|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | ==Веськыд визь йылысь==
| |
| | | | |
| − | тшӧтшкӧс – плоскость
| |
| − | веськыд визь – прямая
| |
| − | чут – точка
| |
| − | мыгӧр – фигура
| |
| − | кывкӧртӧд – следствие
| |
| − | эскӧдӧм – доказательство
| |
| − | кыв вожалӧм – противоречие
| |
| − |
| |
| − | Планиметрияӧн шусьӧ геометриялӧн юкӧн, кӧні велӧдӧны тшӧтшкӧсвывса мыгӧръяс.
| |
| − |
| |
| − | Тшӧтшкӧслысь, веськыд визьлысь, чутлысь медшӧр торъяланлунъяссӧ индам аксиомаяс пыр.
| |
| − |
| |
| − | '''Аксиома.''' Эм кӧ тшӧтшкӧсын веськыд визь, сэк тшӧтшкӧсса чутъяс пӧвстысь кодсюрӧяс лоасны тайӧ визьын, а мукӧдыс сыысь ортсын.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Viz_vylyn_sajyn.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Аксиома.''' Кык торъялана чут пыр позьӧ нуӧдны веськыд визь; татшӧм визьыс овлӧ сӧмын ӧти.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kyk_cut_pyr.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Кывкӧртӧд.''' Вомӧнасьӧны кӧ кык торъялана веськыд визь, вомӧнасян чутныс лоӧ сӧмын ӧти.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед, шуам, веськыд визьясыс вомӧнасьӧны торъялана кык чутын. Сідзкӧ, тайӧ чутъяс пырыс позьӧ гижтыны кык торъялана веськыд визь. А аксиомаыд серти, татшӧм визьыс на пыр вермас мунны сӧмын ӧти. Артмӧ кыв вожалӧм.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Eti_vomenasjan_cut1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ===Вундӧг===
| |
| − |
| |
| − | вундӧг – отрезок
| |
| − |
| |
| − | '''Аксиома.''' Ӧти веськыд визьса куим торъялан чут пиысь ӧтиыс лоӧ мӧд кык костас; татшӧм чутыс овлӧ сӧмын ӧти.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Cutjas_kostyn.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Кык чут на костса став чутыскӧд ӧтув артмӧдӧны вундӧг. Индӧм кык чутыс шусьӧны вундӧг помъясӧн.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Ab_vundeg.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Аксиома.''' Быд вундӧглӧн эм кузьта – плюса лыд.
| |
| − |
| |
| − | Вундӧг помъясын кӧ ''А'' да ''В'' чутъяс, шуам татшӧм вундӧгсӧ ''АВ''; тадзи жӧ и сылысь кузьтасӧ шуам.
| |
| − |
| |
| − | '''Аксиома.''' Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: ''A'', ''B'' да ''C''; ''B''-ыс куйлӧ ''A'' да ''C'' костас. Сэки ''AC'' = ''AB'' + ''BC''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Abc_sum.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Кывкӧртӧд.''' Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: ''A'', ''B'' да ''C''; ''B''-ыс куйлӧ ''A'' да ''C'' костас. Сэки ''AC'' > ''AB'', ''AC'' > ''BC''.
| |
| − |
| |
| − | '''Кывкӧртӧд.''' Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: ''A'', ''B'' да ''C''; ''AC'' = ''AB'' + ''BC''. Сэки ''B''-ыс куйлӧ ''A'' да ''C'' костас.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Миян артмӧ: ''AC'' > ''AB'', ''AC'' > ''BC''. ''A'' чутыс кӧ куйлӧ ''B'' да ''C'' костас, ''BC'' > ''AC''; ''C'' чутыс кӧ куйлӧ ''A'' да ''B'' костас, ''AB'' > ''AC''. Сідзкӧ, ''B''-ыс куйлӧ ''A'' да ''C'' костас.
| |
| − |
| |
| − | ===Тшӧтшкӧсджын===
| |
| − |
| |
| − | тшӧтшкӧсджын – полуплоскость
| |
| − |
| |
| − | '''Аксиома.''' Быд веськыд визь юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ. Кык чут ''A'' да ''B'' куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, оз кӧ ''AB'' вундӧгыс вомӧнав индӧм веськыд визьсӧ.
| |
| − |
| |
| − | Сідзкӧ, ''AB''-ыс кӧ вомӧналӧ тайӧ веськыд визьсӧ, ''A'' да ''B'' чутъясыс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Thothkesdzyn.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Аксиома.''' Сетӧма кӧ ''l'' веськыд визь да сы вылын куйлысь ''O'' чут, быть сюрасны и сэтшӧм ''A'' да ''B'' чутъяс, кодъяслы лӧсялӧ татшӧмтор: ''A'', ''O'', ''B'' абу ӧтилаынӧсь, ''A'' да ''B'' куйлӧны ''l'' вылын да ''O'' чутыс куйлӧ ''A'' да ''B'' чутъяс костын.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:AOB_aks.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ===Визьньӧв===
| |
| − |
| |
| − | визьньӧв – луч
| |
| − | веськыд визьджын – полупрямая
| |
| − |
| |
| − | Мед ''O'' чут куйлӧ ''l'' веськыд визь вылын. Босьтам ''l'' сайын куйлысь ''M'' чутсӧ. Нуӧдам ''O'' да ''M'' чутъяс пыр ''m'' веськыд визьсӧ. Сэки ''m'' юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Lmo.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''l'' веськыд визь вылын. Аксиома серти, найӧ куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын сэк да сӧмын сэк, кор ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧгын.
| |
| − | Сідзкӧ, ''O'' чут юклӧ ''l'' веськыдсӧ кык юкӧн вылӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны визьньӧвъясӧн либӧ веськыд визьджынъясӧн.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Lmoab.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ''OA'' да ''OB'' – кык визьньӧв:
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Viznjov.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Аксиома.''' Быд визьньӧвйӧ сы йывсяньыс сетӧм кузьтаӧн позьӧ гижтыны дзик ӧти вундӧг.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Viznev vundeg.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ==Пельӧс йылысь==
| |
| − |
| |
| − | пельӧс – угол
| |
| − | пельӧс дор – сторона угла
| |
| − | пельӧс йыв – вершина угла
| |
| − | павтыртӧм пельӧс – развёрнутый угол
| |
| − | ёсь пельӧс – острый угол
| |
| − | веськыд пельӧс – прямой угол
| |
| − | ныж пельӧс – тупой угол
| |
| − | орчча пельӧсъяс – смежные углы
| |
| − | вертикаль пельӧсъяс – вертикальные углы
| |
| − |
| |
| − | Ӧти чутысь петысь кык визьньӧв артмӧдӧны пельӧс. Тайӧ визьньӧвъясыс шусьӧны пельӧс доръясӧн, а налӧн ӧтувъя чутыс – пельӧс йылӧн.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Peljes.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ===Пельӧс доръяс костса визьньӧв===
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм.''' Визьньӧв мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сылӧн помыс кӧ лӧсялӧ пельӧс йывкӧд да сійӧ кӧ вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Vn pel kost.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Висьталӧм.''' Визьньӧв кӧ мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сійӧ вомӧнасьӧ быд вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм'''. Мед ''O'' – кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, ''OM'' – визьньӧв, коді мунӧ пельӧс доръяс костӧд. Урчитӧм серти, ''OM'' вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ ''AB'' вундӧгкӧд, кӧні ''A'' да ''B'' чутъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас. Мед ''CD'' – мӧд вундӧг, ''C'' куйлӧ ''OA'' визьньӧв вылын, ''D'' куйлӧ ''OB'' визьньӧв вылын.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Geom pelkost1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ''OM'' веськыд визь юкӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджынйӧ; аксиома серти, ''A'' да ''B'' чутъяс оз ӧти тшӧтшкӧсджынас куйлыны. ''A'' да ''C'' чутъяс куйлӧны ''OA'' визьньӧв вылын, та вӧсна найӧ куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, ''OM'' веськыд визь серти кӧ. Сідзи жӧ артмӧ: ''B'' да ''D'' чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, ''OM'' веськыд визь серти жӧ. Сідзкӧ, ''CD'' вундӧг вомӧнасьӧ ''OM'' веськыд визьыскӧд. Пасъям вомӧнасян чутсӧ ''N'' шыпасӧн.
| |
| − |
| |
| − | Петкӧдлам, мый ''ОМ'' веськыд визьвывса ''N'' чут куйлӧ ''ОМ'' визьньӧв вылын. ''N'' кӧ тайӧ визьньӧв вылас эз куйлы, ''O'' чут куйліс эськӧ ''M'' да ''N'' костын. Сэки, босьтам кӧ тшӧтшкӧссӧ кык джынйӧ юкысь пыдди ''OB'' веськыд визь, ''M'' да ''N'' '''эз эськӧ куйлыны ӧти тшӧтшкӧсджынас'''. Но ''CA'', ''CN'', ''AM'' вундӧгъяс оз вомӧнасьны ''OB'' веськыд визьыскӧд. Сідзкӧ, ''OB'' веськыд визь серти кӧ, ''N'', ''C'', ''A'', ''М'' чутъяс '''куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын'''. Артмис кыв вожалӧм.
| |
| − |
| |
| − | ===Пельӧс градуса муртӧс===
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм'''. Пельӧслӧн доръясыс кӧ артмӧдӧны веськыд визь, сійӧ шусьӧ павтыртӧм пельӧсӧн.
| |
| − |
| |
| − | '''Аксиомаяс.'''
| |
| − | 1. Быд пельӧс позьӧ муртавны плюса градусӧн.
| |
| − | 2. Визьньӧв кӧ мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сэки тайӧ пельӧсас сымда жӧ градус, мыйта визьньӧвнас артмӧдӧм кыкнан пельӧсас ӧтув босьтӧмӧн.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Pel sum.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | 3. Павтыртӧм пельӧсыс лоӧ 180° ыджда.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Pavt murt.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | 4. Быд визьньӧвсянь позьӧ бӧрйӧм тшӧтшкӧсджынйӧ пуктыны сетӧм муртӧсӧн дзик ӧти пельӧс (медтыкӧ 180°-ысь ыджыдджык эз вӧв-а).
