӧд, код серти M да N – кык торъялана чут.

Теорема. Ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧсса судта лоӧ ӧттшӧтш биссектрисаӧн да медианаӧн.

Эскӧдӧм (паныдсянь). Мед судтаыс оз ло биссектрисаӧн. Гижтам йывса пельӧслысь биссектрисасӧ. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧслӧн биссектрисаыс ӧттшӧтш лоӧ сылы судтаӧн. Сідзкӧ, йывса пельӧсысь позьӧ гижтыны подувлы кык торъялана перпендикуляр, а тайӧ оз лӧсяв воддза теоремакӧд.

Теорема. Веськыд визь дорӧ сыысь ортсыын куйлысь чут пырыс позьӧ гижтыны перпендикуляр.

Эскӧдӧм. Мед A чут куйлӧ l веськыд визьысь ортсыын, B да C чутъяс лоӧны l вылын. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм BA’C куимпельӧса, кӧні: 1) ∆BA’C = ∆BAC, 2) A да A’ чутъяс куйлӧны l веськыд визь серти торъя тшӧтшкӧсджынъясын. Сідзкӧ, ABA’ куимпельӧсаын AB = A’B, BC визьньӧв – ∠ABA’-лӧн биссектриса. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧслӧн биссектрисаыс ӧттшӧтш лоӧ сылы судтаӧн. Сідзкӧ, AA’ лоӧ l-лы перпендикулярӧн.

Ортсыса пельӧс

Куимпельӧсалысь став видлалӧм сикас пельӧсъяссӧ позьӧ шуны тшӧтш пытшкӧс пельӧсъясӧн. Куимпельӧса бердын куимнан пытшкӧс пельӧскӧд орччӧн куйлӧны ортсы пельӧсъяс. Мӧд ногӧн шуны, куимпельӧсалӧн ортсы пельӧсӧн шусьӧ быд пытшкӧс пельӧскӧд орчча пельӧс.

Теорема. Ортсыса пельӧс ыджыдджык куимпельӧсаса кыкнан пельӧсысь, коді сыкӧд абу орччӧн.

Эскӧдӧм. Мед ABC — куимпельӧса, ∠BCD — сылӧн ортсы пельӧс, коді куйлӧ ∠BCA-кӧд орччӧн; та дырйи C чут куйлӧ A да D костын. Петкӧдлам: ∠ABC < ∠BCD.

Та могысь гижтам ∠BCD пельӧс доръяс костӧд сэтшӧм CE визьньӧв, медым ∠ABC = ∠BCE. Кытысь лоӧ E чутыс? BC вундӧг шӧрын куйлысь чут пыр (пасъям сійӧс O) гижтам AO визьньӧв. Тайӧ визьньӧв вылас пасъям E чут, коді куйлӧ O чутсянь сы ылнаын жӧ, кыдзи и A чут. Миян артмӧ: 1) OC = OB; 2) AO = OE; 3) ∠AOB = ∠EOC кыдзи вертикаль пельӧсъяс. Сідзкӧ ∆AOB = ∆EOC медводдза тӧдмалан ног серти. Та вӧсна ∠ABC = ∠BCE, кыдзи ӧткодь куимпельӧсаясын лӧсялана пельӧсъяс.

O, B да E чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын AD веськыд визь серти. Миян артмӧ: 1) ∠BCD = 180° – ∠BCA (кыдз орчча); 2) ВС да AE вундӧгъяс вомӧнасьӧны, мӧд ног шуны, CB визьньӧв мунӧ ∠ACE пельӧс доръяс костӧд. Сідзкӧ ∠ACE = ∠BCE + ∠BCA. 3) ∠ACE < 180°, та вӧсна ∠ACE-ысь кӧ чинтам ∠BCA да 180°-ысь сійӧ жӧ ∠BCA чинтам, медводдза чинтасыс лоас этшаджык мӧд чинтассьыс (формулаӧн кӧ пасъям, ∠ACE – ∠BCA < 180° – ∠BCA).

Ӧтувтам кӧ став артмӧм формула, лоас:

∠ABC = ∠BCE;

∠BCE = ∠ACE – ∠BCA;

∠ACE – ∠BCA < 180° – ∠BCA;

180° – ∠BCA = ∠BCD.

