Планиметрия курс

Материал из Коми тӧданін
Версия от 14:12, 2 йирым 2022; Наста (сёрнитанін | чӧжӧс) (Параллелограмм)

Содержание

Веськыд визь йылысь

тшӧтшкӧс – плоскость
веськыд визь – прямая
чут – точка
мыгӧр – фигура
кывкӧртӧд – следствие
эскӧдӧм – доказательство
кыв вожалӧм – противоречие

Планиметрияӧн шусьӧ геометриялӧн юкӧн, кӧні велӧдӧны тшӧтшкӧсвывса мыгӧръяс.

Тшӧтшкӧслысь, веськыд визьлысь, чутлысь медшӧр торъяланлунъяссӧ индам аксиомаяс пыр.

Аксиома. Эм кӧ тшӧтшкӧсын веськыд визь, сэк тшӧтшкӧсса чутъяс пӧвстысь кодсюрӧяс лоасны тайӧ визьын, а мукӧдыс сыысь ортсын.

Viz vylyn sajyn.jpg

Аксиома. Кык торъялана чут пыр позьӧ нуӧдны веськыд визь; татшӧм визьыс овлӧ сӧмын ӧти.

Kyk cut pyr.jpg

Кывкӧртӧд. Вомӧнасьӧны кӧ кык торъялана веськыд визь, вомӧнасян чутныс лоӧ сӧмын ӧти.

Эскӧдӧм. Мед, шуам, веськыд визьясыс вомӧнасьӧны торъялана кык чутын. Сідзкӧ, тайӧ чутъяс пырыс позьӧ гижтыны кык торъялана веськыд визь. А аксиомаыд серти, татшӧм визьыс на пыр вермас мунны сӧмын ӧти. Артмӧ кыв вожалӧм.

Eti vomenasjan cut1.jpg

Вундӧг

вундӧг – отрезок

Аксиома. Ӧти веськыд визьса куим торъялан чут пиысь ӧтиыс лоӧ мӧд кык костас; татшӧм чутыс овлӧ сӧмын ӧти.

Cutjas kostyn.jpg

Кык чут на костса став чутыскӧд ӧтув артмӧдӧны вундӧг. Индӧм кык чутыс шусьӧны вундӧг помъясӧн.

Ab vundeg.jpg

Аксиома. Быд вундӧглӧн эм кузьта – плюса лыд.

Вундӧг помъясын кӧ А да В чутъяс, шуам татшӧм вундӧгсӧ АВ; тадзи жӧ и сылысь кузьтасӧ шуам.

Аксиома. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; B-ыс куйлӧ A да C костас. Сэки AC = AB + BC.

Abc sum.jpg

Кывкӧртӧд. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; B-ыс куйлӧ A да C костас. Сэки AC > AB, AC > BC.

Кывкӧртӧд. Мед ӧти веськыд визьын эм куим торъя чут: A, B да C; AC = AB + BC. Сэки B-ыс куйлӧ A да C костас.

Эскӧдӧм. Миян артмӧ: AC > AB, AC > BC. A чутыс кӧ куйлӧ B да C костас, BC > AC; C чутыс кӧ куйлӧ A да B костас, AB > AC. Сідзкӧ, B-ыс куйлӧ A да C костас.

Тшӧтшкӧсджын

тшӧтшкӧсджын – полуплоскость

Аксиома. Быд веськыд визь юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ. Кык чут A да B куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, оз кӧ AB вундӧгыс вомӧнав индӧм веськыд визьсӧ.

Сідзкӧ, AB-ыс кӧ вомӧналӧ тайӧ веськыд визьсӧ, A да B чутъясыс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын.

Thothkesdzyn.jpg

Аксиома. Сетӧма кӧ l веськыд визь да сы вылын куйлысь O чут, быть сюрасны и сэтшӧм A да B чутъяс, кодъяслы лӧсялӧ татшӧмтор: A, O, B абу ӧтилаынӧсь, A да B куйлӧны l вылын да O чутыс куйлӧ A да B чутъяс костын.

AOB aks.jpg

Визьньӧв

визьньӧв – луч
веськыд визьджын – полупрямая

Мед O чут куйлӧ l веськыд визь вылын. Босьтам l сайын куйлысь M чутсӧ. Нуӧдам O да M чутъяс пыр m веськыд визьсӧ. Сэки m юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджын вылӧ.

Lmo.jpg

Мед A да B чутъяс куйлӧны l веськыд визь вылын. Аксиома серти, найӧ куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын сэк да сӧмын сэк, кор O чут куйлӧ AB вундӧгын. Сідзкӧ, O чут юклӧ l веськыдсӧ кык юкӧн вылӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны визьньӧвъясӧн либӧ веськыд визьджынъясӧн.

Lmoab.jpg

OA да OB – кык визьньӧв:

Viznjov.jpg

Аксиома. Быд визьньӧвйӧ сы йывсяньыс сетӧм кузьтаӧн позьӧ гижтыны дзик ӧти вундӧг.

Viznev vundeg.jpg

Пельӧс йылысь

пельӧс – угол
пельӧс дор – сторона угла
пельӧс йыв – вершина угла
павтыртӧм пельӧс – развёрнутый угол
ёсь пельӧс – острый угол
веськыд пельӧс – прямой угол
ныж пельӧс – тупой угол
орчча пельӧсъяс – смежные углы
вертикаль пельӧсъяс – вертикальные углы

Ӧти чутысь петысь кык визьньӧв артмӧдӧны пельӧс. Тайӧ визьньӧвъясыс шусьӧны пельӧс доръясӧн, а налӧн ӧтувъя чутыс – пельӧс йылӧн.

Peljes.jpg

Пельӧс доръяс костса визьньӧв

Урчитӧм. Визьньӧв мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сылӧн помыс кӧ лӧсялӧ пельӧс йывкӧд да сійӧ кӧ вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.

Vn pel kost.jpg

Висьталӧм. Визьньӧв кӧ мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сійӧ вомӧнасьӧ быд вундӧгкӧд, кодлӧн помъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас.

Эскӧдӧм. Мед O – кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, OM – визьньӧв, коді мунӧ пельӧс доръяс костӧд. Урчитӧм серти, OM вомӧнасьӧ кутшӧмкӧ AB вундӧгкӧд, кӧні A да B чутъясыс куйлӧны пельӧс доръяс вылас. Мед CD – мӧд вундӧг, C куйлӧ OA визьньӧв вылын, D куйлӧ OB визьньӧв вылын.

Geom pelkost1.jpg

OM веськыд визь юкӧ тшӧтшкӧссӧ кык тшӧтшкӧсджынйӧ; аксиома серти, A да B чутъяс оз ӧти тшӧтшкӧсджынас куйлыны. A да C чутъяс куйлӧны OA визьньӧв вылын, та вӧсна найӧ куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, OM веськыд визь серти кӧ. Сідзи жӧ артмӧ: B да D чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын, OM веськыд визь серти жӧ. Сідзкӧ, CD вундӧг вомӧнасьӧ OM веськыд визьыскӧд. Пасъям вомӧнасян чутсӧ N шыпасӧн.

Петкӧдлам, мый ОМ веськыд визьвывса N чут куйлӧ ОМ визьньӧв вылын. N кӧ тайӧ визьньӧв вылас эз куйлы, O чут куйліс эськӧ M да N костын. Сэки, босьтам кӧ тшӧтшкӧссӧ кык джынйӧ юкысь пыдди OB веськыд визь, M да N эз эськӧ куйлыны ӧти тшӧтшкӧсджынас. Но CA, CN, AM вундӧгъяс оз вомӧнасьны OB веськыд визьыскӧд. Сідзкӧ, OB веськыд визь серти кӧ, N, C, A, М чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын. Артмис кыв вожалӧм.

Пельӧс градуса муртӧс

Урчитӧм. Пельӧслӧн доръясыс кӧ артмӧдӧны веськыд визь, сійӧ шусьӧ павтыртӧм пельӧсӧн.

