Планиметрия курс − 2 — различия между версиями

Материал из Коми тӧданін
(Кытшвизь)
(Кытшвизь)
 
(не показано 36 промежуточных версий этого же участника)
Строка 73: Строка 73:
 
==Фалеслӧн мӧд теорема==
 
==Фалеслӧн мӧд теорема==
  
Урчитӧм. AB да CD, EF да GH вундӧгъяс пропорцияынӧсь, AB : CD да EF : GH юкасъяс кӧ ӧткодьӧсь: AB : CD = EF : GH.
+
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь:  
  
Мед AB да CD, EF да GH вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Сэки
+
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.
1) AB да EF, CD да GH пропорцияынӧсь;
 
2) AB∙GH = CD∙EF.
 
  
Теорема. Мед E да F чутъяс куйлӧны AB да CD вундӧгъяс пытшкын, AE да BE, CF да DF вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки AE да AB, CF да CD вундӧгъяс пропорцияынӧсь.
+
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки
Эскӧдӧм. AE : BE = CF : DF; сідзкӧ, BE : AE = DF : CF. Та вӧсна  (BE : AE) + 1 = (DF : CF) + 1, кытысь артмӧдам (BE + AE) : AE = (DF + CF) : CF. Аксиома серти, BE + AE = AB, DF + CF = CD. Сідзкӧ, AB : AE = CD : CF, кытысь AE : AB = CF : CD.
+
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;
 +
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.
  
Фалес теорема. Мед A да B чутъяс куйлӧны O йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, C да D чутъяс – мӧд дор вылын, AC ∥ BD. Сэки OA да OB, OC да OD вундӧгъяс пропорцияынӧсь.
+
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.
  
Эскӧдӧм. Мед, шуам, A чут куйлӧ O да B чутъяс костын. Петкӧдлам: OA : AB = OC : CD. Медбӧръя теорема серти, миян артмас OA : OB = OC : OD.
+
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор OA : AB = p : q, кӧні p да q – дзонь плюса лыдъяс.
 
Юклам OA вундӧгсӧ p пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс OA : p кузьтаӧсь); AB вундӧгсӧ юклам q пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс AB : q кузьтаӧсь). Пропорцияысь аддзам: OA : p = AB : q. Сідзкӧ, OB вундӧг юклӧма p + q пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.
 
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр BD-кӧд ӧтнырвизя веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны OD вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; OC вундӧгыс кутӧ p ӧтыджда вундӧг, CD вундӧгыс – q ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, OC : CD = p : q = OA : AB.
 
  
Теорема. Мед A да B чутъяс куйлӧны O йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, C да D чутъяс – мӧд дор вылын, OA да OB, OC да OD вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки AC ∥ BD.
+
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна 
  
Эскӧдӧм. Нуӧдам A чут пыр BD-кӧд ӧтнырвизя веськыдӧс. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд E чутын. Фалес теорема серти, OA : OB = OE : OD. Сідзкӧ, OE = OA∙OD/OB = OC. Та вӧсна E = C да AC ∥ BD.
+
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1,  
  
==Ӧтсяма куимпельӧсаяс==
+
кытысь артмӧдам
  
Урчитӧм. ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь (∆ABC ~ ∆A’B’C’), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’) да доръясыс пропорцияынӧсь (AB : A’B’ = BC : B’C’ = CA : C’A’).
+
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''.  
  
Теорема. Мед ABC – куимпельӧса, D чут куйлӧ AB дор вылын, E чут куйлӧ AC дор вылын, DE ∥ BC. Сэки ABC да ADE куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.
+
Аксиома серти,  
  
Эскӧдӧм. ∠D = ∠B, ∠E = ∠C кыдзи весьтаса пельӧсъяс; ∠A куимпельӧсаясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалес теорема серти, AD : AB = AE : AC.
+
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''.  
Колис петкӧдлыны: AD : AB = DE : BC.
 