Сідзкӧ ∠ABC < ∠BCD.

Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам, мый ∠BAC < ∠BCD.

Куимпельӧсалысь доръяс да пельӧсъяс ӧтластитӧм

Теорема. Куимпельӧсаын ыджыдджык дорлы паныд куйлӧ ыджыдджык пельӧс.

Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсаын AC > AB. Петкӧдлам: ∠ABC > ∠ACB. Пасъям AC вундӧг вылын сэтшӧм D чут, медым AD = AB. Сідзкӧ, ∠ABD = ∠BDA, ӧд найӧ ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс.

BD вундӧг юкӧ ∆ABC-сӧ кык пельӧ; сы пытшкын ӧні эм кык куимпельӧса: ∆ABD да ∆BCD. ∠BDA лоӧ ∆BCD куимпельӧсалы ортсыса пельӧс. Кыдзи ми тӧдам нин, ортсыса пельӧс век ыджыдджык пытшкӧсса пельӧсысь, коді сыкӧд абу орчча. Сідзкӧ ∠BDA > ∠BCD. Ӧтувтам кӧ став артмӧм формула, лоас:

∠ABC > ∠ABD,

∠ABD = ∠BDA,

∠BDA > ∠BCD,

∠BCD = ∠ACB.

Сідзкӧ, ∠ABC > ∠ACB.

Теорема. Куимпельӧсаын ыджыдджык пельӧслы паныд куйлӧ ыджыдджык дор.

(татчӧ колӧ серпас)

Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсаын ∠ABC > ∠ACB. Петкӧдлам: AC > AB.

Тайӧ кӧ абу сідз, либӧ AC = AB, либӧ AC < AB. Кыдзи ми тӧдам нин, кор AC = AB, сэки ∠ABC = ∠ACB; кор AC < AB, сэки ∠ABC < ∠ACB. Тайӧ оз лӧсяв ∠ABC > ∠ACB ӧткодьтӧмлункӧд.

☼ ☼ ☼

Сідзкӧ, куимпельӧсаын ӧти дор кузьджык мӧд дорсьыс сэк да сӧмын сэк, кор медводдза дорыслы паныд куйлан пельӧс ыджыдджык мӧд дорыслы паныд куйлан пельӧсысь.

Ёсь пельӧса, бур (веськыд) пельӧса да ныж пельӧса куимсэрӧгъяс

ёсь пельӧса куимсэрӧг — остроугольный треугольник
бур (веськыд) пельӧса куимсэрӧг — прямоугольный треугольник
ныж пельӧса куимсэрӧг — тупоугольный треугольник

Куимсэрӧг шусьӧ ёсь пельӧсаӧн, сыын кӧ куимнан пельӧсыс ёсь.

Куимсэрӧг шусьӧ бур (веськыд) пельӧсаӧн, сыын кӧ ӧти пельӧсыс бур (веськыд).

Куимсэрӧг шусьӧ ныж пельӧсаӧн, сыын кӧ ӧти пельӧсыс ныж.

Теорема. 1) Бур пельӧса куимсэрӧгын гипотенузабердса пельӧсъяс ёсьӧсь. 2) Гипотенуза кузьджык катетысь.

Эскӧдӧм. 1) Бур пельӧскӧд орчча пельӧс тшӧтш бур; теорема серти, сійӧ ыджыдджык гипотенузабердса пельӧсысь. 2) Бур (веськыд) пельӧсыс куимпельӧсаын медыджыд, та вӧсна сылы паныд куйлысь дор медкузь.

Висьталӧм. Ныж пельӧса куимсэрӧгын эм кык ёсь пельӧс.

Эскӧдӧм. Ӧти пельӧсыс кӧ ныж, сыкӧд орчча пельӧсыс ёсь. Кыдз ми тӧдам нин, ортсыса пельӧс ыджыдджык пытшкӧсса пельӧсысь, коді абу сыкӧд орччӧн. Сідзкӧ куимпельӧсаыслӧн мукӧд пытшкӧсса пельӧсъяс ёсь пельӧсысь ичӧтджыкӧсь; та вӧсна найӧ асьныс ёсьӧсь.

Висьталӧм. Ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс ёсьӧсь.