Аксиомаяс. 
1. Быд пельӧс позьӧ муртавны плюса градусӧн. 
2. Визьньӧв кӧ мунӧ пельӧс доръяс костӧд, сэки тайӧ пельӧсас сымда жӧ градус, мыйта визьньӧвнас артмӧдӧм кыкнан пельӧсас ӧтув босьтӧмӧн.
Pel sum.jpg
3. Павтыртӧм пельӧсыс лоӧ 180° ыджда.
Pavt murt.jpg
4. Быд визьньӧвсянь позьӧ бӧрйӧм тшӧтшкӧсджынйӧ пуктыны сетӧм муртӧсӧн дзик ӧти пельӧс (медтыкӧ 180°-ысь ыджыдджык эз вӧв-а).
Peljes viznevsjan.jpg

Орчча пельӧсъяс

Урчитӧм. Кык пельӧс шусьӧ орччаӧн, налӧн кӧ эм ӧтувъя дор, а мӧд доръяс кӧ артмӧдӧны веськыд визь.
Orcca peljesjas.jpg
Теорема. Ӧтувтам кӧ орчча пельӧсъяслысь ыджданысӧ, лоӧ 180°.
Эскӧдӧм. Орчча пельӧсъяс артмӧдӧны павтыртӧм пельӧссӧ, кодлӧн ыдждаыс 180°. Сідзкӧ, 2-ӧд аксиома серти, налӧн суммаыс лоас 180°.
Кывкӧртӧд.  Пельӧсыс кӧ 90° ыджда, сыкӧд орчча пельӧсыс сідзжӧ 90° ыджда.

Бур (веськыд), ёсь да ныж пельӧсъяс

Урчитӧм. Пельӧс шусьӧ ёсьӧн, сылӧн градуса муртӧсыс кӧ 90°-ысь этшаджык; бур пельӧсӧн (рочӧн моз веськыд пельӧс), сійӧ кӧ 90° ыджда; ныж пельӧсӧн, сійӧ кӧ 90°-ысь ыджыдджык.
Peljes sikasjas.jpg

Вертикаль пельӧсъяс

Урчитӧм. Кык пельӧс шусьӧ вертикаль пельӧсъясӧн, ӧтиыслӧн доръясыс кӧ лоӧны мӧд пельӧсса доръяслӧн нюжӧдӧмӧн.
Vertikal peljes.jpg
Теорема. Вертикаль пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
Эскӧдӧм. Серпас серти, ∠AOB да ∠BOC орччаӧсь, ∠BOC да ∠COD орччаӧсь. Та вӧсна ∠AOB + ∠BOC = 180°, ∠BOC + ∠COD = 180°. Сідзкӧ, ∠AOB = 180° – ∠BOC = ∠COD.
Vertikal aob.jpg

Куимпельӧсаяс

куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник

Урчитӧм. Куимпельӧсаӧн либӧ куимсэрӧгӧн шусьӧ куим чутысь (кодъяс оз куйлыны ӧти веськыд визь вылын) да найӧс йитан вундӧгъясысь тэчӧм мыгӧр. Индӧм куим чутсӧ куимпельӧсаын шуам йывъяснас, а вундӧгъяссӧ — доръяснас.

Kuimpelesa dor jyv.jpg

ABC куимпельӧсаын AB да визьньӧвъяс костын куйлысь пельӧс шусьӧ A йывбердса пельӧсӧн.

Ӧткодь куимпельӧсаяс

ӧткодь куимпельӧсаяс – равные треугольники

ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь, налӧн кӧ ӧта-мӧдыслы лӧсялана пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, а ӧта-мӧдыслы лӧсялана доръясыс ӧткузяӧсь: ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’, AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’.

Otked kuimp def.jpg

Гижтам визьньӧв. Нюжӧдам кӧ сійӧс, лоӧ веськыд визь, коді юклӧ тшӧтшкӧссӧ кык джынйӧ. Бӧръям тайӧ тшӧтшкӧсджынъяс письыс ӧтиӧс. Сэсся гижтам ABC куимпельӧса да бӧръям сылысь дорсӧ (шуам, AB вундӧгсӧ), а тайӧ вундӧгыслысь пасъям ӧти помсӧ (шуам, A).

Аксиома. Бӧрйӧм тшӧтшкӧсджынйӧ позьӧ пуктыны ABC-кӧд ӧткодь DEF куимпельӧса сэтшӧм ногӧн, медым DE вундӧг куйліс индӧм визьньӧвйын да D помыс ӧтлаасис визьньӧвйыслӧн воддза чуткӧд.

Aks otk tsdz1.jpg

Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, AB = A’B’, AC = A’C’, ∠A = ∠A’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

1todmes kuimp.jpg

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм AMK куимпельӧса, кӧні: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’, 2) AM куйлӧ AB визьньӧвйын, 3) AMK да ABC куйлӧны AB веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.

1todmes proof1.jpg

Кык куимпельӧсаыс (тані ∆AMK да ∆A’B’C’) кӧ ӧткодьӧсь, сэки и налӧн лӧсялана доръясыс да пельӧсъясыс тшӧтш ӧткодьӧсь: AM = A’B’, AK = A’C’, ∠B’A’C’ = ∠MAK. Сідзкӧ:

1) AB = A’B’ = AM, сійӧ и M = B;

1todmes proof2.jpg

2) ∠BAC = ∠B’A’C’ = ∠BAK, та вӧсна AK да AC визьньӧвъяс тшӧтш лӧсялӧны;

1todmes proof3.jpg


3) AC = A’C’ = AK, сійӧн и K = C.

1todmes proof4.jpg

Кык чут пыр вермӧ мунны сӧмын ӧти веськыд визь. Сідзкӧ, AMK да ABC куимпельӧсаяс ӧта-мӧдкӧд лӧсялӧны. Та вӧсна ∆ABC = ∆A’B’C’.

Ӧткодь берда да ӧткодь доръяса куимпельӧсаяс

ӧткодь берда куимпельӧса – равнобедренный треугольник
ӧткодь доръяса куимпельӧса – равносторонний треугольник
боквыв доръяс – боковые стороны
подув – основание
  • Куимпельӧсаын кӧ кык дорыс ӧтыдждаӧсь, шуам сійӧс ӧткодь берда куимпельӧсаӧн.
  • Куимпельӧсаын кӧ куимнан дорыс ӧтыдждаӧсь, шуам сійӧс ӧткодь доръяса куимпельӧсаӧн.

Пасйӧд. Ӧткодь берда куимпельӧсаын коймӧд дорыс вермӧ торъявны кык ӧткодь дорсьыс, а вермӧ лоны и на кузьта жӧ. Сэки татшӧм ӧткодь берда куимпельӧсаыс лоӧ тшӧтш ӧткодь доръясаӧн. Сідзкӧ, ӧткодь доръяса куимпельӧса лоӧ тшӧтш ӧткодь бердаӧн, сылӧн быд кык дорыс ӧтыдждаӧсь да.

Otkod berda.jpg
  • Ӧткодь берда куимпельӧсаын ӧткодь доръяссӧ шуам боквыв доръясӧн, а коймӧд дорсӧ — подулӧн.
  • Подувлы паныд куйлысь пельӧссӧ шуам йывса пельӧсӧн, а боквыв дорлы паныд куйлысь пельӧссӧ — подувбердса пельӧсӧн.
Poduv berdsa peles.jpg

Теорема. Ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Dor peles otked.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABC – ӧткодь берда куимпельӧса, AB = BC. Лыддям куимпельӧсаыслысь йывъяссӧ ӧтарлань да мӧдарлань: ABC да CBA. Пуктам ∆ABC да ∆CBA орччӧн. Казялам: AB = BC, CB = BA, а на костса B пельӧс ӧтувъя. Сідзкӧ, ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног серти, ∆ABC = ∆CBA. А та вӧсна и ∠BAC = ∠BCA.

☼ ☼ ☼

Ӧткодь доръяса куимпельӧсалысь куимнан дорсӧ позьӧ шуны кӧть подулӧн, кӧть боквыв дорӧн, а куимнан пельӧссӧ — кӧть подувбердса, кӧть йывса пельӧсӧн.

Теорема. Ӧткодь доръяса куимпельӧсаын куимнан пельӧсыс ӧтыджда.