Мед F чут куйлӧ AB дор вылын, BF = AD; G чут куйлӧ BC дор вылын, FG ∥ AC. Сэки ∠EAD = ∠GFB, ∠EDA = ∠GBF кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ, EAD да GFB куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна ED = GB.
 
Фалес теорема серти, GB : BC = BF : AB. Сідзкӧ, ED : BC = AD : AB.
 
  
Куимпельӧсаяс ӧтсямалун медводдза тӧдмӧс. Мед ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяслӧн ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’. Сэки ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.
+
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.
  
Эскӧдӧм. Мед, шуам, A’B’ ≤ AB. Мед M чут куйлӧ AB дор вылын, AM = A’ B’, N чут куйлӧ AC дор вылын, AN = A’C’. Сэки ∆AMN = ∆A’B’C’ медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠NMA = ∠C’B’A’ = ∠CBA. Сідзкӧ, MN ∥ BC. Воддза теорема серти, AMN да ABC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, A’B’C’ да ABC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.
+
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.
  
Куимпельӧсаяс ӧтсямалун мӧд тӧдмӧс. Мед ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяслӧн ∠A = ∠A’, AB : A’B’ = AC : A’C’. Сэки ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.
+
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]
  
Эскӧдӧм. Мед, шуам, A’B’ ≤ AB. Мед M чут куйлӧ AB дор вылын, AM = A’ B’, N чут куйлӧ AC дор вылын, AN = A’C’. Сэки ∆AMN = ∆A’B’C’ медводдза тӧдмӧс серти да, AB : AM = AC : AN. Фалес мӧдара теорема серти, MN ∥ BC. Миян артмӧ: ∆AMN ~ ∆ABC. Та вӧсна A’B’C’ да ABC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.
+
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам:  
  
Куимпельӧсаяс ӧтсямалун коймӧд тӧдмӧс. Мед ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяслӧн AB : A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’. Сэки ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.
+
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.
  
Эскӧдӧм. Мед k = AB : A’B’ = AC : A’C’. Мед M чут куйлӧ AB дор вылын, AM = A’ B’, N чут куйлӧ AC дор вылын, AN = A’C’. Сэки AMN да ABC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AM : AB = AN : AC = MN : BC. Но AM : AB = A’B’ : AB = k. Сідзкӧ, MN = k∙BC = B’C’. Та вӧсна AMN да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.
+
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.
  
Кывкӧртӧд. Ӧткодь доръяса куимпельӧсаяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.
+
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.
  
Кывкӧртӧд. Ӧткодь берда веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.
+
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).
  
Кывкӧртӧд. Ӧткодь берда куимпельӧсаяслӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь.
+
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]
  
Кывкӧртӧд. Ӧткодь берда куимпельӧсаяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь.
+
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.
 +
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.
  
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.
+
'''Теорема (мӧдара).'''  Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс
 +
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.
  
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.
+
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]
  
Теорема. Мед ABC да A’B’C’ – ӧтсяма куимпельӧсаяс, BL да B’L’ – налӧн биссектрисаяс. Сэки BL : B’L’ = AB : A’B’.
+
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.
  
Эскӧдӧм. BL да B’L’ биссектрисаяс, та вӧсна ∠ABL = ∠ABC/2 = ∠A’B’C’/2 = ∠A’B’L’.
+
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==
∆ABC ~ ∆A’B’C’; сідзкӧ, ∠BAL = ∠B’A’L’. Та понда ∆ABL ~ ∆A’B’L’ медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, BL : B’L’ = AB : A’B’.
 
  
Теорема. Мед ABC да A’B’C’ – ӧтсяма куимпельӧсаяс, BM да B’M’ – налӧн медианаяс. Сэки BM : B’M’ = AB : A’B’.
+
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').
  