Эскӧдӧм. Кыдз ми тӧдам нин, 1) ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, 2) бур пельӧса либӧ ныж пельӧса куимсэрӧгын эм кык ёсь пельӧс. Сідзкӧ, подувбердса пельӧс оз вермы лоны бурӧн ни ныжӧн.

Бур пельӧса куимсэрӧгъяслысь ӧткодьлунсӧ тӧдмалан ног

Кык катет серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні AB, BC, A’B’, B’C’ — катетъяс, AB = A’B’, BC = B’C’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. ∠ABC = ∠A’B’C’ = 90°, AB = A’B’, BC = B’C’; сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмалан ног серти.

Катет да гипотенуза серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні AB да A’B’ — катетъяс, AC да A’C’ — гипотенузаяс, AB = A’B’, AC = A’C’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм KBM куимпельӧса, кӧні: 1) ∆KBM = ∆A’B’C’, 2) M чут куйлӧ куйлӧ BC визь вылын, B чут куйлӧ C да M чутъяс костын, 3) ∆KBM да ∆ABC куйлӧны BC веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.

Медводдза серпас вылас ылӧсас индӧма, кутшӧм тшӧтшкӧсджынйын куйлӧ K чут. Сэсся ми сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн кутам стӧчмӧдны сылысь инсӧ.

Но кыдзи ми тӧдам, ∆KBM = ∆A’B’C’. Таысь петӧ некымынтор:

1) ∠KBM = ∠A’B’C’ = 90°, ∠ABM = 180° − ∠ABC = 90°; сійӧн K чутлы быть куйлыны BA визьньӧв вылын.

2) AB = A’B’, A’B’ = KB; та вӧсна AB = KB да K чутлы быть лӧсявны A-кӧд.

(серпас)

3) AC = A’C’, A’C’ = KM = AM; сійӧн AC = AM.

Миян артмӧ ∆CAM. Сійӧ — ӧткодь берда куимпельӧса, кӧні AC да AM — боквыв доръяс, AB — судта. Кыдзи ми тӧдам нин, подувлань гижтӧм судта лоӧ биссектрисаӧн. Миян артмӧ: AC = AM, ∠CAB = ∠MAB. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ABM медводдза тӧдмалан ног серти. Но ∆ABM = ∆KBM = ∆A’B’C’. Сійӧн ∆ABC = ∆A’B’C’.

Катет да сы бердса ёсь пельӧс серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні AB да A’B’ — катетъяс, ∠A да ∠A’ — ёсь пельӧсъяс, AB = A’B’, ∠A = ∠A’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. ∠B = ∠B’ = 90°, AB = A’B’, ∠A = ∠A’; сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмалан ног серти.

Катет да сылы паныд куйлысь ёсь пельӧс серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні AB да A’B’ — катетъяс, AB = A’B’, ∠B = ∠B’ = 90°, ∠C = ∠C’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм KBM куимпельӧса, кӧні: 1) ∆KBM = ∆A’B’C’, 2) M чут куйлӧ куйлӧ BC визь вылын, B чут куйлӧ C да M чутъяс костын, 3) ∆KBM да ∆ABC куйлӧны BC веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.

Татшӧм KBM куимпельӧсасӧ миян лӧсьӧдлім мӧд теоремасӧ подулалігӧн. Сэки миян артмис: K = A.

Сідзкӧ ∆ABM = ∆A’B’C’. Та вӧсна ∠AMB = ∠A’C’B’. Но ∠A’C’B’ = ∠ACB. Сійӧн ∠AMB = ∠ACB.

Кыдзи ми тӧдам нин, куимсэрӧгын кӧ эм кык ӧткодь пельӧс, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь берда. Сідзкӧ ACM — ӧткодь берда куимпельӧса, CM — сылӧн подулыс, AB — сылӧн судтаыс. Татшӧмтор миян бара жӧ артмыліс нин мӧд теоремасӧ подулалігӧн; сыысь ми тӧдан нин, мый ∆ABC = ∆ABM = ∆A’B’C’.

Гипотенуза да ёсь пельӧс серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні AC да A’C’ — гипотенузаяс, AC = A’C’, ∠A = ∠A’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм AKM куимпельӧса, кӧні: 1) ∆AKM = ∆A’B’C’, 2) AK куйлӧ AB визьньӧвйын, 3) ∆AKM да ∆ABC куйлӧны AB веськыд визь серти торъя тшӧтшкӧсджынъясын.