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Peljes viznevsjan.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ===Орчча пельӧсъяс===
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм.''' Кык пельӧс шусьӧ орччаӧн, налӧн кӧ эм ӧтувъя дор, а мӧд доръяс кӧ артмӧдӧны веськыд визь.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Orcca peljesjas.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Ӧтувтам кӧ орчча пельӧсъяслысь ыджданысӧ, лоӧ 180°.
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Орчча пельӧсъяс артмӧдӧны павтыртӧм пельӧссӧ, кодлӧн ыдждаыс 180°. Сідзкӧ, 2-ӧд аксиома серти, налӧн суммаыс лоас 180°.
| |
| − | '''Кывкӧртӧд.''' Пельӧсыс кӧ 90° ыджда, сыкӧд орчча пельӧсыс сідзжӧ 90° ыджда.
| |
| − |
| |
| − | ===Бур (веськыд), ёсь да ныж пельӧсъяс===
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм'''. Пельӧс шусьӧ ёсьӧн, сылӧн градуса муртӧсыс кӧ 90°-ысь этшаджык; бур пельӧсӧн (рочӧн моз веськыд пельӧс), сійӧ кӧ 90° ыджда; ныж пельӧсӧн, сійӧ кӧ 90°-ысь ыджыдджык.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Peljes sikasjas.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ===Вертикаль пельӧсъяс===
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм.''' Кык пельӧс шусьӧ вертикаль пельӧсъясӧн, ӧтиыслӧн доръясыс кӧ лоӧны мӧд пельӧсса доръяслӧн нюжӧдӧмӧн.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Vertikal peljes.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Вертикаль пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Серпас серти, ∠''AOB'' да ∠''BOC'' орччаӧсь, ∠''BOC'' да ∠''COD'' орччаӧсь. Та вӧсна ∠''AOB'' + ∠''BOC'' = 180°, ∠''BOC'' + ∠''COD'' = 180°. Сідзкӧ, ∠''AOB'' = 180° – ∠''BOC'' = ∠''COD''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Vertikal aob.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ==Куимпельӧсаяс==
| |
| − |
| |
| − | куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм.''' Куимпельӧсаӧн либӧ куимсэрӧгӧн шусьӧ куим чутысь (кодъяс оз куйлыны ӧти веськыд визь вылын) да найӧс йитан вундӧгъясысь тэчӧм мыгӧр. Индӧм куим чутсӧ куимпельӧсаын шуам йывъяснас, а вундӧгъяссӧ — доръяснас.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimpelesa dor jyv.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ''ABC'' куимпельӧсаын ''AB'' да ''AС'' визьньӧвъяс костын куйлысь пельӧс шусьӧ ''A'' йывбердса пельӧсӧн.
| |
| − |
| |
| − | ===Ӧткодь куимпельӧсаяс===
| |
| − |
| |
| − | ӧткодь куимпельӧсаяс – равные треугольники
| |
| − |
| |
| − | ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь, налӧн кӧ ӧта-мӧдыслы лӧсялана пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, а ӧта-мӧдыслы лӧсялана доръясыс ӧткузяӧсь: ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'', ''AB'' = ''A’B’'', ''AC'' = ''A’C’'', ''BC'' = ''B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Otked kuimp def.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Гижтам визьньӧв. Нюжӧдам кӧ сійӧс, лоӧ веськыд визь, коді юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык джынйӧ. Бӧръям тайӧ тшӧтшкӧсджынъяс письыс ӧтиӧс.
| |
| − | Сэсся гижтам ''ABC'' куимпельӧса да бӧръям сылысь дорсӧ (шуам, ''AB'' вундӧгсӧ), а тайӧ вундӧгыслысь пасъям ӧти помсӧ (шуам, ''A'').
| |
| − |
| |
| − | '''Аксиома.''' Бӧрйӧм тшӧтшкӧсджынйӧ позьӧ пуктыны ''ABC''-кӧд ӧткодь ''DEF'' куимпельӧса сэтшӧм ногӧн, медым ''DE'' вундӧг куйліс индӧм визьньӧвйын да ''D'' помыс ӧтлаасис визьньӧвйыслӧн воддза чуткӧд.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Aks otk tsdz1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ===Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног===
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Кор ''ABC'' да ''A’B’C’'' – куимпельӧсаяс, ''AB'' = ''A’B’'', ''AC'' = ''A’C’'', ∠''A'' = ∠''A’'', сэки ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:1todmes kuimp.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм ''AMK'' куимпельӧса, кӧні: 1) ∆''AMK'' = ∆''A’B’C’'', 2) ''AM'' куйлӧ ''AB'' визьньӧвйын, 3) ''AMK'' да ''ABC'' куйлӧны ''AB'' веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:1todmes proof1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Кык куимпельӧсаыс (тані ∆''AMK'' да ∆''A’B’C’'') кӧ ӧткодьӧсь, сэки и налӧн лӧсялана доръясыс да пельӧсъясыс тшӧтш ӧткодьӧсь: ''AM'' = ''A’B’'', ''AK'' = ''A’C’'', ∠''B’A’C’'' = ∠''MAK''. Сідзкӧ:
| |
| − |
| |
| − | 1) ''AB'' = ''A’B’'' = ''AM'', сійӧ и ''M'' = ''B'';
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:1todmes proof2.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | 2) ∠''BAC'' = ∠''B’A’C’'' = ∠''BAK'', та вӧсна ''AK'' да ''AC'' визьньӧвъяс тшӧтш лӧсялӧны;
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:1todmes proof3.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | 3) ''AC'' = ''A’C’'' = ''AK'', сійӧн и ''K'' = ''C''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:1todmes proof4.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Кык чут пыр вермӧ мунны сӧмын ӧти веськыд визь. Сідзкӧ, ''AMK'' да ''ABC'' куимпельӧсаяс ӧта-мӧдкӧд лӧсялӧны. Та вӧсна ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | ===Ӧткодь берда да ӧткодь доръяса куимпельӧсаяс===
| |
| − |
| |
| − | ӧткодь берда куимпельӧса – равнобедренный треугольник
| |
| − | ӧткодь доръяса куимпельӧса – равносторонний треугольник
| |
| − | боквыв доръяс – боковые стороны
| |
| − | подув – основание
| |
| − |
| |
| − | *Куимпельӧсаын кӧ кык дорыс ӧтыдждаӧсь, шуам сійӧс ӧткодь берда куимпельӧсаӧн.
| |
| − | *Куимпельӧсаын кӧ куимнан дорыс ӧтыдждаӧсь, шуам сійӧс ӧткодь доръяса куимпельӧсаӧн.
| |
| − |
| |
| − | '''Пасйӧд.''' Ӧткодь берда куимпельӧсаын коймӧд дорыс вермӧ торъявны кык ӧткодь дорсьыс, а вермӧ лоны и на кузьта жӧ. Сэки татшӧм ӧткодь берда куимпельӧсаыс лоӧ тшӧтш ӧткодь доръясаӧн. Сідзкӧ, ӧткодь доръяса куимпельӧса лоӧ тшӧтш ӧткодь бердаӧн, сылӧн быд кык дорыс ӧтыдждаӧсь да.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Otkod berda.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | *Ӧткодь берда куимпельӧсаын ӧткодь доръяссӧ шуам боквыв доръясӧн, а коймӧд дорсӧ — подулӧн.
| |
| − | *Подувлы паныд куйлысь пельӧссӧ шуам йывса пельӧсӧн, а боквыв дорлы паныд куйлысь пельӧссӧ — подувбердса пельӧсӧн.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Poduv berdsa peles.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Dor peles otked.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABC'' – ӧткодь берда куимпельӧса, ''AB'' = ''BC''. Лыддям куимпельӧсаыслысь йывъяссӧ ӧтарлань да мӧдарлань: ''ABC'' да ''CBA''. Пуктам ∆''ABC'' да ∆''CBA'' орччӧн. Казялам: ''AB'' = ''BC'', ''CB'' = ''BA'', а на костса ''B'' пельӧс ӧтувъя. Сідзкӧ, ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног серти, ∆''ABC'' = ∆''CBA''. А та вӧсна и ∠''BAC'' = ∠''BCA''.