Otked dor dor peles.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABC – ӧткодь доръяса куимпельӧса. Лыддям кӧ AC дорсӧ подулӧн, сэки ∠BAC = ∠BCA, найӧ подувбердса пельӧсъяс да; BC дорсӧ сідзжӧ позьӧ лыддьыны подулӧн, сэки подувбердса пельӧсъясӧн лоӧны ∠ACB да ∠ABC, сідзкӧ найӧ тшӧтш ӧткодьӧсь. Та дырйи ∠BCA да ∠ACB — ӧти сійӧ жӧ пельӧс (видзӧд серпассӧ). Кык ӧткодьлунсьыс (∠BAC = ∠BCA да ∠BCA = ∠ABC) артмӧ: ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC.

Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ мӧд тӧдмалан ног

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, AB = A’B’, ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Kuimp 2 todmes.jpg

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм AMK куимпельӧса, кӧні: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’, 2) AM куйлӧ AB визьньӧвйын, 3) AMK да ABC куйлӧны AB веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.

Kuimp 2 todm 1.jpg

Кык куимпельӧсаыс (тані ∆AMK да ∆A’B’C’) кӧ ӧткодьӧсь, сэки и налӧн лӧсялана доръясыс да пельӧсъясыс тшӧтш ӧткодьӧсь: AM = A’B’, ∠B’A’C’ = ∠MAK, ∠A’B’C’ = ∠AMK. Сідзкӧ:

1) AB = A’B’ = AM, сійӧн и M = B;

Kuimp 2 todm 2.jpg

2) ∠BAC = ∠B’A’C’ = ∠BAK, та вӧсна AK да AC визьньӧвъяс тшӧтш лӧсялӧны;

Kuimp 2 todm 3.jpg

3) ∠ABC = ∠A’B’C’ = ∠ABK, та вӧсна BK да BC визьньӧвъяс лӧсялӧны жӧ.

Kuimp 2 todm 4.jpg

Кык торъялана веськыд визь вермӧ вомӧнасьны сӧмын ӧти чутын. Сідзкӧ, миян K да C ӧти и сійӧ жӧ чут. Вылынджык аддзим: M да B тшӧтш ӧти чут. Со и петӧ, мый AMK да ABC куимпельӧсаяс лӧсялӧны. А казьтыштам кӧ, мый ∆AMK да ∆A’B’C’ ӧткодьӧсь, сэки и воам кывкӧртӧдӧ: ∆ABC = ∆A’B’C’.

☼ ☼ ☼

Теорема. Куимпельӧсаыс лоӧ ӧткодь бердаӧн, сыын кӧ эм кык ӧтыджда пельӧс.

Otk pel otk dor.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, ∠A = ∠C. Лыддям куимпельӧсаыслысь йывъяссӧ ӧтарлань да мӧдарлань: ABC да CBA. Пуктам ∆ABC да ∆CBA орччӧн. Казялам: ∠A = ∠C, ∠C = ∠A, а на костса AC дорыс ӧтувъя. Сідзкӧ, ӧткодьлунсӧ мӧд тӧдмалан ног серти, ∆ABC = ∆CBA. А та вӧсна и AB = BC.

☼ ☼ ☼

Кывкӧртӧд 1. Куимпельӧсаын кӧ эм кык ӧтыджда пельӧс, татшӧм куимпельӧсаыс быть лоӧ ӧткодь бердаӧн; и мӧдарӧ, куимпельӧсаыс кӧ ӧткодь берда, сыын быть эм кык ӧтыджда пельӧс. (Дженьдӧдӧм могысь шуӧны тадзи: куимпельӧса ӧткодь берда сэк да сӧмын сэк, кор сыын эм кык ӧтыджда пельӧс.)

Кывкӧртӧд 2. Куимпельӧсаын кӧ куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь, татшӧм куимпельӧсаыс быть лоӧ ӧткодь доръясаӧн; и мӧдарӧ, куимпельӧсаыс кӧ ӧткодь доръяса, сылӧн куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь. (Дженьдӧдӧм могысь шуӧны тадзи: куимпельӧса ӧткодь доръяса сэк да сӧмын сэк, кор сыын куимнан пельӧсыс ӧтыдждаӧсь.)

3peljes 3dor.jpg

Биссектриса, медиана да судта

  • Биссектрисаӧн шуӧны визьньӧв, коді петӧ пельӧс йылысь да юклӧ тайӧ пельӧссӧ шӧрипӧв.
Bissektr def.jpg
  • Куимпельӧсаын биссектрисаӧн шуӧны вундӧг, коді юклӧ сылысь ӧти пельӧссӧ шӧрипӧв да йитӧ тайӧ пельӧс йывсӧ паныда дор вылын куйлысь чуткӧд.
Kuimp bis def.jpg
  • Куимпельӧсаын медианаӧн шуӧны вундӧг, коді йитӧ сылысь ӧти йывсӧ паныда дорвывса шӧр чуткӧд.
Kuimp mediana def.jpg

Теорема. Кык веськыд визь кӧ вомӧнасьӧны да та дырйи артмӧм нёль пельӧсысь ӧтиыс кӧ лоӧ бур, сэки мукӧд куим пельӧсыс тшӧтш бурӧсь.

Эскӧдӧм. Тайӧ куим пельӧс пӧвстысь ӧтиыс куйлӧ 90°‐а пельӧскӧд вертикаль ногӧн, та вӧсна сійӧ лоӧ тшӧтш бур (вертикаль пельӧсъяс ӧткодьӧсь да). Мӧд кыкыс 90°‐а пельӧскӧд орччаӧсь, та вӧсна и найӧ бурӧсь (кыдзи ми тӧдам нин).

Perpend 4.jpg
  • Веськыд визь шусьӧ перпендикулярӧн мӧд веськыд визьлы, найӧ кӧ артмӧдӧны бур пельӧс.
  • Куимпельӧсаын судтаӧн шуӧны вундӧг, коді йитӧ сылысь ӧти йывсӧ паныда дор визь вылын куйлысь чуткӧд да лоӧ тайӧ дорыслы перпендикулярӧн.
Sudta kuimp.jpg

Теорема. Ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧсса биссектрисаыс лоӧ ӧттшӧтш медианаӧн да судтанас.

Otk berda bis med sudta.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, кӧні AB = BC, а BD – биссектрисаыс, коді юклӧ ABC-сӧ кык пельӧ: ∆ABD да ∆CBD. Казялам: AB = CB, ∠ABD = ∠CBD, а BD – налӧн ӧтувъя дор. Ӧткодьлунсӧ медводдза тӧдмалан ног серти, ∆ABD = ∆CBD. Таысь петӧ кык тор:

  1. AD = DC, а сідзкӧ, BD — медиана;
  2. BDA = ∠BDC; серпасысь позьӧ аддзыны, мый тайӧ ӧткодь пельӧсъясыс орччаӧсь. Кыдзи ми тӧдам, орчча пельӧсъяслӧн суммаыс 180°, та вӧсна ∠BDA = 90° да ∠BDC = 90°, а сідзкӧ, BD — судта.

Куимпельӧсаяслысь ӧткодьлунсӧ коймӧд тӧдмалан ног

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ – куимпельӧсаяс, кӧні AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Kuimp otk 3 todm.jpg

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм AMK куимпельӧса, кӧні: 1) ∆AMK = ∆A’B’C’; 2) AM куйлӧ AB визьньӧвйын; 3) K да C чутъяс куйлӧны торъя тшӧтшкӧсджынъясын AB веськыд визь серти.

(колӧ серпас)

AB = A’B’ = AM, та вӧсна M = B.

Kuimp otk 3 todmes1.jpg

AC = A’C’ = AK; сідзкӧ, AC да AK – боквыв доръяс ӧткодь берда CAK куимпельӧсаын. Та вӧсна ∠AKC = ∠ACK. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠BKC = ∠BCK.

Kuimp otk 3 todmes2.jpg

Сідзкӧ, ∠ACB = ∠ACK + ∠BCK = ∠AKC + ∠BKC = ∠AKB. Таысь кындзи, AC = AK, BC = BK. Сы вӧсна ABC да ABK куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмалан ног серти да ∆A’B’C’ = ∆ABK = ∆ABC.