Медводдза серпас вылас ылӧсас индӧма, кутшӧм визьньӧв вылын куйлӧ K чут да кутшӧм тшӧтшкӧсджынйын куйлӧ M чут. Сэсся ми сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн кутам стӧчмӧдны налысь инсӧ.

Пуктам N чут CB визьньӧв вылӧ тадзи, медым BC = BN. Сэки ∆ABC = ∆ABN кык катет серти.

Миян артмӧ:

1) ∠BAN = ∠BAC;

2) ∠BAC = ∠B’A’C’;

3) ∠B’A’C’ = ∠KAM = ∠BAM.

Сідзкӧ ∠BAN = ∠BAM; та вӧсна N чут куйлӧ AM визьньӧв вылын. Пасъям тайӧс выль серпас вылын, сэсся водзӧ кутам стӧчмӧдны K‐лысь да M‐лысь инсӧ.

∆ABC = ∆ABN, та вӧсна AC = AN; но AC = A’C’ да A’C’ = AM. Сідзкӧ AM = AN, кытысь M = N.

∠AKM = ∠A’B’C’ = 90°, ∠ABM = ∠ABC = 90°. Сійӧн MB да MK лоӧны AB‐лы перпендикуляръясӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧти чутысь позьӧ гижтыны сӧмын ӧти перпендикуляр. Сідзкӧ, K = B.

Миян артмӧ:

1) ∆ABC = ∆ABM;

2) ∆ABM = ∆A’B’C’.

Та вӧсна ∆ABC = ∆A’B’C’.

Куимпельӧса ӧткодьтӧмлун

Теорема. Куимпельӧсаын кык дорыслӧн ӧтувъя кузьта век лоӧ ыджыдджык коймӧд дор кузьтасьыс.

Эскӧдӧм. Шуам, ABC куимпельӧсаын AC дор лоӧ медкузьӧн. Сідзкӧ AC вундӧгас позьӧ пуктыны D чут, медым AB = AD. Миян артмӧ: ∆DAB — ӧткодь берда куимсэрӧг, DB — сылӧн подулыс, ∠ADB да ∠ABD — сылӧн подувбердса пельӧсъяс.

Кыдзи ми тӧдам нин, подувбердса пельӧсыд век лоӧ ёсь. Сідзкӧ, ∠ADB тшӧтш ёсь. Ёсь пельӧскӧд орчча пельӧс век лоӧ ныж. Сійӧн ∠BDC — ныж пельӧс. Миян артмӧ: BDC куимпельӧсаын ∠BDC медыджыд. Кыдзи ми тӧдам нин, медыджыд пельӧслы паныд куйлӧ медкузь дор. Сы понда BC > DC.

Миян артмӧ:

• AC = AD + DC;
• AD = AB (сійӧн вылысджык формула позьӧ гижны: AC = AB + DC);
• DC < BC.

Сідзкӧ, AC < AB + BC.

Параллель (ӧтнырвизя) веськыд визьяс

Урчитӧм. Кык веськыд визь шусьӧны параллельясӧн, найӧ кӧ оз вомӧнасьны.

Теорема. Кык торъялана веськыд визь кӧ лоӧны перпендикуляръясӧн коймӧд веськыд визьлы, найӧ параллель ногаӧсь.

Эскӧдӧм (паныдсянь). Тайӧ кык веськыд визь кӧ вомӧнасисны, найӧ вомӧнасянінысь позис эськӧ гижтыны коймӧд веськыд визьлань кык торъялана перпендикуляр. Но, кыдзи ми тӧдам нин, тайӧс вӧчны он вермы.

(татчӧ колӧ серпас)

Теорема. Чутыс кӧ оз куйлы веськыд визь вылын, сэтшӧм чут пыр позьӧ гижтыны тайӧ веськыд визьлы параллель.

Эскӧдӧм. Мед миян эм m веськыд визь да A чут, коді оз куйлы сы вылын. Гижтам A чутысь m-лань перпендикуляр (пасъям сійӧс l). Сэсся A чут пыр гижтам l-лы перпендикуляр (пасъям сійӧс n). Миян артмӧ: l лоӧ перпендикулярӧн m-лы да n-лы. Сідзкӧ, m да n параллельяс (воддза теорема серти).