| |
| − |
| |
| − | ☼ ☼ ☼
| |
| − |
| |
| − | Ӧткодь доръяса куимпельӧсалысь куимнан дорсӧ позьӧ шуны кӧть подулӧн, кӧть боквыв дорӧн, а куимнан пельӧссӧ — кӧть подувбердса, кӧть йывса пельӧсӧн.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Ӧткодь доръяса куимпельӧсаын куимнан пельӧсыс ӧтыджда.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Otked dor dor peles.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABC'' – ӧткодь доръяса куимпельӧса. Лыддям кӧ ''AC'' дорсӧ подулӧн, сэки ∠''BAC'' = ∠''BCA'', найӧ подувбердса пельӧсъяс да; ''BC'' дорсӧ сідзжӧ позьӧ лыддьыны подулӧн, сэки подувбердса пельӧсъясӧн лоӧны ∠''ACB'' да ∠''ABC'', сідзкӧ найӧ тшӧтш ӧткодьӧсь. Та дырйи ∠''BCA'' да ∠''ACB'' — ӧти сійӧ жӧ пельӧс (видзӧд серпассӧ). Кык ӧткодьлунсьыс (∠''BAC'' = ∠''BCA'' да ∠''BCA'' = ∠''ABC'') артмӧ: ∠''BAC'' = ∠''BCA'' = ∠''ABC''.
| |
| − |
| |
| − | ===Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ мӧд тӧдмалан ног===
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Кор ''ABC'' да ''A’B’C’'' – куимпельӧсаяс, ''AB'' = ''A’B’'', ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', сэки ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp 2 todmes.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм ''AMK'' куимпельӧса, кӧні: 1) ∆''AMK'' = ∆''A’B’C’'', 2) ''AM'' куйлӧ ''AB'' {{comment|визьньӧвйын|лучын}}, 3) ''AMK'' да ''ABC'' куйлӧны ''AB'' веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp 2 todm 1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Кык куимпельӧсаыс (тані ∆''AMK'' да ∆''A’B’C’'') кӧ ӧткодьӧсь, сэки и налӧн лӧсялана доръясыс да пельӧсъясыс тшӧтш ӧткодьӧсь: ''AM'' = ''A’B’'', ∠''B’A’C’'' = ∠''MAK'', ∠''A’B’C’'' = ∠''AMK''. Сідзкӧ:
| |
| − |
| |
| − | 1) ''AB'' = ''A’B’'' = ''AM'', сійӧн и ''M'' = ''B'';
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp 2 todm 2.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | 2) ∠''BAC'' = ∠''B’A’C’'' = ∠''BAK'', та вӧсна ''AK'' да ''AC'' визьньӧвъяс тшӧтш лӧсялӧны;
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp 2 todm 3.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | 3) ∠''ABC'' = ∠''A’B’C’'' = ∠''ABK'', та вӧсна ''BK'' да ''BC'' визьньӧвъяс лӧсялӧны жӧ.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp 2 todm 4.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Кык торъялана веськыд визь вермӧ вомӧнасьны сӧмын ӧти чутын. Сідзкӧ, миян ''K'' да ''C'' ӧти и сійӧ жӧ чут. Вылынджык аддзим: ''M'' да ''B'' тшӧтш ӧти чут. Со и петӧ, мый ''AMK'' да ''ABC'' куимпельӧсаяс лӧсялӧны. А казьтыштам кӧ, мый ∆''AMK'' да ∆''A’B’C’'' ӧткодьӧсь, сэки и воам кывкӧртӧдӧ: ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | ☼ ☼ ☼
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Куимпельӧсаыс лоӧ ӧткодь бердаӧн, сыын кӧ эм кык ӧтыджда пельӧс.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Otk pel otk dor.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABC'' – куимпельӧса, ∠''A'' = ∠''C''. Лыддям куимпельӧсаыслысь йывъяссӧ ӧтарлань да мӧдарлань: ''ABC'' да ''CBA''. Пуктам ∆''ABC'' да ∆''CBA'' орччӧн. Казялам: ∠''A'' = ∠''C'', ∠''C'' = ∠''A'', а на костса ''AC'' дорыс ӧтувъя. Сідзкӧ, ӧткодьлунсӧ мӧд тӧдмалан ног серти, ∆''ABC'' = ∆''CBA''. А та вӧсна и ''AB'' = ''BC''.
| |
| − |
| |
| − | ☼ ☼ ☼
| |
| − |
| |
| − | '''Кывкӧртӧд 1.''' Куимпельӧсаын кӧ эм кык ӧтыджда пельӧс, татшӧм куимпельӧсаыс быть лоӧ ӧткодь бердаӧн; и мӧдарӧ, куимпельӧсаыс кӧ ӧткодь берда, сыын быть эм кык ӧтыджда пельӧс. (Дженьдӧдӧм могысь шуӧны тадзи: куимпельӧса ӧткодь берда сэк да сӧмын сэк, кор сыын эм кык ӧтыджда пельӧс.)
| |
| − |
| |
| − | '''Кывкӧртӧд 2.''' Куимпельӧсаын кӧ куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь, татшӧм куимпельӧсаыс быть лоӧ ӧткодь доръясаӧн; и мӧдарӧ, куимпельӧсаыс кӧ ӧткодь доръяса, сылӧн куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь. (Дженьдӧдӧм могысь шуӧны тадзи: куимпельӧса ӧткодь доръяса сэк да сӧмын сэк, кор сыын куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь.)
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:3peljes 3dor.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ===Биссектриса, медиана да судта===
| |
| − |
| |
| − | *Биссектрисаӧн шуӧны визьньӧв, коді петӧ пельӧс йылысь да юклӧ тайӧ пельӧссӧ шӧрипӧв.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Bissektr def.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | *Куимпельӧсаын биссектрисаӧн шуӧны вундӧг, коді юклӧ сылысь ӧти пельӧссӧ шӧрипӧв да йитӧ тайӧ пельӧс йывсӧ паныда дор вылын куйлысь чуткӧд.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp bis def.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | *Куимпельӧсаын медианаӧн шуӧны вундӧг, коді йитӧ сылысь ӧти йывсӧ паныда дорвывса шӧр чуткӧд.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp mediana def.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Кык веськыд визь кӧ вомӧнасьӧны да та дырйи артмӧм нёль пельӧсысь ӧтиыс кӧ лоӧ бур, сэки мукӧд куим пельӧсыс тшӧтш бурӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Тайӧ куим пельӧс пӧвстысь ӧтиыс куйлӧ 90°‐а пельӧскӧд вертикаль ногӧн, та вӧсна сійӧ лоӧ тшӧтш бур (вертикаль пельӧсъяс ӧткодьӧсь да). Мӧд кыкыс 90°‐а пельӧскӧд орччаӧсь, та вӧсна и найӧ бурӧсь (кыдзи ми тӧдам нин).
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Perpend 4.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | *Веськыд визь шусьӧ перпендикулярӧн мӧд веськыд визьлы, найӧ кӧ артмӧдӧны бур пельӧс.
| |
| − |
| |
| − | *Куимпельӧсаын судтаӧн шуӧны вундӧг, коді йитӧ сылысь ӧти йывсӧ паныда дор визь вылын куйлысь чуткӧд да лоӧ тайӧ дорыслы перпендикулярӧн.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Sudta kuimp.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧсса биссектрисаыс лоӧ ӧттшӧтш медианаӧн да судтанас.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Otk berda bis med sudta.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABC'' – куимпельӧса, кӧні ''AB'' = ''BC'', а ''BD'' – биссектрисаыс, коді юклӧ ''ABC''-сӧ кык пельӧ: ∆''ABD'' да ∆''CBD''. Казялам: ''AB'' = ''CB'', ∠''ABD'' = ∠''CBD'', а ''BD'' – налӧн ӧтувъя дор. Ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног серти, ∆''ABD'' = ∆''CBD''. Таысь петӧ кык тор:
| |
| − | # ''AD'' = ''DC'', а сідзкӧ, ''BD'' — медиана;
| |
| − | # ∠''BDA'' = ∠''BDC''; серпасысь позьӧ аддзыны, мый тайӧ ӧткодь пельӧсъясыс орччаӧсь. Кыдзи ми тӧдам, орчча пельӧсъяслӧн суммаыс 180°, та вӧсна ∠''BDA'' = 90° да ∠''BDC'' = 90°, а сідзкӧ, ''BD'' — судта.
| |
| − |
| |
| − | ===Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ коймӧд тӧдмалан ног===
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Кор ''ABC'' да ''A’B’C’'' – куимпельӧсаяс, кӧні ''AB'' = ''A’B’'', ''BC'' = ''B’C’'', ''AC'' = ''A’C’'', сэки ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp otk 3 todm.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм ''AMK'' куимпельӧса, кӧні: 1) ∆''AMK'' = ∆''A’B’C’''; 2) ''AM'' куйлӧ ''AB'' визьньӧвйын; 3) ''K'' да ''C'' чутъяс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын ''AB'' веськыд визь серти.
| |
| − |
| |
| − | '''(колӧ серпас)'''
| |
| − |
| |
| − | ''AB'' = ''A’B’'' = ''AM'', та вӧсна ''M'' = ''B''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp otk 3 todmes1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ''AC'' = ''A’C’'' = ''AK''; сідзкӧ, ''AC'' да ''AK'' – боквыв доръяс ӧткодь берда ''CAK'' куимпельӧсаын. Та вӧсна ∠''AKC'' = ∠''ACK''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠''BKC'' = ∠''BCK''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp otk 3 todmes2.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Сідзкӧ, ∠''ACB'' = ∠''ACK'' + ∠''BCK'' = ∠''AKC'' + ∠''BKC'' = ∠''AKB''. Таысь кындзи, ''AC'' = ''AK'', ''BC'' = ''BK''. Сы вӧсна ''ABC'' да ''ABK'' куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмалан ног серти да ∆''A’B’C’'' = ∆''ABK'' = ∆''ABC''.