Веськыд визьлань ортсы чут пыр гижтӧм перпендикуляр

Теорема. Веськыд визьысь ортсыын куйлысь чут пыр оз позь гижтыны сы дорӧ кык торъялана перпендикуляр.

Эскӧдӧм (паныдсянь). Мед A чут лоӧ l веськыд визьысь ортсыын, а AM да AN – тайӧ визь дорас кык торъялана перпендикуляр, кодъяс вомӧналӧны l-сӧ M да N чутъясын. Та дырйи M да N – кык торъялана чут.

Kyk perpend.jpg

Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм MBN куимпельӧса, кӧні: 1) ∆MBN = ∆MAN, 2) A да B чутъяс куйлӧны l веськыд визь серти торъя тшӧтшкӧсджынъясын.

Kyk perpend 1.jpg

Миян артмӧ: ∠AMN = ∠BMN = 90°; та вӧсна ∠AMB = 180° да M чут куйлӧ AB веськыд визь вылын. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: N чут куйлӧ AB веськыд визь вылын. AB да l веськыдъяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. Сідзкӧ, M = N, а тайӧ оз лӧсяв миян воддза шуӧмкӧд, код серти M да N – кык торъялана чут.

Теорема. Ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧсса судта лоӧ ӧттшӧтш биссектрисаӧн да медианаӧн.

Otk berda sudta bis med.jpg

Эскӧдӧм (паныдсянь). Мед судтаыс оз ло биссектрисаӧн. Гижтам йывса пельӧслысь биссектрисасӧ. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧслӧн биссектрисаыс ӧттшӧтш лоӧ сылы судтаӧн. Сідзкӧ, йывса пельӧсысь позьӧ гижтыны подувлы кык торъялана перпендикуляр, а тайӧ оз лӧсяв воддза теоремакӧд.

Теорема. Веськыд визь дорӧ сыысь ортсыын куйлысь чут пырыс позьӧ гижтыны перпендикуляр.

Perp exist0.jpg

Эскӧдӧм. Мед A чут куйлӧ l веськыд визьысь ортсыын, B да C чутъяс лоӧны l вылын. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм BA’C куимпельӧса, кӧні: 1) ∆BA’C = ∆BAC, 2) A да A’ чутъяс куйлӧны l веськыд визь серти торъя тшӧтшкӧсджынъясын. Сідзкӧ, ABA’ куимпельӧсаын AB = A’B, BC визьньӧв – ∠ABA’-лӧн биссектриса. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧткодь берда куимпельӧсаын йывса пельӧслӧн биссектрисаыс ӧттшӧтш лоӧ сылы судтаӧн. Сідзкӧ, AA’ лоӧ l-лы перпендикулярӧн.

Ортсыса пельӧс

Куимпельӧсалысь став видлалӧм сикас пельӧсъяссӧ позьӧ шуны тшӧтш пытшкӧс пельӧсъясӧн. Куимпельӧса бердын куимнан пытшкӧс пельӧскӧд орччӧн куйлӧны ортсы пельӧсъяс. Мӧд ногӧн шуны, куимпельӧсалӧн ортсы пельӧсӧн шусьӧ быд пытшкӧс пельӧскӧд орчча пельӧс.

Ortsysa peljes.jpg

Теорема. Ортсыса пельӧс ыджыдджык куимпельӧсаса кыкнан пельӧсысь, коді сыкӧд абу орччӧн.

Эскӧдӧм. Мед ABC — куимпельӧса, ∠BCD — сылӧн ортсы пельӧс, коді куйлӧ ∠BCA-кӧд орччӧн; та дырйи C чут куйлӧ A да D костын. Петкӧдлам: ∠ABC < ∠BCD.

Ortsysa pel ydzyddzyk0.jpg

Та могысь гижтам ∠BCD пельӧс доръяс костӧд сэтшӧм CE визьньӧв, медым ∠ABC = ∠BCE. Кытысь лоӧ E чутыс? BC вундӧг шӧрын куйлысь чут пыр (пасъям сійӧс O) гижтам AO визьньӧв. Тайӧ визьньӧв вылас пасъям E чут, коді куйлӧ O чутсянь сы ылнаын жӧ, кыдзи и A чут. Миян артмӧ: 1) OC = OB; 2) AO = OE; 3) ∠AOB = ∠EOC кыдзи вертикаль пельӧсъяс. Сідзкӧ ∆AOB = ∆EOC медводдза тӧдмалан ног серти. Та вӧсна ∠ABC = ∠BCE, кыдзи ӧткодь куимпельӧсаясын лӧсялана пельӧсъяс.

O, B да E чутъяс куйлӧны ӧти тшӧтшкӧсджынйын AD веськыд визь серти. Миян артмӧ: 1) ∠BCD = 180° – ∠BCA (кыдз орчча); 2) ВС да AE вундӧгъяс вомӧнасьӧны, мӧд ног шуны, CB визьньӧв мунӧ ∠ACE пельӧс доръяс костӧд. Сідзкӧ ∠ACE = ∠BCE + ∠BCA. 3) ∠ACE < 180°, та вӧсна ∠ACE-ысь кӧ чинтам ∠BCA да 180°-ысь сійӧ жӧ ∠BCA чинтам, медводдза чинтасыс лоас этшаджык мӧд чинтассьыс (формулаӧн кӧ пасъям, ∠ACE – ∠BCA < 180° – ∠BCA).

Ӧтувтам кӧ став артмӧм формула, лоас:

ABC = ∠BCE;

BCE = ∠ACE – ∠BCA;

ACE – ∠BCA < 180° – ∠BCA;

180° – ∠BCA = ∠BCD.

Сідзкӧ ∠ABC < ∠BCD.

Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам, мый ∠BAC < ∠BCD.

Куимпельӧсалысь доръяс да пельӧсъяс ӧтластитӧм

Теорема. Куимпельӧсаын ыджыдджык дорлы паныд куйлӧ ыджыдджык пельӧс.

Dor peljes otlastitem1.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсаын AC > AB. Петкӧдлам: ∠ABC > ∠ACB. Пасъям AC вундӧг вылын сэтшӧм D чут, медым AD = AB. Сідзкӧ, ∠ABD = ∠BDA, ӧд найӧ ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс.

BD вундӧг юкӧ ∆ABC-сӧ кык пельӧ; сы пытшкын ӧні эм кык куимпельӧса: ∆ABD да ∆BCD. ∠BDA лоӧ ∆BCD куимпельӧсалы ортсыса пельӧс. Кыдзи ми тӧдам нин, ортсыса пельӧс век ыджыдджык пытшкӧсса пельӧсысь, коді сыкӧд абу орчча. Сідзкӧ ∠BDA > ∠BCD. Ӧтувтам кӧ став артмӧм формула, лоас:

ABC > ∠ABD,

ABD = ∠BDA,

BDA > ∠BCD,

BCD = ∠ACB.

Сідзкӧ, ∠ABC > ∠ACB.

Теорема. Куимпельӧсаын ыджыдджык пельӧслы паныд куйлӧ ыджыдджык дор.

(татчӧ колӧ серпас)

Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсаын ∠ABC > ∠ACB. Петкӧдлам: AC > AB.

Тайӧ кӧ абу сідз, либӧ AC = AB, либӧ AC < AB. Кыдзи ми тӧдам нин, кор AC = AB, сэки ∠ABC = ∠ACB; кор AC < AB, сэки ∠ABC < ∠ACB. Тайӧ оз лӧсяв ∠ABC > ∠ACB ӧткодьтӧмлункӧд.

☼ ☼ ☼

Сідзкӧ, куимпельӧсаын ӧти дор кузьджык мӧд дорсьыс сэк да сӧмын сэк, кор медводдза дорыслы паныд куйлан пельӧс ыджыдджык мӧд дорыслы паныд куйлан пельӧсысь.