Параллельлун тӧдмалан ног

ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс – внутренние накрест лежащие углы
ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс – внешние накрест лежащие углы
ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс – внутренние односторонние углы
ӧтарбокса ортсы пельӧсъяс – внешние односторонние углы
весьтаса пельӧсъяс – соответственные углы

Гижтам кык веськыд визь да нӧшта ӧти визь, коді найӧс вомӧналӧ. Тайӧ вомӧналысь визь серти позьӧ пасйыны татшӧм пельӧсъяс (петкӧдлӧма серпас вылын):

• ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс,

• ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс,

• ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс,

• ӧтарбокса ортсы пельӧсъяс.

• весьтаса пельӧсъяс,

(петкӧдлыны серпас вылын став вариант − 2, 2, 2, 2, 4)

Теорема. Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.

Эскӧдӧм. Эм кык веськыд визь: AC да BD; найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь: AB; та дырйи ∠ABD = ∠BAC. Пасъям AB вундӧглысь шӧрчутсӧ M шыпасӧн. Гижтам M чут пыр AC веськыд визьлань MP перпендикуляр. Чут, кӧні сійӧ вомӧнасьӧ BD-кӧд, пасъям Q шыпасӧн. ∠AMP да ∠BMQ — вертикаль пельӧсъяс, та вӧсна найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, ∆AMP = ∆BMQ мӧд тӧдмалан ног серти. Сэк и ∠BQM = ∠APM. MP лоӧ AC‐лы перпендикуляр, сійӧн ∠APM = 90°; сідзкӧ и ∠BQM = 90°. Миян артмӧ: BQ да AP веськыд визьяс лоӧны PQ веськыд визьлы перпендикуляръясӧн. Сідзкӧ, найӧ куйлӧны мӧда-мӧдлы параллель ногӧн водзджык подулалӧм теорема серти.

Теорема. Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ∠1, ∠2 – ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс, ∠1 = ∠2.

∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 кыдзи вертикаль пельӧсъяс. Сідзкӧ, ∠3 = ∠4. Тайӧ пельӧсъясыс – ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс. Воддза теорема серти, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.

Теорема. Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти ӧтарбокса пытшкӧс либӧ ортсы пельӧсъяслӧн суммаыс кӧ 180°, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ∠1, ∠2 – ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс, ∠1 + ∠2 = 180°.

∠2 да ∠3 орччаӧсь, та вӧсна ∠2 + ∠3 = 180°. Сідзкӧ, ∠1 = ∠3. ∠1 да ∠3 ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс; водзджык подулалӧм теорема серти та дырйи веськыд визьясыс лоӧны параллель ногаӧсь.

Ӧтарбокса ортсы пельӧсъяслӧн суммаыс кӧ 180° ыджда, теоремасӧ подулалам сэтшӧм жӧ ногӧн.

Теорема. Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти весьтаса пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ∠1, ∠2 – весьтаса пельӧсъяс, ∠1 = ∠2.

∠1 да ∠3 — вертикаль пельӧсъяс, та вӧсна ∠1 = ∠3. Сідзкӧ ∠2 = ∠3. Но ∠2 да ∠3 — ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс. А водзджык подулалӧм теорема серти та дырйи веськыд визьясыс лоӧны параллель ногаӧсь.

Параллель веськыд йылысь аксиома

Аксиома. Веськыд визьысь ортсыын куйлысь чут пыр позьӧ гижтыны дзик ӧти параллель.

Кывкӧртӧд. Кык торъялана веськыд визь кӧ лоӧны параллельясӧн коймӧд веськыд визьлы, найӧ лоӧны ӧта-мӧдыслы параллельясӧн.

Эскӧдӧм. Мед a да b веськыд визьяс лоӧны c веськыд визьяслы параллельясӧн. Найӧ кӧ вомӧнасьӧны кутшӧмкӧ чутын, тайӧ чут пырыс мунӧ c-лы кык торъялана параллель. Тайӧ оз лӧсяв аксиомакӧд.