| |
| − |
| |
| − | ===Веськыд визьлань ортсы чут пыр гижтӧм перпендикуляр===
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Веськыд визьысь ортсыын куйлысь чут пыр оз позь гижтыны сы дорӧ кык торъялана перпендикуляр.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм''' (паныдсянь). Мед ''A'' чут лоӧ ''l'' веськыд визьысь ортсыын, а ''AM'' да ''AN'' – тайӧ визь дорас кык торъялана перпендикуляр, кодъяс вомӧналӧны ''l''-сӧ ''M'' да ''N'' чутъясын. Та дырйи ''M'' да ''N'' – кык торъялана чут.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kyk perpend.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм ''MBN'' куимпельӧса, кӧні: 1) ∆''MBN'' = ∆''MAN'', 2) ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''l'' веськыд визь серти торъя тшӧтшкӧсджынъясын.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kyk perpend 1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Миян артмӧ: ∠''AMN'' = ∠''BMN'' = 90°; та вӧсна ∠''AMB'' = 180° да ''M'' чут куйлӧ ''AB'' веськыд визь вылын. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''N'' чут куйлӧ ''AB'' веськыд визь вылын. ''AB'' да ''l'' веськыдъяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. Сідзкӧ, ''M'' = ''N'', а тайӧ оз лӧсяв миян воддза шуӧмкӧд, код серти ''M'' да ''N'' – кык торъялана чут.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧсса судта лоӧ ӧттшӧтш биссектрисаӧн да медианаӧн.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Otk berda sudta bis med.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм''' (паныдсянь). Мед судтаыс оз ло биссектрисаӧн. Гижтам йывса пельӧслысь биссектрисасӧ. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧслӧн биссектрисаыс ӧттшӧтш лоӧ сылы судтаӧн. Сідзкӧ, йывса пельӧсысь позьӧ гижтыны подувлы кык торъялана перпендикуляр, а тайӧ оз лӧсяв воддза теоремакӧд.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Веськыд визь дорӧ сыысь ортсыын куйлысь чут пырыс позьӧ гижтыны перпендикуляр.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Perp exist0.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''A'' чут куйлӧ ''l'' веськыд визьысь ортсыын, ''B'' да ''C'' чутъяс лоӧны ''l'' вылын. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм ''BA’C'' куимпельӧса, кӧні: 1) ∆''BA’C'' = ∆''BAC'', 2) ''A'' да ''A’'' чутъяс куйлӧны ''l'' веськыд визь серти торъя тшӧтшкӧсджынъясын. Сідзкӧ, ''ABA’'' куимпельӧсаын ''AB'' = ''A’B'', ''BC'' визьньӧв – ∠''ABA’''-лӧн биссектриса. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧслӧн биссектрисаыс ӧттшӧтш лоӧ сылы судтаӧн. Сідзкӧ, ''AA’'' лоӧ ''l''-лы перпендикулярӧн.
| |
| − |
| |
| − | ===Ортсыса пельӧс===
| |
| − | Куимпельӧсалысь став видлалӧм сикас пельӧсъяссӧ позьӧ шуны тшӧтш пытшкӧс пельӧсъясӧн.
| |
| − | Куимпельӧса бердын куимнан пытшкӧс пельӧскӧд орччӧн куйлӧны ортсы пельӧсъяс.
| |
| − | Мӧд ногӧн шуны, куимпельӧсалӧн ортсы пельӧсӧн шусьӧ быд пытшкӧс пельӧскӧд орчча пельӧс.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Ortsysa peljes.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Ортсыса пельӧс ыджыдджык куимпельӧсаса кыкнан пельӧсысь, коді сыкӧд абу орччӧн.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABC'' — куимпельӧса, ∠''BCD'' — сылӧн ортсы пельӧс, коді куйлӧ ∠''BCA''-кӧд орччӧн; та дырйи ''C'' чут куйлӧ ''A'' да ''D'' костын. Петкӧдлам: ∠''ABC'' < ∠''BCD''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Ortsysa pel ydzyddzyk0.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Та могысь гижтам ∠''BCD'' пельӧс доръяс костӧд сэтшӧм ''CE'' визьньӧв, медым ∠''ABC'' = ∠''BCE''. Кытысь лоӧ ''E'' чутыс? ''BC'' вундӧг шӧрын куйлысь чут пыр (пасъям сійӧс ''O'') гижтам ''AO'' визьньӧв. Тайӧ визьньӧв вылас пасъям ''E'' чут, коді куйлӧ ''O'' чутсянь сы ылнаын жӧ, кыдзи и ''A'' чут. Миян артмӧ: 1) ''OC'' = ''OB''; 2) ''AO'' = ''OE''; 3) ∠''AOB'' = ∠''EOC'' кыдзи вертикаль пельӧсъяс. Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''EOC'' медводдза тӧдмалан ног серти. Та вӧсна ∠''ABC'' = ∠''BCE'', кыдзи ӧткодь куимпельӧсаясын лӧсялана пельӧсъяс.
| |
| − |
| |
| − | ''O'', ''B'' да ''E'' чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын ''AD'' веськыд визь серти. Миян артмӧ: 1) ∠''BCD'' = 180° – ∠''BCA'' (кыдз орчча); 2) ''ВС'' да ''AE'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны, мӧд ног шуны, ''CB'' визьньӧв мунӧ ∠''ACE'' пельӧс доръяс костӧд. Сідзкӧ ∠''ACE'' = ∠''BCE'' + ∠''BCA''. 3) ∠''ACE'' < 180°, та вӧсна ∠''ACE''-ысь кӧ чинтам ∠''BCA'' да 180°-ысь сійӧ жӧ ∠''BCA'' чинтам, медводдза чинтасыс лоас этшаджык мӧд чинтассьыс (формулаӧн кӧ пасъям, ∠''ACE'' – ∠''BCA'' < 180° – ∠''BCA'').
| |
| − |
| |
| − | Ӧтувтам кӧ став артмӧм формула, лоас:
| |
| − |
| |
| − | ∠''ABC'' = ∠''BCE'';
| |
| − |
| |
| − | ∠''BCE'' = ∠''ACE'' – ∠''BCA'';
| |
| − |
| |
| − | ∠''ACE'' – ∠''BCA'' < 180° – ∠''BCA'';
| |
| − |
| |
| − | 180° – ∠''BCA'' = ∠''BCD''.
| |
| − |
| |
| − | Сідзкӧ ∠''ABC'' < ∠''BCD''.
| |
| − |
| |
| − | Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам, мый ∠''BAC'' < ∠''BCD''.
| |
| − |
| |
| − | ===Куимпельӧсалысь доръяс да пельӧсъяс ӧтластитӧм===
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Куимпельӧсаын ыджыдджык дорлы паныд куйлӧ ыджыдджык пельӧс.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Dor peljes otlastitem1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABC'' куимпельӧсаын ''AC'' > ''AB''. Петкӧдлам: ∠''ABC'' > ∠''ACB''.
| |
| − | Пасъям ''AC'' вундӧг вылын сэтшӧм ''D'' чут, медым ''AD'' = ''AB''. Сідзкӧ, ∠''ABD'' = ∠''BDA'', ӧд найӧ ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс.
| |
| − |
| |
| − | ''BD'' вундӧг юкӧ ∆''ABC''-сӧ кык пельӧ; сы пытшкын ӧні эм кык куимпельӧса: ∆''ABD'' да ∆''BCD''.
| |
| − | ∠''BDA'' лоӧ ∆''BCD'' куимпельӧсалы ортсыса пельӧс. Кыдзи ми тӧдам нин, ортсыса пельӧс век ыджыдджык пытшкӧсса пельӧсысь, коді сыкӧд абу орчча. Сідзкӧ ∠''BDA'' > ∠''BCD''.
| |
| − | Ӧтувтам кӧ став артмӧм формула, лоас:
| |
| − |
| |
| − | ∠''ABC'' > ∠''ABD'',
| |
| − |
| |
| − | ∠''ABD'' = ∠''BDA'',
| |
| − |
| |
| − | ∠''BDA'' > ∠''BCD'',
| |
| − |
| |
| − | ∠''BCD'' = ∠''ACB''.
| |
| − |
| |
| − | Сідзкӧ, ∠''ABC'' > ∠''ACB''.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Куимпельӧсаын ыджыдджык пельӧслы паныд куйлӧ ыджыдджык дор.
| |
| − |
| |
| − | (татчӧ колӧ серпас)
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABC'' куимпельӧсаын ∠''ABC'' > ∠''ACB''. Петкӧдлам: ''AC'' > ''AB''.
| |
| − |
| |
| − | Тайӧ кӧ абу сідз, либӧ ''AC'' = ''AB'', либӧ ''AC'' < ''AB''. Кыдзи ми тӧдам нин, кор ''AC'' = ''AB'', сэки ∠''ABC'' = ∠''ACB''; кор ''AC'' < ''AB'', сэки ∠''ABC'' < ∠''ACB''. Тайӧ оз лӧсяв ∠''ABC'' > ∠''ACB'' ӧткодьтӧмлункӧд.