Ёсь пельӧса, бур (веськыд) пельӧса да ныж пельӧса куимсэрӧгъяс

ёсь пельӧса куимсэрӧг — остроугольный треугольник
бур (веськыд) пельӧса куимсэрӧг — прямоугольный треугольник
ныж пельӧса куимсэрӧг — тупоугольный треугольник

Куимсэрӧг шусьӧ ёсь пельӧсаӧн, сыын кӧ куимнан пельӧсыс ёсь.

Куимсэрӧг шусьӧ бур (веськыд) пельӧсаӧн, сыын кӧ ӧти пельӧсыс бур (веськыд).

Куимсэрӧг шусьӧ ныж пельӧсаӧн, сыын кӧ ӧти пельӧсыс ныж.


Теорема. 1) Бур пельӧса куимсэрӧгын гипотенузабердса пельӧсъяс ёсьӧсь. 2) Гипотенуза кузьджык катетысь.

Veskydpeljesa kuimsereg otk.jpg

Эскӧдӧм. 1) Бур пельӧскӧд орчча пельӧс тшӧтш бур; теорема серти, сійӧ ыджыдджык гипотенузабердса пельӧсысь. 2) Бур (веськыд) пельӧсыс куимпельӧсаын медыджыд, та вӧсна сылы паныд куйлысь дор медкузь.

Висьталӧм. Ныж пельӧса куимсэрӧгын эм кык ёсь пельӧс.

Tsotsyd 2 jos.jpg

Эскӧдӧм. Ӧти пельӧсыс кӧ ныж, сыкӧд орчча пельӧсыс ёсь. Кыдз ми тӧдам нин, ортсыса пельӧс ыджыдджык пытшкӧсса пельӧсысь, коді абу сыкӧд орччӧн. Сідзкӧ куимпельӧсаыслӧн мукӧд пытшкӧсса пельӧсъяс ёсь пельӧсысь ичӧтджыкӧсь; та вӧсна найӧ асьныс ёсьӧсь.

Висьталӧм. Ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс ёсьӧсь.

Otk berda 2 jos.jpg

Эскӧдӧм. Кыдз ми тӧдам нин, 1) ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, 2) бур пельӧса либӧ ныж пельӧса куимсэрӧгын эм кык ёсь пельӧс. Сідзкӧ, подувбердса пельӧс оз вермы лоны бурӧн ни ныжӧн.

Бур пельӧса куимсэрӧгъяслысь ӧткодьлунсӧ тӧдмалан ног

Кык катет серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні AB, BC, A’B’, B’C’ — катетъяс, AB = A’B’, BC = B’C’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

2katet.jpg

Эскӧдӧм.ABC = ∠A’B’C’ = 90°, AB = A’B’, BC = B’C’; сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмалан ног серти.

Катет да гипотенуза серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні AB да A’B’ — катетъяс, AC да A’C’ — гипотенузаяс, AB = A’B’, AC = A’C’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Kat gip1.jpg

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм KBM куимпельӧса, кӧні: 1) ∆KBM = ∆A’B’C’, 2) M чут куйлӧ куйлӧ BC визь вылын, B чут куйлӧ C да M чутъяс костын, 3) ∆KBM да ∆ABC куйлӧны BC веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.

Медводдза серпас вылас ылӧсас индӧма, кутшӧм тшӧтшкӧсджынйын куйлӧ K чут. Сэсся ми сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн кутам стӧчмӧдны сылысь инсӧ.

Kat gip2 0.jpg

Но кыдзи ми тӧдам, ∆KBM = ∆A’B’C’. Таысь петӧ некымынтор:

1) ∠KBM = ∠A’B’C’ = 90°, ∠ABM = 180° − ∠ABC = 90°; сійӧн K чутлы быть куйлыны BA визьньӧв вылын.

Kat gip3.jpg

2) AB = A’B’, A’B’ = KB; та вӧсна AB = KB да K чутлы быть лӧсявны A-кӧд.

(серпас)

3) AC = A’C’, A’C’ = KM = AM; сійӧн AC = AM.

Kat gip4 0.jpg

Миян артмӧ ∆CAM. Сійӧ — ӧткодь берда куимпельӧса, кӧні AC да AM — боквыв доръяс, AB — судта. Кыдзи ми тӧдам нин, подувлань гижтӧм судта лоӧ биссектрисаӧн. Миян артмӧ: AC = AM, ∠CAB = ∠MAB. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ABM медводдза тӧдмалан ног серти. Но ∆ABM = ∆KBM = ∆A’B’C’. Сійӧн ∆ABC = ∆A’B’C’.

Катет да сы бердса ёсь пельӧс серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні AB да A’B’ — катетъяс, ∠A да ∠A’ — ёсь пельӧсъяс, AB = A’B’, ∠A = ∠A’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Kat jos berd0.jpg

Эскӧдӧм.B = ∠B’ = 90°, AB = A’B’, ∠A = ∠A’; сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмалан ног серти.

Катет да сылы паныд куйлысь ёсь пельӧс серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні AB да A’B’ — катетъяс, AB = A’B’, ∠B = ∠B’ = 90°, ∠C = ∠C’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Kat jos pan1.jpg

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм KBM куимпельӧса, кӧні: 1) ∆KBM = ∆A’B’C’, 2) M чут куйлӧ куйлӧ BC визь вылын, B чут куйлӧ C да M чутъяс костын, 3) ∆KBM да ∆ABC куйлӧны BC веськыд визь серти ӧти тшӧтшкӧсджынйын.

Татшӧм KBM куимпельӧсасӧ миян лӧсьӧдлім мӧд теоремасӧ подулалігӧн. Сэки миян артмис: K = A.

Сідзкӧ ∆ABM = ∆A’B’C’. Та вӧсна ∠AMB = ∠A’C’B’. Но ∠A’C’B’ = ∠ACB. Сійӧн ∠AMB = ∠ACB.

Kat jos pan3.jpg

Кыдзи ми тӧдам нин, куимсэрӧгын кӧ эм кык ӧткодь пельӧс, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь берда. Сідзкӧ ACM — ӧткодь берда куимпельӧса, CM — сылӧн подулыс, AB — сылӧн судтаыс. Татшӧмтор миян бара жӧ артмыліс нин мӧд теоремасӧ подулалігӧн; сыысь ми тӧдан нин, мый ∆ABC = ∆ABM = ∆A’B’C’.

Гипотенуза да ёсь пельӧс серти.

Теорема. Кор ABC да A’B’C’ — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кӧні AC да A’C’ — гипотенузаяс, AC = A’C’, ∠A = ∠A’, сэки ∆ABC = ∆A’B’C’.

Gip jos.jpg

Эскӧдӧм. Аксиомаысь петӧ: позьӧ гижтыны сэтшӧм AKM куимпельӧса, кӧні: 1) ∆AKM = ∆A’B’C’, 2) AK куйлӧ AB визьньӧвйын, 3) ∆AKM да ∆ABC куйлӧны AB веськыд визь серти торъя тшӧтшкӧсджынъясын.

Медводдза серпас вылас ылӧсас индӧма, кутшӧм визьньӧв вылын куйлӧ K чут да кутшӧм тшӧтшкӧсджынйын куйлӧ M чут. Сэсся ми сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн кутам стӧчмӧдны налысь инсӧ.

Gip jos1.jpg

Пуктам N чут CB визьньӧв вылӧ тадзи, медым BC = BN. Сэки ∆ABC = ∆ABN кык катет серти.

Gip jos2.jpg

Миян артмӧ:

1) ∠BAN = ∠BAC;

2) ∠BAC = ∠B’A’C’;

3) ∠B’A’C’ = ∠KAM = ∠BAM.

Сідзкӧ ∠BAN = ∠BAM; та вӧсна N чут куйлӧ AM визьньӧв вылын. Пасъям тайӧс выль серпас вылын, сэсся водзӧ кутам стӧчмӧдны K‐лысь да M‐лысь инсӧ.

Gip jos3.jpg

ABC = ∆ABN, та вӧсна AC = AN; но AC = A’C’ да A’C’ = AM. Сідзкӧ AM = AN, кытысь M = N. Вӧчам выль серпас, кӧні M = N; колис сӧмын стӧчмӧдны K чутлысь инсӧ.