Параллель веськыдъяслӧн торъяланлунъяс

Теорема. Мед кык параллель веськыд визьсӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь. Сэки ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед AD да BC параллельяс, но ∠DAB да ∠CBA абу ӧтыдждаӧсь.

Гижтам A чут пыр AE веськыдӧс сідзи, медым ∠EAB = ∠CBA. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс лоӧны параллельясӧн. Сідзкӧ, EA да BC ӧта-мӧдыслы параллельяс. Та вӧсна A чут пыр мунӧ BC-лы торъялана кык параллель: AD да AE. Тайӧ оз лӧсяв аксиомакӧд.

Теорема. Мед кык параллель веськыд визьсӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь. Сэки ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед a да b — параллельяс, ∠1 да ∠2 — ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс. Ми аддзам:

• ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 кыдзи вертикаль пельӧсъяс;
• ∠3 = ∠4 кыдзи ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс (воддза теорема серти).

Сідзкӧ ∠1 = ∠2.

Теорема. Мед кык параллель веськыд визьсӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь. Сэки ӧтарбокса пытшкӧс (ортсы) пельӧсъяслӧн суммаыс лоӧ 180°.

Эскӧдӧм. Мед a да b — параллельяс, ∠1 да ∠2 — ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс. Ми аддзам:

• ∠1 да ∠3 орчча пельӧсъяс, та вӧсна ∠1 + ∠3 = 180°;
• ∠3 = ∠2 кыдзи ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс.

Сідзкӧ ∠1 + ∠2 = 180°.

Ӧтарбокса ортсы пельӧсъяс йылысь теоремасӧ подулалам сэтшӧм жӧ ногӧн.

Теорема. Мед кык параллель веськыд визьсӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь. Сэки весьтаса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед a да b — параллельяс, ∠1 да ∠2 — весьтаса пельӧсъяс. Ми аддзам:

• ∠2 = ∠3 кыдзи вертикаль пельӧсъяс;
• ∠1 = ∠3 кыдзи ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс.

Сідзкӧ ∠1 = ∠2.

Куимпельӧсаын пельӧсъяслӧн суммаыс

Теорема. Куимпельӧсаын пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда.

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса. Гижтам B чут пыр AC-лы параллель ногӧн DE веськыд визьсӧ. Сідзкӧ, ∠DBA = ∠BAC, ∠EBC = ∠BCA кыдз ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс. Миян артмӧ: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = ∠DBA + ∠ABC + ∠EBC = 180°.

Теорема. Куимпельӧсалӧн ортсы пельӧс ӧтыджда сыкӧд неорчча пытшкӧс пельӧсъяслӧн суммакӧд.

Эскӧдӧм. Мед ∠ABD – ортсы пельӧс. Сідзкӧ, ∠ABD + ∠ABC = 180°. Мӧдарсянь, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Та вӧсна ∠ABD = 180° – ∠ABC = ∠BAC + ∠BCA.

Теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧгын ёсь пельӧсъяс суммаыс 90° ыджда.

Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсаыс ∠B = 90°. Кыдзи ми тӧдам нин, ∠A + ∠B + ∠C =180°. Сідзкӧ ∠A + ∠C = 90°.

Видлӧгъяс. 1) Веськыдпельӧса ӧткодь берда куимпельӧсаын ёсь пельӧс 45° ыджда.

2) Ӧткодь доръяса куимпельӧсаын ёсь пельӧс 60° ыджда.

Нёльпельӧсаяс

Урчитӧм. Сетӧма нёль чут, на пиысь некутшӧм куим оз куйлыны ӧти веськыд визь вылын. Йитам найӧс сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн вундӧгъясӧн. Мед вундӧгъяс пиысь некутшӧм кык оз вомӧнасьны пытшкӧсса чутын. Артмӧм мыгӧрыс шусьӧ нёльпельӧсаӧн.

Мед нёльпельӧса тэчӧма A, B, C, D чутъясысь да найӧс йитысь AB, BC, CD, DA вундӧгъясысь. Сэки гижӧны: ABCD нёльпельӧса. Чутъясыс шусьӧны нёльпельӧсалӧн йывъясӧн; найӧс йитысь вундӧгъяс шусьӧны нёльпельӧсалӧн доръясӧн.