| |
| − |
| |
| − | ☼ ☼ ☼
| |
| − |
| |
| − | Сідзкӧ, куимпельӧсаын ӧти дор кузьджык мӧд дорсьыс сэк да сӧмын сэк, кор медводдза дорыслы паныд куйлан пельӧс ыджыдджык мӧд дорыслы паныд куйлан пельӧсысь.
| |
| − |
| |
| − | ===Ёсь пельӧса, бур (веськыд) пельӧса да ныж пельӧса куимсэрӧгъяс===
| |
| − |
| |
| − | ёсь пельӧса куимсэрӧг — остроугольный треугольник
| |
| − | бур (веськыд) пельӧса куимсэрӧг — прямоугольный треугольник
| |
| − | ныж пельӧса куимсэрӧг — тупоугольный треугольник
| |
| − |
| |
| − | Куимсэрӧг шусьӧ ёсь пельӧсаӧн, сыын кӧ куимнан пельӧсыс ёсь.
| |
| − |
| |
| − | Куимсэрӧг шусьӧ бур (веськыд) пельӧсаӧн, сыын кӧ ӧти пельӧсыс бур (веськыд).
| |
| − |
| |
| − | Куимсэрӧг шусьӧ ныж пельӧсаӧн, сыын кӧ ӧти пельӧсыс ныж.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' 1) Бур пельӧса куимсэрӧгын гипотенузабердса пельӧсъяс ёсьӧсь. 2) Гипотенуза кузьджык катетысь.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Veskydpeljesa kuimsereg otk.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' 1) Бур пельӧскӧд орчча пельӧс тшӧтш бур; теорема серти, сійӧ ыджыдджык гипотенузабердса пельӧсысь.
| |
| − | 2) Бур (веськыд) пельӧсыс куимпельӧсаын медыджыд, та вӧсна сылы паныд куйлысь дор медкузь.
| |
| − |
| |
| − | '''Висьталӧм.''' Ныж пельӧса куимсэрӧгын эм кык ёсь пельӧс.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Tsotsyd 2 jos.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Ӧти пельӧсыс кӧ ныж, сыкӧд орчча пельӧсыс ёсь. Кыдз ми тӧдам нин, ортсыса пельӧс ыджыдджык пытшкӧсса пельӧсысь, коді абу сыкӧд орччӧн. Сідзкӧ куимпельӧсаыслӧн мукӧд пытшкӧсса пельӧсъяс ёсь пельӧсысь ичӧтджыкӧсь; та вӧсна найӧ асьныс ёсьӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Висьталӧм.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс ёсьӧсь.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Otk berda 2 jos.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Кыдз ми тӧдам нин, 1) ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, 2) бур пельӧса либӧ ныж пельӧса куимсэрӧгын эм кык ёсь пельӧс. Сідзкӧ, подувбердса пельӧс оз вермы лоны бурӧн ни ныжӧн.
| |
| − |
| |
| − | ===Бур пельӧса куимсэрӧгъяслысь ӧткодьлунсӧ тӧдмалан ног===
| |
| − | ====Кык катет серти.====
| |
| − | '''Теорема.''' Кор ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні ''AB'', ''BC'', ''A’B’'', ''B’C’'' — катетъяс, ''AB'' = ''A’B’'', ''BC'' = ''B’C’'', сэки ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:2katet.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' ∠''ABC'' = ∠''A’B’C’'' = 90°, ''AB'' = ''A’B’'', ''BC'' = ''B’C’''; сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.9A.D1.83.D0.B8.D0.BC.D0.BF.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D3.A7.D1.81.D0.B0.D1.8F.D1.81.D0.BB.D1.8B.D1.81.D1.8C_.D3.A7.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C.D0.BB.D1.83.D0.BD.D1.81.D3.A7_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D0.B0.D0.BB.D0.B0.D0.BD_.D0.BD.D0.BE.D0.B3 медводдза тӧдмалан ног серти].
| |
| − | ====Катет да гипотенуза серти.====
| |
| − | '''Теорема.''' Кор ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні ''AB'' да ''A’B’'' — катетъяс, ''AC'' да ''A’C’'' — гипотенузаяс, ''AB'' = ''A’B’'', ''AC'' = ''A’C’'', сэки ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kat gip1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D0.BF.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D3.A7.D1.81.D0.B0.D1.8F.D1.81 Аксиомаысь] петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм ''KBM'' куимпельӧса, кӧні: 1) ∆''KBM'' = ∆''A’B’C’'', 2) ''M'' чут куйлӧ куйлӧ ''BC'' визь вылын, ''B'' чут куйлӧ ''C'' да ''M'' чутъяс костын, 3) ∆''KBM'' да ∆''ABC'' куйлӧны ''BC'' веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.
| |
| − |
| |
| − | Медводдза серпас вылас ылӧсас индӧма, кутшӧм тшӧтшкӧсджынйын куйлӧ ''K'' чут. Сэсся ми сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн кутам стӧчмӧдны сылысь инсӧ.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kat gip2 0.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Но кыдзи ми тӧдам, ∆''KBM'' = ∆''A’B’C’''. Таысь петӧ некымынтор:
| |
| − |
| |
| − | 1) ∠''KBM'' = ∠''A’B’C’'' = 90°, ∠''ABM'' = 180° − ∠''ABC'' = 90°; сійӧн ''K'' чутлы быть куйлыны ''BA'' визьньӧв вылын.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kat gip3.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | 2) ''AB'' = ''A’B’'', ''A’B’'' = ''KB''; та вӧсна ''AB'' = ''KB'' да ''K'' чутлы быть лӧсявны ''A''-кӧд.
| |
| − |
| |
| − | (серпас)
| |
| − |
| |
| − | 3) ''AC'' = ''A’C’'', ''A’C’'' = ''KM'' = ''AM''; сійӧн ''AC'' = ''AM''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kat gip4 0.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Миян артмӧ ∆''CAM''. Сійӧ — ӧткодь берда куимпельӧса, кӧні ''AC'' да ''AM'' — боквыв доръяс, ''AB'' — судта. [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 Кыдзи ми тӧдам нин], подувлань гижтӧм судта лоӧ биссектрисаӧн. Миян артмӧ: ''AC'' = ''AM'', ∠''CAB'' = ∠''MAB''. Сідзкӧ, ∆''ABC'' = ∆''ABM'' медводдза тӧдмалан ног серти. Но ∆''ABM'' = ∆''KBM'' = ∆''A’B’C’''. Сійӧн ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | ====Катет да сы бердса ёсь пельӧс серти.====
| |
| − | '''Теорема.''' Кор ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні ''AB'' да ''A’B’'' — катетъяс, ∠''A'' да ∠''A’'' — ёсь пельӧсъяс, ''AB'' = ''A’B’'', ∠''A'' = ∠''A’'', сэки ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kat jos berd0.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' ∠''B'' = ∠''B’'' = 90°, ''AB'' = ''A’B’'', ∠''A'' = ∠''A’''; сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.9A.D1.83.D0.B8.D0.BC.D0.BF.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D3.A7.D1.81.D0.B0.D1.8F.D1.81.D0.BB.D1.8B.D1.81.D1.8C_.D3.A7.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C.D0.BB.D1.83.D0.BD.D1.81.D3.A7_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D0.B0.D0.BB.D0.B0.D0.BD_.D0.BD.D0.BE.D0.B3 мӧд тӧдмалан ног] серти.
| |
| − |
| |
| − | ====Катет да сылы паныд куйлысь ёсь пельӧс серти.====
| |
| − | '''Теорема.''' Кор ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні ''AB'' да ''A’B’'' — катетъяс, ''AB'' = ''A’B’'', ∠''B'' = ∠''B’'' = 90°, ∠''C'' = ∠''C’'', сэки ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kat jos pan1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D0.BF.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D3.A7.D1.81.D0.B0.D1.8F.D1.81 Аксиомаысь] петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм ''KBM'' куимпельӧса, кӧні: 1) ∆''KBM'' = ∆''A’B’C’'', 2) ''M'' чут куйлӧ куйлӧ ''BC'' визь вылын, ''B'' чут куйлӧ ''C'' да ''M'' чутъяс костын, 3) ∆''KBM'' да ∆''ABC'' куйлӧны ''BC'' веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.
| |
| − |
| |
| − | Татшӧм ''KBM'' куимпельӧсасӧ миян лӧсьӧдлім [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.9A.D0.B0.D1.82.D0.B5.D1.82_.D0.B4.D0.B0_.D0.B3.D0.B8.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.B5.D0.BD.D1.83.D0.B7.D0.B0_.D1.81.D0.B5.D1.80.D1.82.D0.B8. мӧд теоремасӧ] подулалігӧн. Сэки миян артмис: ''K'' = ''A''.