Gip jos4.jpg

AKM = ∠A’B’C’ = 90°, ∠ABM = ∠ABC = 90°. Сійӧн MB да MK лоӧны AB‐лы перпендикуляръясӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧти чутысь позьӧ гижтыны сӧмын ӧти перпендикуляр. Сідзкӧ, K = B.

Gip jos5.jpg

Миян артмӧ:

1) ∆ABC = ∆ABM;

2) ∆ABM = ∆A’B’C’.

Та вӧсна ∆ABC = ∆A’B’C’.

Куимпельӧса ӧткодьтӧмлун

Теорема. Куимпельӧсаын кык дорыслӧн ӧтувъя кузьта век лоӧ ыджыдджык коймӧд дор кузьтасьыс.

Kuimp otkedtemlun.jpg

Эскӧдӧм. Шуам, ABC куимпельӧсаын AC дор лоӧ медкузьӧн. Сідзкӧ AC вундӧгас позьӧ пуктыны D чут, медым AB = AD. Миян артмӧ: ∆DAB — ӧткодь берда куимсэрӧг, DB — сылӧн подулыс, ∠ADB да ∠ABD — сылӧн подувбердса пельӧсъяс.

Dor peljes otlastitem1.jpg

Кыдзи ми тӧдам нин, подувбердса пельӧсыд век лоӧ ёсь. Сідзкӧ, ∠ADB тшӧтш ёсь. Ёсь пельӧскӧд орчча пельӧс век лоӧ ныж. Сійӧн ∠BDC — ныж пельӧс. Миян артмӧ: BDC куимпельӧсаын ∠BDC медыджыд. Кыдзи ми тӧдам нин, медыджыд пельӧслы паныд куйлӧ медкузь дор. Сы понда BC > DC.

Миян артмӧ:

  • AC = AD + DC;
  • AD = AB (сійӧн вылысджык формула позьӧ гижны: AC = AB + DC);
  • DC < BC.

Сідзкӧ, AC < AB + BC.

Параллель (ӧтнырвизя) веськыд визьяс

Кык веськыд визь шусьӧны параллельясӧн, найӧ кӧ оз вомӧнасьны.

Parallel veskyd.jpg

Кор a да b веськыд визьяс куйлӧны параллель ногӧн, гижӧны ab.

Теорема. Кык торъялана веськыд визь кӧ лоӧны перпендикуляръясӧн коймӧд веськыд визьлы, найӧ параллель ногаӧсь.

Parallal veskyd perp.jpg

Эскӧдӧм (паныдсянь). Тайӧ кык веськыд визь кӧ вомӧнасисны, найӧ вомӧнасянінысь позис эськӧ гижтыны коймӧд веськыд визьлань кык торъялана перпендикуляр. Но, кыдзи ми тӧдам нин, тайӧс вӧчны он вермы.

(татчӧ колӧ серпас)

Теорема. Чутыс кӧ оз куйлы веськыд визь вылын, сэтшӧм чут пыр позьӧ гижтыны тайӧ веськыд визьлы параллель.

Эскӧдӧм. Мед миян эм m веськыд визь да A чут, коді оз куйлы сы вылын. Гижтам A чутысь m-лань перпендикуляр (пасъям сійӧс l). Сэсся A чут пыр гижтам l-лы перпендикуляр (пасъям сійӧс n). Миян артмӧ: l лоӧ перпендикулярӧн m-лы да n-лы. Сідзкӧ, m да n параллельяс (воддза теорема серти).

Parall nuedem1.jpg

Параллельлун тӧдмалан ног

ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс – внутренние накрест лежащие углы
ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс – внешние накрест лежащие углы
ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс – внутренние односторонние углы
ӧтарбокса ортсы пельӧсъяс – внешние односторонние углы
весьтаса пельӧсъяс – соответственные углы

Гижтам кык веськыд визь да нӧшта ӧти визь, коді найӧс вомӧналӧ. Тайӧ вомӧналысь визь серти позьӧ пасйыны татшӧм пельӧсъяс (петкӧдлӧма серпас вылын):

  • ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс,
Pyts padv pel1.jpg
  • ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс,
Orts padv pel.jpg
  • ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс,
Pyts etarboksa.jpg
  • ӧтарбокса ортсы пельӧсъяс.
Orts etarboksa.jpg
  • весьтаса пельӧсъяс,
Vestasa.jpg

(петкӧдлыны серпас вылын став вариант − 2, 2, 2, 2, 4)

Теорема. Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.

Parall tedm1.jpg

Эскӧдӧм. Эм кык веськыд визь: AC да BD; найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь: AB; та дырйи ∠ABD = ∠BAC. Пасъям AB вундӧглысь шӧрчутсӧ M шыпасӧн. Гижтам M чут пыр AC веськыд визьлань MP перпендикуляр. Чут, кӧні сійӧ вомӧнасьӧ BD-кӧд, пасъям Q шыпасӧн. ∠AMP да ∠BMQ — вертикаль пельӧсъяс, та вӧсна найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, ∆AMP = ∆BMQ мӧд тӧдмалан ног серти. Сэк и ∠BQM = ∠APM. MP лоӧ AC‐лы перпендикуляр, сійӧн ∠APM = 90°; сідзкӧ и ∠BQM = 90°. Миян артмӧ: BQ да AP веськыд визьяс лоӧны PQ веськыд визьлы перпендикуляръясӧн. Сідзкӧ, найӧ куйлӧны мӧда-мӧдлы параллель ногӧн водзджык подулалӧм теорема серти.

Теорема. Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ∠1, ∠2 – ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс, ∠1 = ∠2.

Parall tedm2.jpg

∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 кыдзи вертикаль пельӧсъяс. Сідзкӧ, ∠3 = ∠4. Тайӧ пельӧсъясыс – ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс. Воддза теорема серти, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.

Теорема. Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти ӧтарбокса пытшкӧс либӧ ортсы пельӧсъяслӧн суммаыс кӧ 180°, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ∠1, ∠2 – ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс, ∠1 + ∠2 = 180°.

Parall tedm3.jpg

∠2 да ∠3 орччаӧсь, та вӧсна ∠2 + ∠3 = 180°. Сідзкӧ, ∠1 = ∠3. ∠1 да ∠3 ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс; водзджык подулалӧм теорема серти та дырйи веськыд визьясыс лоӧны параллель ногаӧсь.

Ӧтарбокса ортсы пельӧсъяслӧн суммаыс кӧ 180° ыджда, теоремасӧ подулалам сэтшӧм жӧ ногӧн.

Теорема. Эм кык веськыд визь, найӧс вомӧналӧ нӧшта ӧти визь. Вомӧналысь визь серти весьтаса пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс параллель ногаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ∠1, ∠2 – весьтаса пельӧсъяс, ∠1 = ∠2.

Parall tedm4 1.jpg

∠1 да ∠3 — вертикаль пельӧсъяс, та вӧсна ∠1 = ∠3. Сідзкӧ ∠2 = ∠3. Но ∠2 да ∠3 — ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс. А водзджык подулалӧм теорема серти та дырйи веськыд визьясыс лоӧны параллель ногаӧсь.

Параллель йылысь аксиома

Аксиома. Веськыд визьысь ортсыын куйлысь чут пыр позьӧ гижтыны дзик ӧти параллель.

Par aks1.jpg

Теорема. Кык торъялана веськыд визь кӧ лоӧны параллельясӧн коймӧд веськыд визьлы, найӧ лоӧны ӧта-мӧдыслы параллельясӧн.

Эскӧдӧм. Мед a да b веськыд визьяс лоӧны c веськыд визьлы параллельясӧн. Найӧ кӧ вомӧнасьӧны кутшӧмкӧ чутын, тайӧ чут пырыс мунӧ c-лы кык торъялана параллель. Тайӧ оз лӧсяв аксиомакӧд.

Par transit.jpg

Параллель нога веськыд визьяслӧн аслунъяс

Теорема. Кор параллель ногӧн куйлысь кык веськыд визьсӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь, сэки артмӧм ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед AD да BC параллельяс, AB веськыд визь найӧс вомӧналӧ. Миянлы колӧ петкӧдлыны: ∠DAB = ∠CBA.