Нёльпельӧсалӧн кык йыв шусьӧ орччаӧн, найӧ кӧ лоӧны ӧти дор помъясӧн. Кык дор шусьӧ орччаӧн, найӧ кӧ петӧны ӧти йылысь. Кык йыв шусьӧ вочаӧн, найӧ кӧ абу орччаяс. Кык дор шусьӧ вочаӧн, найӧ кӧ абу орччаяс. Кык воча йыв йитысь вундӧг шусьӧ диагональӧн.

Теорема. Нёльпельӧсалӧн пельӧсъяс содтасыс 360° ыджда.

Эскӧдӧм. Нуӧдам нёльпельӧсалысь диагональсӧ, коді сійӧс юкӧ кык куимпельӧса вылӧ (серпас вылын тайӧ AC). Миян артмӧ: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA + ∠CAD + ∠ADC + ∠ADC = 180° + 180° = 360°.

Параллелограмм

Нёльпельӧса шусьӧ параллелограммӧн, сылӧн кӧ став воча доръясыс ӧтнырвизяӧсь ӧта-мӧдыслы.

Параллелограмм йылысь тӧдмӧсъяс

1-ӧд тӧдмӧс. Мед нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сэки тайӧ параллелограмм.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм нёльпельӧса, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Сідзкӧ, 2∠A + 2∠B = 360°, ∠A + ∠B = 180°. Та вӧсна AD да BC веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: AB да CD веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь.

2-ӧд тӧдмӧс. Мед нёльпельӧсалӧн диагональясыс вомӧнасьӧны шӧр чутаныс. Сэки тайӧ параллелограмм.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм нёльпельӧса, O чут – AC да BD диагональяслӧн вомӧнасянін, AO = OC, BO = OD. AOB да COD пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь кыдзи сувтсаяс. Сідзкӧ, ∆AOB = ∆COD медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠OAB = ∠OCD. Тайӧ пытшкӧсса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс да, AB ∥ CD. Сідзи артмӧ: AD ∥ BC.

3-ӧд тӧдмӧс. Мед нёльпельӧсалӧн кык воча дор ӧтыдждаӧсь да ӧтнырвизяӧсь. Сэки тайӧ параллелограмм.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм нёльпельӧса, O чут – AC да BD диагональяслӧн вомӧнасянін, AB = CD, AB ∥ CD. Сідзкӧ, ∠BAO = ∠DCO, ∠ABO = ∠CDO кыдзи пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Та вӧсна ∆AOB = ∆COD мӧд тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: AO = OC, BO = OD да ABCD – параллелограмм мӧд тӧдмӧс серти.

4-ӧд тӧдмӧс. Мед нёльпельӧсалӧн кык воча доръяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтыдждаӧсь. Сэки тайӧ параллелограмм.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм нёльпельӧса. Сэки ∆ABC = ∆CDA коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ∠BCA = ∠CAD. Тайӧ пытшкӧсса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс да, BC ∥ AD. Та вӧсна ABCD – параллелограмм 3-ӧд тӧдмӧс серти.

Параллелограмм торъяланлунъяс

1-ӧд торъяланлун. Параллелограммлӧн воча пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм. Сэки ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°. Сідзкӧ, ∠A = 180° – ∠B = ∠C. Сідзи жӧ артмӧдам: ∠B = ∠D.

2-ӧд торъяланлун. Параллелограммлӧн воча доръяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм. Сэки ∠BAC = ∠ACD, ∠BCA = ∠CAD кыдз пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Сідзкӧ, ABC да CDA куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна AB = CD, AD = BC.

3-ӧд торъяланлун. Параллелограммлӧн диагональяс вомӧнасьӧны асланыс шӧр чутас.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, O – диагональясыслӧн вомӧнасян чут. Сэки ∠OAD = ∠OCB, ∠ODA = ∠OBC кыдз пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Ми тӧдам нин: AD = BC. Сідзкӧ, AOD да COB куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна AO = OC, BO = OD.

Веськыдсэрӧг

Урчитӧм. Параллелограмм, кодлӧн ӧти пельӧсыс веськыд, шусьӧ веськыдсэрӧгӧн.

Пасйӧд. Веськыдсэрӧглӧн став пельӧсыс веськыд.

Теорема. Веськыдсэрӧглӧн диагональясыс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм веськыдсэрӧг. Сэки BAD да CDA куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, AC = BD.