| |
| − |
| |
| − | Сідзкӧ ∆''ABM'' = ∆''A’B’C’''. Та вӧсна ∠''AMB'' = ∠''A’C’B’''. Но ∠''A’C’B’'' = ∠''ACB''. Сійӧн ∠''AMB'' = ∠''ACB''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kat jos pan3.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Кыдзи ми тӧдам нин, куимсэрӧгын кӧ эм кык ӧткодь пельӧс, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь берда. Сідзкӧ ''ACM'' — ӧткодь берда куимпельӧса, ''CM'' — сылӧн подулыс, ''AB'' — сылӧн судтаыс. Татшӧмтор миян бара жӧ артмыліс нин [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.9A.D0.B0.D1.82.D0.B5.D1.82_.D0.B4.D0.B0_.D0.B3.D0.B8.D0.BF.D0.BE.D1.82.D0.B5.D0.BD.D1.83.D0.B7.D0.B0_.D1.81.D0.B5.D1.80.D1.82.D0.B8. мӧд теоремасӧ] подулалігӧн; сыысь ми тӧдан нин, мый ∆''ABC'' = ∆''ABM'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | ====Гипотенуза да ёсь пельӧс серти.====
| |
| − | '''Теорема.''' Кор ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні ''AC'' да ''A’C’'' — гипотенузаяс, ''AC'' = ''A’C’'', ∠''A'' = ∠''A’'', сэки ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Gip jos.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D0.BF.D0.B5.D0.BB.D1.8C.D3.A7.D1.81.D0.B0.D1.8F.D1.81 Аксиомаысь] петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм ''AKM'' куимпельӧса, кӧні: 1) ∆''AKM'' = ∆''A’B’C’'', 2) ''AK'' куйлӧ ''AB'' визьньӧвйын, 3) ∆''AKM'' да ∆''ABC'' куйлӧны ''AB'' веськыд визь серти торъя тшӧтшкӧсджынъясын.
| |
| − |
| |
| − | Медводдза серпас вылас ылӧсас индӧма, кутшӧм визьньӧв вылын куйлӧ ''K'' чут да кутшӧм тшӧтшкӧсджынйын куйлӧ ''M'' чут. Сэсся ми сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн кутам стӧчмӧдны налысь инсӧ.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Gip jos1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Пуктам ''N'' чут ''CB'' визьньӧв вылӧ тадзи, медым ''BC'' = ''BN''. Сэки ∆''ABC'' = ∆''ABN'' кык катет серти.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Gip jos2.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Миян артмӧ:
| |
| − |
| |
| − | 1) ∠''BAN'' = ∠''BAC'';
| |
| − |
| |
| − | 2) ∠''BAC'' = ∠''B’A’C’'';
| |
| − |
| |
| − | 3) ∠''B’A’C’'' = ∠''KAM'' = ∠''BAM''.
| |
| − |
| |
| − | Сідзкӧ ∠''BAN'' = ∠''BAM''; та вӧсна ''N'' чут куйлӧ ''AM'' визьньӧв вылын. Пасъям тайӧс выль серпас вылын, сэсся водзӧ кутам стӧчмӧдны ''K''‐лысь да ''M''‐лысь инсӧ.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Gip jos3.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ∆''ABC'' = ∆''ABN'', та вӧсна ''AC'' = ''AN''; но ''AC'' = ''A’C’'' да ''A’C’'' = ''AM''. Сідзкӧ ''AM'' = ''AN'', кытысь ''M'' = ''N''. Вӧчам выль серпас, кӧні ''M'' = ''N''; колис сӧмын стӧчмӧдны ''K'' чутлысь инсӧ.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Gip jos4.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ∠''AKM'' = ∠''A’B’C’'' = 90°, ∠''ABM'' = ∠''ABC'' = 90°. Сійӧн ''MB'' да ''MK'' лоӧны ''AB''‐лы перпендикуляръясӧн. [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 Кыдзи ми тӧдам нин], ӧти чутысь позьӧ гижтыны сӧмын ӧти перпендикуляр. Сідзкӧ, ''K'' = ''B''.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Gip jos5.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Миян артмӧ:
| |
| − |
| |
| − | 1) ∆''ABC'' = ∆''ABM'';
| |
| − |
| |
| − | 2) ∆''ABM'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | Та вӧсна ∆''ABC'' = ∆''A’B’C’''.
| |
| − |
| |
| − | ===Куимпельӧса ӧткодьтӧмлун===
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Куимпельӧсаын кык дорыслӧн ӧтувъя кузьта век лоӧ ыджыдджык коймӧд дор кузьтасьыс.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp otkedtemlun.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Шуам, ''ABC'' куимпельӧсаын ''AC'' дор лоӧ медкузьӧн. Сідзкӧ ''AC'' вундӧгас позьӧ пуктыны ''D'' чут, медым ''AB'' = ''AD''. Миян артмӧ: ∆''DAB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг, ''DB'' — сылӧн подулыс, ∠''ADB'' да ∠''ABD'' — сылӧн подувбердса пельӧсъяс.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Dor peljes otlastitem1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Кыдзи ми тӧдам нин, подувбердса пельӧсыд век лоӧ ёсь. Сідзкӧ, ∠''ADB'' тшӧтш ёсь. Ёсь пельӧскӧд орчча пельӧс век лоӧ ныж. Сійӧн ∠''BDC'' — ныж пельӧс. Миян артмӧ: ''BDC'' куимпельӧсаын ∠''BDC'' медыджыд. Кыдзи ми тӧдам нин, медыджыд пельӧслы паныд куйлӧ медкузь дор. Сы понда ''BC'' > ''DC''.
| |
| − |
| |
| − | Миян артмӧ:
| |
| − | *''AC'' = ''AD'' + ''DC'';
| |
| − | *''AD'' = ''AB'' (сійӧн вылысджык формула позьӧ гижны: ''AC'' = ''AB'' + ''DC'');
| |
| − | *''DC'' < ''BC''.
| |
| − |
| |
| − | Сідзкӧ, ''AC'' < ''AB'' + ''BC''.
| |
| − |
| |
| − | ==Параллель (ӧтнырвизя) веськыд визьяс==
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм.''' Кык веськыд визь шусьӧны параллельясӧн, найӧ кӧ оз вомӧнасьны.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Parallel veskyd.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Кык торъялана веськыд визь кӧ лоӧны перпендикуляръясӧн коймӧд веськыд визьлы, найӧ параллель ногаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Parallal veskyd perp.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм''' (паныдсянь). Тайӧ кык веськыд визь кӧ вомӧнасисны, найӧ вомӧнасянінысь позис эськӧ гижтыны коймӧд веськыд визьлань кык торъялана перпендикуляр. Но, кыдзи ми тӧдам нин, тайӧс вӧчны он вермы.
| |
| − |
| |
| − | (татчӧ колӧ серпас)
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Чутыс кӧ оз куйлы веськыд визь вылын, сэтшӧм чут пыр позьӧ гижтыны тайӧ веськыд визьлы параллель.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед миян эм ''m'' веськыд визь да ''A'' чут, коді оз куйлы сы вылын. Гижтам ''A'' чутысь ''m''-лань перпендикуляр (пасъям сійӧс ''l''). Сэсся ''A'' чут пыр гижтам ''l''-лы перпендикуляр (пасъям сійӧс ''n''). Миян артмӧ: ''l'' лоӧ перпендикулярӧн ''m''-лы да ''n''-лы. Сідзкӧ, ''m'' да ''n'' параллельяс (воддза теорема серти).
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Parall nuedem1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ===Параллельлун тӧдмалан ног===
| |
| − |
| |
| − | ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс – внутренние накрест лежащие углы
| |
| − | ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс – внешние накрест лежащие углы
| |
| − | ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс – внутренние односторонние углы
| |
| − | ӧтарбокса ортсы пельӧсъяс – внешние односторонние углы
| |
| − | весьтаса пельӧсъяс – соответственные углы
| |
| − |
| |
| − | Гижтам кык веськыд визь да нӧшта ӧти визь, коді найӧс вомӧналӧ. Тайӧ вомӧналысь визь серти позьӧ пасйыны татшӧм пельӧсъяс (петкӧдлӧма серпас вылын):
| |
| − |
| |
| − | *ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс,
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Pyts padv pel1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | *ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс,
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Orts padv pel.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | *ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс,
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Pyts etarboksa.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | *ӧтарбокса ортсы пельӧсъяс.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Orts etarboksa.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | *весьтаса пельӧсъяс,
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Vestasa.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | (петкӧдлыны серпас вылын став вариант − 2, 2, 2, 2, 4)
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Parall tedm1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Эм кык веськыд визь: ''AC'' да ''BD''; найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь: ''AB''; та дырйи ∠''ABD'' = ∠''BAC''. Пасъям ''AB'' вундӧглысь шӧрчутсӧ ''M'' шыпасӧн. Гижтам ''M'' чут пыр ''AC'' веськыд визьлань ''MP'' перпендикуляр. Чут, кӧні сійӧ вомӧнасьӧ ''BD''-кӧд, пасъям ''Q'' шыпасӧн. ∠''AMP'' да ∠''BMQ'' — вертикаль пельӧсъяс, та вӧсна найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, ∆''AMP'' = ∆''BMQ'' мӧд тӧдмалан ног серти. Сэк и ∠''BQM'' = ∠''APM''. ''MP'' лоӧ '' AC''‐лы перпендикуляр, сійӧн ∠''APM'' = 90°; сідзкӧ и ∠''BQM'' = 90°. Миян артмӧ: ''BQ'' да ''AP'' веськыд визьяс лоӧны ''PQ'' веськыд визьлы перпендикуляръясӧн. Сідзкӧ, найӧ куйлӧны мӧда-мӧдлы параллель ногӧн водзджык подулалӧм теорема серти.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ∠1, ∠2 – ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс, ∠1 = ∠2.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Parall tedm2.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 кыдзи вертикаль пельӧсъяс. Сідзкӧ, ∠3 = ∠4. Тайӧ пельӧсъясыс – ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс. Воддза теорема серти, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти ӧтарбокса пытшкӧс либӧ ортсы пельӧсъяслӧн суммаыс кӧ 180°, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ∠1, ∠2 – ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс, ∠1 + ∠2 = 180°.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Parall tedm3.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ∠2 да ∠3 орччаӧсь, та вӧсна ∠2 + ∠3 = 180°. Сідзкӧ, ∠1 = ∠3. ∠1 да ∠3 ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс; водзджык подулалӧм теорема серти та дырйи веськыд визьясыс лоӧны параллель ногаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | Ӧтарбокса ортсы пельӧсъяслӧн суммаыс кӧ 180° ыджда, теоремасӧ подулалам сэтшӧм жӧ ногӧн.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти весьтаса пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ∠1, ∠2 – весьтаса пельӧсъяс, ∠1 = ∠2.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Parall tedm4 1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ∠1 да ∠3 — вертикаль пельӧсъяс, та вӧсна ∠1 = ∠3. Сідзкӧ ∠2 = ∠3. Но ∠2 да ∠3 — ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс. А водзджык подулалӧм теорема серти та дырйи веськыд визьясыс лоӧны параллель ногаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | ===Параллель йылысь аксиома===
| |
| − |
| |
| − | '''Аксиома.''' Веськыд визьысь ортсыын куйлысь чут пыр позьӧ гижтыны дзик ӧти параллель.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Par aks.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Кывкӧртӧд.''' Кык торъялана веськыд визь кӧ лоӧны параллельясӧн коймӧд веськыд визьлы, найӧ лоӧны ӧта-мӧдыслы параллельясӧн.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Par transit.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''a'' да ''b'' веськыд визьяс лоӧны ''c'' веськыд визьяслы параллельясӧн. Найӧ кӧ вомӧнасьӧны кутшӧмкӧ чутын, тайӧ чут пырыс мунӧ ''c''-лы кык торъялана параллель. Тайӧ оз лӧсяв аксиомакӧд.