(серпас)

Гижтам A чут пыр AE веськыд визь сідзи, медым ∠EAB = ∠CBA. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс кӧ ӧтыдждаӧсь, веськыд визьясыс лоӧны параллельясӧн. Сійӧн EA-лы да BC-лы быть лоны параллельясӧн.

Мый эськӧ вӧлі, ∠DAB да ∠CBA кӧ эз вӧвны ӧтыдждаӧсь? Сэки AD да AE вӧліны эськӧ торъялана веськыд визьясӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.

Omp par.jpg

Та дырйи A чут пыр муніс эськӧ BC-лы торъялана кык параллель: AD да AE, а тайӧ оз лӧсяв аксиомакӧд.

Теорема. Параллель ногӧн куйлысь кык веськыд визьсӧ кӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь, сысянь ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Omo par.jpg

Эскӧдӧм. Гижтам серпас, кӧні ∠1 да ∠2 – ӧтар-мӧдар куйлысь ортсы пельӧсъяс.

  • Та дырйи ∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4, ставныс вертикаль пельӧсъяс да сійӧн;
  • а ∠3 = ∠4, найӧ ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс да (воддза теорема серти).

Сідзкӧ ∠1 = ∠2.

Теорема. Кор параллель ногӧн куйлысь кык веськыд визьсӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь, сэки ӧтарбокса пытшкӧс (ортсы) пельӧсъяслӧн суммаыс лоӧ 180°.

Ort otar.jpg

Эскӧдӧм. Мед ∠1 да ∠2 — ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс. Серпас вылысь ми аддзам:

  • ∠1 да ∠3 орчча пельӧсъяс, та вӧсна ∠1 + ∠3 = 180°;
  • ∠3 = ∠2, найӧ ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс да сійӧн ӧткодьӧсь (теорема серти).

Сідзкӧ ∠1 + ∠2 = 180°.

Ӧтарбокса ортсы пельӧсъяс йылысь теоремасӧ подулалам сэтшӧм жӧ ногӧн.

Теорема. Кор параллель ногӧн куйлысь кык веськыд визьсӧ вомӧналӧ коймӧд веськыд визь, сэки весьтаса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Par vest1.jpg

Эскӧдӧм. Мед ∠1 да ∠2 — весьтаса пельӧсъяс. Серпас вылысь ми аддзам:

  • ∠2 = ∠3, найӧ вертикаль пельӧсъяс да сійӧн ӧтыдждаӧсь;
  • ∠1 = ∠3, найӧ ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс да сійӧн ӧткодьӧсь (теорема серти).

Сідзкӧ ∠1 = ∠2.

Куимсэрӧгын пельӧсъяслӧн суммаыс

Теорема. Куимсэрӧгын став пельӧслӧн суммаыс 180° ыджда.

Kuimp180.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABC — куимпельӧса. Арталам сы пельӧсъяслысь суммасӧ: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA. Та могысь гижтам B чут пыр AC-лы параллель ногӧн DE веськыд визьсӧ. Кыдзи аддзам, ∠DBA, ∠ABC да ∠EBC ӧтув артмӧдӧны павтыртӧм пельӧс, сылӧн ыдждаыс 180°. Сы вӧсна мый ∠DBA = ∠BAC, ∠EBC = ∠BCA (найӧ ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс да), ∠BAC, ∠ABC да ∠BCA ӧтув тшӧтш сетасны 180° ыджда. Мӧд ног шуны, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

Теорема. Куимсэрӧглӧн ортсы пельӧсыс лоӧ сылы абу орчча пытшкӧс пельӧсъяс суммакӧд ӧтыджда.

Ortsy pel.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABC — куимпельӧса, ∠ABD — сылӧн ортсы пельӧс. Миянлы колӧ артмӧдны: ∠ABD = ∠BAC + ∠BCA. Кыдзи аддзам, ∠ABD + ∠ABC = 180°, найӧ орчча пельӧсъяс да. Сійӧн ∠ABD = 180° – ∠ABC. Воддза теорема серти кӧ, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Сійӧн 180° – ∠ABC = ∠BAC + ∠BCA. А сідзкӧ, ∠ABD = ∠BAC + ∠BCA.

Теорема. Ӧткодь доръяса куимсэрӧгын быд пельӧсыс 60° ыджда.

Эскӧдӧм. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧткодь доръяса куимсэрӧгын став пельӧсыс ӧтыдждаӧсь, а суммаын найӧ сетӧны 180°. Сідзкӧ, быд пельӧсыс лоӧ 180° : 3 = 60° ыджда.

Теорема. Бурпельӧса куимсэрӧгын ёсь пельӧсъясыслӧн суммаыс 90° ыджда.

Veskyd kuimp 90 1.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсаын ∠B = 90°. Кыдзи ми тӧдам нин, ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Сідзкӧ ∠A + ∠C = 180° – ∠B = 90°.

Теорема. Бурпельӧса ӧткодь берда куимсэрӧгын кыкнан ёсь пельӧсыс 45° ыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Кыдзи ми тӧдам нин, бурпельӧса ӧткодь берда куимсэрӧгын ёсь пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь, а суммаын найӧ сетӧны 90°. Сідзкӧ, быд ёсь пельӧсыс лоӧ 90° : 2 = 45° ыджда.

45 60 peljesjas.jpg

Нёльпельӧсаяс (нёльсэрӧгъяс)

нёльпельӧса, нёльсэрӧг — четырёхугольник
орчча йывъяс (доръяс) — соседние вершины (стороны)
воча йывъяс (доръяс) — противоположные вершины (стороны)

Нёльпельӧсаӧн либӧ нёльсэрӧгӧн шусьӧ нёль чутысь да найӧс сьӧрсьӧн-бӧрсьӧн йитан нёль вундӧгысь тэчӧм мыгӧр. Та дырйи, тайӧ нёль чут письыс сӧмын кыкыс куйлӧны ӧти веськыд визьын, а вундӧгъясыс вермӧны вомӧнасьны сӧмын помъясас.

Njolpelesa.jpg

Нёльпельӧса артмӧдысь чутъяссӧ шуам нёльсэрӧг йывъясӧн, а найӧс йитысь вундӧгъяссӧ — нёльсэрӧг доръясӧн.

Njolp jyv dor.jpg

Нёльпельӧса кӧ артмӧдӧма A, B, C, D чутъясысь да найӧс йитан AB, BC, CD, DA вундӧгъясысь, сэки гижӧны: ABCD нёльпельӧса.

Нёльсэрӧглысь кык йывсӧ шуам орччаӧн, найӧ кӧ лоӧны ӧти дорлы помъясӧн. Кык дорсӧ шуам орччаӧн, найӧ кӧ петӧны ӧти йылысь.

Orcca jyv dor.jpg

Нёльсэрӧглысь кык йывсӧ шуам вочаӧн, найӧ кӧ абу орччаӧсь. Кык дорсӧ шуам вочаӧн, найӧ кӧ абу орччаӧсь. Кык воча йыв йитысь вундӧгсӧ шуам диагональӧн.

Voca jyv dor.jpg

Нёльпельӧсаын пельӧсъяслӧн суммаыс

Теорема. Нёльсэрӧгын став пельӧслӧн суммаыс 360° ыджда.

Njolp sum.jpg

Эскӧдӧм. Гижтам нёльсэрӧг пытшкас диагональ (серпас вылын тайӧ AC), коді юкӧ сійӧс кык куимсэрӧг вылӧ. Миян артмӧ: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA + ∠CAD + ∠ADC + ∠ADC = 180° + 180° = 360°.

Параллелограмм

Нёльсэрӧг, кӧні воча доръяс куйлӧны параллель ногӧн, шусьӧ параллелограммӧн.

Parallelogr.jpg

Параллелограммсӧ тӧдмалан ногъяс

1-ӧд тӧдмалан ног. Кор нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь, сэки тайӧ параллелограмм.

Parallelogr 1 todm1.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABCD — нёльпельӧса, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Сідзкӧ, 2∠A + 2∠B = 360°, ∠A + ∠B = 180°. Та вӧсна AD да BC веськыд визьяс куйлӧны параллель ногӧн. Сідзи жӧ артмӧ: AB да CD куйлӧны параллель ногӧн.