Теорема. Параллелограммлӧн диагональясыс кӧ ӧтыдждаӧсь, тайӧ веськыдсэрӧг.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, AC = BD. Сэки AB = CD, ∠BAD + ∠CDA = 180°. Сідзкӧ, BAD да CDA куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠BAD = ∠CDA = 90°.

Ромб

Урчитӧм. Параллелограмм шусьӧ ромбӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда.

Теорема. Ромблӧн диагональ лоӧ сылӧн пельӧсыслӧн биссектриса.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм ромб. Сэки ABC – ӧткодь берда куимпельӧса. Та вӧсна ∠BAC = ∠BCA. Таысь кындзи, ∠BAC = ∠DCA, ∠BCA = ∠DAC кыдзи пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Сідзкӧ, ∠BCA = ∠DCA, ∠BAC = ∠DAC.

Теорема. Ромблӧн диагональяс ӧшанвизьлунаӧсь ӧта-мӧдыслы.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм ромб. Ми тӧдам нин: BD диагональ лоӧ ∠ABC пельӧслӧн биссектриса. AB = BC да, BD ӧшанвизьлуна AC-лы (ӧткодь берда куимпельӧсалӧн торъяланлун серти).

Теорема. Параллелограмм, кодлӧн диагональыс юклӧ пельӧссӧ шӧрипӧв, лоӧ ромб.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠ABD = ∠CBD. Сідзкӧ, ∠CBD = ∠ADB кыдзи пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Та вӧсна ∠ABD = ∠ADB. Миян артмӧ: ∆DBA ӧткодь берда, AB = AD. Сідзкӧ, ABCD – ромб.

Теорема. Параллелограмм, кодлӧн диагональясыс ӧшанвизьлунаӧсь ӧта-мӧдыслы, лоӧ ромб.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, сылӧн диагональясыс вомӧнасьӧны O чутын. Сэки AOB да BOC куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Та вӧсна OA = OB.

Квадрат

Урчитӧм. Нёльпельӧса шусьӧ квадратӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс 90° ыджда.

Кывкӧртӧд. Квадратлӧн диагональясыс 1) ӧтыдждаӧсь, 2) ӧта-мӧдыслы ӧшанвизьлунаӧсь, 3) шӧрипӧв юклӧны квадратыслысь пельӧсъяссӧ.

Кывкӧртӧд. Квадратлӧн диагональ юклӧ сійӧс ӧткодь берда веськыдпельӧса кык куимсэрӧг вылӧ.

Кывкӧртӧд. Квадратлӧн кык диагональ юклӧны сійӧс ӧткодь берда веськыдпельӧса нёль куимсэрӧг вылӧ.

Трапеция

Урчитӧм. Нёльпельӧса шусьӧ трапецияӧн, сылӧн кӧ воча кык дор ӧтнырвизяӧсь, а мӧд воча кык дор абу ӧтнырвизяӧсь.

Ӧтнырвизя доръясыс шусьӧны трапеция подувъясӧн. Мӧд кык дор шусьӧны трапециялӧн боквыв доръясӧн.

Веськыдпельӧса трапециялӧн ӧти пельӧсыс веськыд.

Ӧткодь берда трапециялӧн боквыв доръясыс ӧтыдждаӧсь.

Теорема. Ӧткодь берда трапециялӧн подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, BC да AD – сылӧн подувъяс, AB = CD. Мед BE ∥ CD, E чут куйлӧ AD вундӧг вылын. Сідзкӧ, BCDE – параллелограмм да BE = CD, ∠CDA = ∠BEA. Та вӧсна AB = BE да ∠BAE = ∠BEA. Миян артмис: ∠CDA = ∠BAD.

Теорема. Трапециялӧн кӧ подувбердса ӧтыдждаӧсь, сійӧ ӧткодь берда.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, BC да AD – сылӧн подувъяс, ∠CDA = ∠BAD. Мед BE ∥ CD, E чут куйлӧ AD вундӧг вылын. Сідзкӧ, BCDE – параллелограмм да BE = CD, ∠CDA = ∠BEA. Та вӧсна ∠BAE = ∠BEA. Сідзкӧ, AB = BE = CD.