| |
| − |
| |
| − | ===Параллель веськыдъяслӧн торъяланлунъяс===
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Мед кык параллель веськыд визьсӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь. Сэки ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''AD'' да ''BC'' параллельяс, но ∠''DAB'' да ∠''CBA'' абу ӧтыдждаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Omp par.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | Гижтам ''A'' чут пыр ''AE'' веськыдӧс сідзи, медым ∠''EAB'' = ∠''CBA''. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс лоӧны параллельясӧн. Сідзкӧ, ''EA'' да ''BC'' ӧта-мӧдыслы параллельяс. Та вӧсна ''A'' чут пыр мунӧ ''BC''-лы торъялана кык параллель: ''AD'' да ''AE''. Тайӧ оз лӧсяв аксиомакӧд.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Мед кык параллель веськыд визьсӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь. Сэки ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Omo par.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''a'' да ''b'' — параллельяс, ∠1 да ∠2 — ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс. Ми аддзам:
| |
| − |
| |
| − | * ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 кыдзи вертикаль пельӧсъяс;
| |
| − | * ∠3 = ∠4 кыдзи ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс (воддза теорема серти).
| |
| − |
| |
| − | Сідзкӧ ∠1 = ∠2.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Мед кык параллель веськыд визьсӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь. Сэки ӧтарбокса пытшкӧс (ортсы) пельӧсъяслӧн суммаыс лоӧ 180°.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Ort otar.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''a'' да ''b'' — параллельяс, ∠1 да ∠2 — ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс. Ми аддзам:
| |
| − | * ∠1 да ∠3 орчча пельӧсъяс, та вӧсна ∠1 + ∠3 = 180°;
| |
| − | * ∠3 = ∠2 кыдзи ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс.
| |
| − |
| |
| − | Сідзкӧ ∠1 + ∠2 = 180°.
| |
| − |
| |
| − | Ӧтарбокса ортсы пельӧсъяс йылысь теоремасӧ подулалам сэтшӧм жӧ ногӧн.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Мед кык параллель веськыд визьсӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь. Сэки весьтаса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Par vest1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''a'' да ''b'' — параллельяс, ∠1 да ∠2 — весьтаса пельӧсъяс. Ми аддзам:
| |
| − | * ∠2 = ∠3 кыдзи вертикаль пельӧсъяс;
| |
| − | *∠1 = ∠3 кыдзи ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс.
| |
| − | Сідзкӧ ∠1 = ∠2.
| |
| − |
| |
| − | ===Куимпельӧсаын пельӧсъяслӧн суммаыс===
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Куимпельӧсаын пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Kuimp180.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABC'' – куимпельӧса. Гижтам ''B'' чут пыр ''AC''-лы параллель ногӧн ''DE'' веськыд визьсӧ. Сідзкӧ, ∠''DBA'' = ∠''BAC'', ∠''EBC'' = ∠''BCA'' кыдз ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс. Миян артмӧ: ∠''BAC'' + ∠''ABC'' + ∠''BCA'' = ∠''DBA'' + ∠''ABC'' + ∠''EBC'' = 180°.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Куимпельӧсалӧн ортсы пельӧс ӧтыджда сыкӧд неорчча пытшкӧс пельӧсъяслӧн суммакӧд.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Ortsy pel.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ∠''ABD'' – ортсы пельӧс. Сідзкӧ, ∠''ABD'' + ∠''ABC'' = 180°. Мӧдарсянь, ∠''BAC'' + ∠''ABC'' + ∠''BCA'' = 180°. Та вӧсна ∠''ABD'' = 180° – ∠''ABC'' = ∠''BAC'' + ∠''BCA''.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Веськыдпельӧса куимсэрӧгын ёсь пельӧсъяс суммаыс 90° ыджда.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:Veskyd kuimp 90 1.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABC'' куимпельӧсаыс ∠''B'' = 90°. Кыдзи ми тӧдам нин, ∠''A'' + ∠''B'' + ∠''C'' =180°. Сідзкӧ ∠''A'' + ∠''C'' = 90°.
| |
| − |
| |
| − | '''Видлӧгъяс.''' 1) Веськыдпельӧса ӧткодь берда куимпельӧсаын ёсь пельӧс 45° ыджда.
| |
| − |
| |
| − | 2) Ӧткодь доръяса куимпельӧсаын ёсь пельӧс 60° ыджда.
| |
| − |
| |
| − | [[Файл:45 60 peljesjas.jpg|thumb|center|330px|]]
| |
| − |
| |
| − | ==Нёльпельӧсаяс==
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм.''' Сетӧма нёль чут, на пиысь некутшӧм куим оз куйлыны ӧти веськыд визь вылын. Йитам найӧс сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн вундӧгъясӧн. Мед вундӧгъяс пиысь некутшӧм кык оз вомӧнасьны пытшкӧсса чутын. Артмӧм мыгӧрыс шусьӧ нёльпельӧсаӧн.
| |
| − |
| |
| − | Мед нёльпельӧса тэчӧма ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' чутъясысь да найӧс йитысь ''AB'', ''BC'', ''CD'', ''DA'' вундӧгъясысь. Сэки гижӧны: ''ABCD'' нёльпельӧса.
| |
| − | Чутъясыс шусьӧны нёльпельӧсалӧн йывъясӧн; найӧс йитысь вундӧгъяс шусьӧны нёльпельӧсалӧн доръясӧн.
| |
| − |
| |
| − | Нёльпельӧсалӧн кык йыв шусьӧ орччаӧн, найӧ кӧ лоӧны ӧти дор помъясӧн. Кык дор шусьӧ орччаӧн, найӧ кӧ петӧны ӧти йылысь. Кык йыв шусьӧ вочаӧн, найӧ кӧ абу орччаяс. Кык дор шусьӧ вочаӧн, найӧ кӧ абу орччаяс. Кык воча йыв йитысь вундӧг шусьӧ диагональӧн.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Нёльпельӧсалӧн пельӧсъяс содтасыс 360° ыджда.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Нуӧдам нёльпельӧсалысь диагональсӧ, коді сійӧс юкӧ кык куимпельӧса вылӧ (серпас вылын тайӧ AC). Миян артмӧ: ∠''A'' + ∠''B'' + ∠''C'' + ∠''D'' = ∠''BAC'' + ∠''ABC'' + ∠''BCA'' + ∠''CAD'' + ∠''ADC'' + ∠''ADC'' = 180° + 180° = 360°.
| |
| − |
| |
| − | ===Параллелограмм===
| |
| − |
| |
| − | Нёльпельӧса шусьӧ параллелограммӧн, сылӧн кӧ став воча доръясыс ӧтнырвизяӧсь ӧта-мӧдыслы.
| |
| − |
| |
| − | ====Параллелограмм йылысь тӧдмӧсъяс====
| |
| − |
| |
| − | '''1-ӧд тӧдмӧс.'''
| |
| − | Мед нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сэки тайӧ параллелограмм.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм нёльпельӧса, ∠''A'' = ∠''C'', ∠''B'' = ∠''D''. Сідзкӧ, 2∠''A'' + 2∠''B'' = 360°, ∠''A'' + ∠''B'' = 180°. Та вӧсна ''AD'' да ''BC'' веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ''AB'' да ''CD'' веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''2-ӧд тӧдмӧс.'''