2-ӧд тӧдмалан ног. Мед нёльпельӧсалӧн диагональясыс вомӧнасьӧны шӧр чутаныс. Сэки тайӧ параллелограмм.

Parallelogr 2 todm.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABCD — нёльпельӧса, O чут — AC да BD диагональяслӧн вомӧнасянін, AO = OC, BO = OD. AOB да COD пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, найӧ вертикаль пельӧсъяс да. Сідзкӧ, ∆AOB = ∆COD медводдза тӧдмалан ног серти. Та вӧсна ∠OAB = ∠OCD. Найӧ ӧтар-мӧдар пытшкӧс куйлысь пельӧсъяс. Сідзкӧ ABCD. Сідзи жӧ артмӧ: ADBC.

3-ӧд тӧдмалан ног. Мед нёльпельӧсалӧн кык воча дор ӧтыдждаӧсь да куйлӧны параллель ногӧн. Сэки тайӧ параллелограмм.

Parallelogr 3 todm.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABCD — нёльпельӧса, O чут — AC да BD диагональяслӧн вомӧнасянін, AB = CD, ABCD.

Parallelogr 3 todm0.jpg

Сідзкӧ, ∠BAO = ∠DCO, ∠ABO = ∠CDO кыдзи ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс. Та вӧсна ∆AOB = ∆COD мӧд тӧдмалан ног серти. Миян артмӧ: AO = OC, BO = OD. Сідзкӧ ABCD – параллелограмм мӧд тӧдмалан ног серти.

4-ӧд тӧдмалан ног. Мед нёльпельӧсалӧн кык воча доръяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтыдждаӧсь. Сэки тайӧ параллелограмм.

Parallelogr 4 todm.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABCD — нёльпельӧса, кӧні AB = CD, AD = BC. Гижтам AC диагональ.

Parallelogr 4 todm084.jpg

Сэки ∆ABC = ∆CDA коймӧд тӧдмалан ног серти. Сідзкӧ, ∠BCA = ∠CAD.

Parallelogr 4 todm1.jpg

Тайӧ ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс. Сідзкӧ BCAD. Та вӧсна ABCD – параллелограмм 3-ӧд тӧдмалан ног серти.

Параллелограмм торъяланлунъяс

1-ӧд торъяланлун. Параллелограммлӧн воча пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Par tor1.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABCD — параллелограмм. Сэки ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180° (найӧ ӧтарбокса пытшкӧс пельӧсъяс да). Сідзкӧ, ∠A = 180° − ∠B = ∠C. Сідзи жӧ артмӧ: ∠B = ∠D.

2-ӧд торъяланлун. Параллелограммлӧн воча доръяс ӧтыдждаӧсь.

Par tor2.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABCD —параллелограмм. Гижтам сылысь AC диагональсӧ. Сэки ∠BAC = ∠ACD, ∠BCA = ∠CAD, найӧ ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс да. Сідзкӧ ABC да CDA куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь (мӧд тӧдмалан ног серти). Та вӧсна AB = CD, AD = BC.

3-ӧд торъяланлун. Параллелограммлӧн диагональяс вомӧнасьӧны асланыс шӧр чутас.

Par tor3.jpg

Эскӧдӧм. Мед ABCD — параллелограмм, O — диагональясыслӧн вомӧнасян чут. Сэки ∠OAD = ∠OCB, ∠ODA = ∠OBC, найӧ ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс да. Ми тӧдам нин: AD = BC. Сідзкӧ AOD да COB куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь (мӧд тӧдмалан ног серти). Та вӧсна AO = OC, BO = OD.

Веськыдсэрӧг

Урчитӧм. Параллелограмм, кодлӧн ӧти пельӧсыс веськыд, шусьӧ веськыдсэрӧгӧн.

Пасйӧд. Веськыдсэрӧглӧн став пельӧсыс веськыд.

Теорема. Веськыдсэрӧглӧн диагональясыс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм веськыдсэрӧг. Сэки BAD да CDA куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, AC = BD.

Теорема. Параллелограммлӧн диагональясыс кӧ ӧтыдждаӧсь, тайӧ веськыдсэрӧг.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, AC = BD. Сэки AB = CD, ∠BAD + ∠CDA = 180°. Сідзкӧ, BAD да CDA куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠BAD = ∠CDA = 90°.

Ромб

Урчитӧм. Параллелограмм шусьӧ ромбӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда.

Теорема. Ромблӧн диагональ лоӧ сылӧн пельӧсыслӧн биссектриса.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм ромб. Сэки ABC – ӧткодь берда куимпельӧса. Та вӧсна ∠BAC = ∠BCA. Таысь кындзи, ∠BAC = ∠DCA, ∠BCA = ∠DAC кыдзи пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Сідзкӧ, ∠BCA = ∠DCA, ∠BAC = ∠DAC.

Теорема. Ромблӧн диагональяс ӧшанвизьлунаӧсь ӧта-мӧдыслы.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм ромб. Ми тӧдам нин: BD диагональ лоӧ ∠ABC пельӧслӧн биссектриса. AB = BC да, BD ӧшанвизьлуна AC-лы (ӧткодь берда куимпельӧсалӧн торъяланлун серти).

Теорема. Параллелограмм, кодлӧн диагональыс юклӧ пельӧссӧ шӧрипӧв, лоӧ ромб.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠ABD = ∠CBD. Сідзкӧ, ∠CBD = ∠ADB кыдзи пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс. Та вӧсна ∠ABD = ∠ADB. Миян артмӧ: ∆DBA ӧткодь берда, AB = AD. Сідзкӧ, ABCD – ромб.

Теорема. Параллелограмм, кодлӧн диагональясыс ӧшанвизьлунаӧсь ӧта-мӧдыслы, лоӧ ромб.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, сылӧн диагональясыс вомӧнасьӧны O чутын. Сэки AOB да BOC куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Та вӧсна OA = OB.

Квадрат

Урчитӧм. Нёльпельӧса шусьӧ квадратӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс 90° ыджда.

Кывкӧртӧд. Квадратлӧн диагональясыс 1) ӧтыдждаӧсь, 2) ӧта-мӧдыслы ӧшанвизьлунаӧсь, 3) шӧрипӧв юклӧны квадратыслысь пельӧсъяссӧ.

Кывкӧртӧд. Квадратлӧн диагональ юклӧ сійӧс ӧткодь берда веськыдпельӧса кык куимсэрӧг вылӧ.

Кывкӧртӧд. Квадратлӧн кык диагональ юклӧны сійӧс ӧткодь берда веськыдпельӧса нёль куимсэрӧг вылӧ.

Трапеция

Урчитӧм. Нёльпельӧса шусьӧ трапецияӧн, сылӧн кӧ воча кык дор ӧтнырвизяӧсь, а мӧд воча кык дор абу ӧтнырвизяӧсь.

Ӧтнырвизя доръясыс шусьӧны трапеция подувъясӧн. Мӧд кык дор шусьӧны трапециялӧн боквыв доръясӧн.

Веськыдпельӧса трапециялӧн ӧти пельӧсыс веськыд.

Ӧткодь берда трапециялӧн боквыв доръясыс ӧтыдждаӧсь.

Теорема. Ӧткодь берда трапециялӧн подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, BC да AD – сылӧн подувъяс, AB = CD. Мед BECD, E чут куйлӧ AD вундӧг вылын. Сідзкӧ, BCDE – параллелограмм да BE = CD, ∠CDA = ∠BEA. Та вӧсна AB = BE да ∠BAE = ∠BEA. Миян артмис: ∠CDA = ∠BAD.

Теорема. Трапециялӧн кӧ подувбердса ӧтыдждаӧсь, сійӧ ӧткодь берда.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, BC да AD – сылӧн подувъяс, ∠CDA = ∠BAD. Мед BECD, E чут куйлӧ AD вундӧг вылын. Сідзкӧ, BCDE – параллелограмм да BE = CD, ∠CDA = ∠BEA. Та вӧсна ∠BAE = ∠BEA. Сідзкӧ, AB = BE = CD.

Содтӧд юӧр