| |
| − | Мед нёльпельӧсалӧн диагональясыс вомӧнасьӧны шӧр чутаныс. Сэки тайӧ параллелограмм.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм нёльпельӧса, ''O'' чут – ''AC'' да ''BD'' диагональяслӧн вомӧнасянін, ''AO'' = ''OC'', ''BO'' = ''OD''. ''AOB'' да ''COD'' пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь кыдзи сувтсаяс. Сідзкӧ, ∆''AOB'' = ∆''COD'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''OAB'' = ∠''OCD''. Тайӧ пытшкӧсса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс да, ''AB'' ∥ ''CD''. Сідзи артмӧ: ''AD'' ∥ ''BC''.
| |
| − |
| |
| − | '''3-ӧд тӧдмӧс.'''
| |
| − | Мед нёльпельӧсалӧн кык воча дор ӧтыдждаӧсь да ӧтнырвизяӧсь. Сэки тайӧ параллелограмм.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм нёльпельӧса, ''O'' чут – ''AC'' да ''BD'' диагональяслӧн вомӧнасянін, ''AB'' = ''CD'', ''AB'' ∥ ''CD''. Сідзкӧ, ∠''BAO'' = ∠''DCO'', ∠''ABO'' = ∠''CDO'' кыдзи пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Та вӧсна ∆''AOB'' = ∆''COD'' мӧд тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' = ''OC'', ''BO'' = ''OD'' да ''ABCD'' – параллелограмм мӧд тӧдмӧс серти.
| |
| − |
| |
| − | '''4-ӧд тӧдмӧс.'''
| |
| − | Мед нёльпельӧсалӧн кык воча доръяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтыдждаӧсь. Сэки тайӧ параллелограмм.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм нёльпельӧса. Сэки ∆''ABC'' = ∆''CDA'' коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ∠''BCA'' = ∠''CAD''. Тайӧ пытшкӧсса падвежӧнкуйлысь пельӧсъяс да, ''BC'' ∥ ''AD''. Та вӧсна ''ABCD'' – параллелограмм 3-ӧд тӧдмӧс серти.
| |
| − |
| |
| − | ====Параллелограмм торъяланлунъяс====
| |
| − |
| |
| − | '''1-ӧд торъяланлун.'''
| |
| − | Параллелограммлӧн воча пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм параллелограмм. Сэки ∠''A'' + ∠''B'' = 180°, ∠''B'' + ∠''C'' = 180°. Сідзкӧ, ∠''A'' = 180° – ∠''B'' = ∠''C''. Сідзи жӧ артмӧдам: ∠''B'' = ∠''D''.
| |
| − |
| |
| − | '''2-ӧд торъяланлун.'''
| |
| − | Параллелограммлӧн воча доръяс ӧтыдждаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм параллелограмм. Сэки ∠''BAC'' = ∠''ACD'', ∠''BCA'' = ∠''CAD'' кыдз пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''CDA'' куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна ''AB'' = ''CD'', ''AD'' = ''BC''.
| |
| − |
| |
| − | '''3-ӧд торъяланлун.'''
| |
| − | Параллелограммлӧн диагональяс вомӧнасьӧны асланыс шӧр чутас.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм параллелограмм, ''O'' – диагональясыслӧн вомӧнасян чут. Сэки ∠''OAD'' = ∠''OCB'', ∠''ODA'' = ∠''OBC'' кыдз пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Ми тӧдам нин: ''AD'' = ''BC''. Сідзкӧ, ''AOD'' да ''COB'' куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна ''AO'' = ''OC'', ''BO'' = ''OD''.
| |
| − |
| |
| − | ===Веськыдсэрӧг===
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм.''' Параллелограмм, кодлӧн ӧти пельӧсыс веськыд, шусьӧ веськыдсэрӧгӧн.
| |
| − |
| |
| − | '''Пасйӧд.''' Веськыдсэрӧглӧн став пельӧсыс веськыд.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Веськыдсэрӧглӧн диагональясыс ӧтыдждаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм веськыдсэрӧг. Сэки ''BAD'' да ''CDA'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AC'' = ''BD''.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Параллелограммлӧн диагональясыс кӧ ӧтыдждаӧсь, тайӧ веськыдсэрӧг.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм параллелограмм, ''AC'' = ''BD''. Сэки ''AB'' = ''CD'', ∠''BAD'' + ∠''CDA'' = 180°. Сідзкӧ, ''BAD'' да ''CDA'' куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''BAD'' = ∠''CDA'' = 90°.
| |
| − |
| |
| − | ===Ромб===
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм.''' Параллелограмм шусьӧ ромбӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Ромблӧн диагональ лоӧ сылӧн пельӧсыслӧн биссектриса.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм ромб. Сэки ''ABC'' – ӧткодь берда куимпельӧса. Та вӧсна ∠''BAC'' = ∠''BCA''. Таысь кындзи, ∠''BAC'' = ∠''DCA'', ∠''BCA'' = ∠''DAC'' кыдзи пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Сідзкӧ, ∠''BCA'' = ∠''DCA'', ∠''BAC'' = ∠''DAC''.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Ромблӧн диагональяс ӧшанвизьлунаӧсь ӧта-мӧдыслы.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм ромб. Ми тӧдам нин: ''BD'' диагональ лоӧ ∠''ABC'' пельӧслӧн биссектриса. ''AB'' = ''BC'' да, ''BD'' ӧшанвизьлуна ''AC''-лы (ӧткодь берда куимпельӧсалӧн торъяланлун серти).
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Параллелограмм, кодлӧн диагональыс юклӧ пельӧссӧ шӧрипӧв, лоӧ ромб.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм параллелограмм, ∠''ABD'' = ∠''CBD''. Сідзкӧ, ∠''CBD'' = ∠''ADB'' кыдзи пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Та вӧсна ∠''ABD'' = ∠''ADB''. Миян артмӧ: ∆''DBA'' ӧткодь берда, ''AB'' = ''AD''. Сідзкӧ, ''ABCD'' – ромб.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Параллелограмм, кодлӧн диагональясыс ӧшанвизьлунаӧсь ӧта-мӧдыслы, лоӧ ромб.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм параллелограмм, сылӧн диагональясыс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AOB'' да ''BOC'' куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Та вӧсна ''OA'' = ''OB''.
| |
| − |
| |
| − | ===Квадрат===
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм.''' Нёльпельӧса шусьӧ квадратӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс 90° ыджда.
| |
| − |
| |
| − | '''Кывкӧртӧд.''' Квадратлӧн диагональясыс
| |
| − | 1) ӧтыдждаӧсь,
| |
| − | 2) ӧта-мӧдыслы ӧшанвизьлунаӧсь,
| |
| − | 3) шӧрипӧв юклӧны квадратыслысь пельӧсъяссӧ.
| |
| − |
| |
| − | '''Кывкӧртӧд.''' Квадратлӧн диагональ юклӧ сійӧс ӧткодь берда веськыдпельӧса кык куимсэрӧг вылӧ.
| |
| − |
| |
| − | '''Кывкӧртӧд.''' Квадратлӧн кык диагональ юклӧны сійӧс ӧткодь берда веськыдпельӧса нёль куимсэрӧг вылӧ.
| |
| − |
| |
| − | ===Трапеция===
| |
| − |
| |
| − | '''Урчитӧм.''' Нёльпельӧса шусьӧ трапецияӧн, сылӧн кӧ воча кык дор ӧтнырвизяӧсь, а мӧд воча кык дор абу ӧтнырвизяӧсь.
| |
| − |
| |
| − | Ӧтнырвизя доръясыс шусьӧны трапеция подувъясӧн. Мӧд кык дор шусьӧны трапециялӧн боквыв доръясӧн.
| |
| − |
| |
| − | Веськыдпельӧса трапециялӧн ӧти пельӧсыс веськыд.
| |
| − |
| |
| − | Ӧткодь берда трапециялӧн боквыв доръясыс ӧтыдждаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Ӧткодь берда трапециялӧн подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм трапеция, ''BC'' да ''AD'' – сылӧн подувъяс, ''AB'' = ''CD''. Мед ''BE'' ∥ ''CD'', ''E'' чут куйлӧ ''AD'' вундӧг вылын. Сідзкӧ, ''BCDE'' – параллелограмм да ''BE'' = ''CD'', ∠''CDA'' = ∠''BEA''. Та вӧсна ''AB'' = ''BE'' да ∠''BAE'' = ∠''BEA''. Миян артмис: ∠''CDA'' = ∠''BAD''.
| |
| − |
| |
| − | '''Теорема.''' Трапециялӧн кӧ подувбердса ӧтыдждаӧсь, сійӧ ӧткодь берда.
| |
| − |
| |
| − | '''Эскӧдӧм.''' Мед ''ABCD'' – индӧм трапеция, ''BC'' да ''AD'' – сылӧн подувъяс, ∠''CDA'' = ∠''BAD''. Мед ''BE'' ∥ ''CD'', ''E'' чут куйлӧ ''AD'' вундӧг вылын. Сідзкӧ, ''BCDE'' – параллелограмм да ''BE'' = ''CD'', ∠''CDA'' = ∠''BEA''. Та вӧсна ∠''BAE'' = ∠''BEA''. Сідзкӧ, ''AB'' = ''BE'' = ''CD''.
| |
| − |
| |
| − | ==Содтӧд юӧр==
| |
| − |
| |
| − | [[Category:Математика школаын]]
| |