Эскӧдӧм. BM да B’M’ медианаяс, та вӧсна AM = AC/2, A’M’ = A’C’/2, кытысь артмӧдам: AM : A’M’ = AB : A’B’. ∆ABC ~ ∆A’B’C’; сідзкӧ, ∠BAM = ∠B’A’M’. Та понда ∆ABM ~ ∆A’B’M’ мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, BM : B’M’ = AB : A’B’.
+
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.
  
Теорема. Мед ABC да A’B’C’ – ӧтсяма куимпельӧсаяс, BH да B’H’ – налӧн судтаяс. Сэки BH : B’H’ = AB : A’B’.
+
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.
  
Эскӧдӧм. BH да B’H’ судтаяс, та вӧсна ∠AHB = 90º = ∠A’H’B’.
+
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.
∆ABC ~ ∆A’B’C’; сідзкӧ, ∠BAH = ∠B’A’H’. Та понда ∆ABH ~ ∆A’B’H’ медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, BH : B’H’ = AB : A’B’.
 
  
Теорема. Мед ABC куимпельӧсаын AK да BM – медианаяс, O – налӧн вомӧнасян чут. Сэки AO : OK = BO : OM = 2 : 1.
+
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.
  
Эскӧдӧм. KM – ABC куимпельӧсалӧн шӧр визь. Сідзкӧ, KM ∥ AB, AB : KM = 2 : 1. Та вӧсна ∠KAB = ∠AKM, ∠MBA = ∠BMK (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса падвежӧнкуйлысьяс). Сідзкӧ, ∆OAB ~ ∆OKM медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: AO : OK = BO : OM = AB : KM = 2 : 1.
+
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.
  
Кывкӧртӧд. Куимпельӧсалӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
+
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===
  
Эскӧдӧм. Мед AK, BM да CN – ABC куимпельӧсалӧн медианаяс, O – AK да BM-лӧн вомӧнасян чут, O’ – AK да CN-лӧн вомӧнасян чут. Сэки AO : OK = 2 : 1, AO’ : O’K = 2 : 1. Та вӧсна O’ = O.
+
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.
  
Теорема. Мед BL – ABC куимпельӧсалӧн биссектриса. Сэки AL : LC = AB : BC.
+
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.
  
Эскӧдӧм. BL кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆ABL = ∆CBL мӧд тӧдмӧс серти; сідзкӧ, AL : LC = AB : BC = 1.
+
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===
Мед, шуам, ALB пельӧс ёсь. Мед M чут куйлӧ BL визьньӧв вылын, AM = BM. Сэки ∠AML = ∠ALM (ӧткодь берда куимпельӧсаын подувбердса пельӧсъяс), ∠ALM = ∠BLC (сувтса пельӧсъяс).  
 
Сідзкӧ, ∠ABM = ∠CBL, ∠AMB = ∠CLB. Та вӧсна ∆ABM ~ ∆CBL медводдза тӧдмӧс серти да AB : BC = AM : LC = AL : LC.
 
  
Теорема. Мед ABC – веськыдпельӧса куимсэрӧг, B – сылӧн веськыд пельӧс, BH – судтаыс. Сэки ABC, AHB да BHC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.
+
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.
  
Эскӧдӧм. ABC, AHB да BHC – веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠BAC = ∠HAB = ∠HBC. Сідзкӧ ∆ABC ~ ∆AHB ~ ∆BHC медводдза тӧдмӧс серти.
+
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.
  
Теорема. Мед ABC – веськыдпельӧса куимсэрӧг, B – сылӧн веськыд пельӧс, BH – судтаыс. Сэки BH2 = AH∙HC.
+
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===
  
Эскӧдӧм. Воддза теорема серти, ∆AHB ~ ∆BHC; сідзкӧ, AH : HB = HB : HC. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, BH2 = AH∙HC.
+
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.
  
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.
  
Эскӧдӧм. Мед ABC – веськыдпельӧса куимсэрӧг, B – сылӧн веськыд пельӧс. ∆ABC ~ ∆AHB да, AH : AB = AB : AC; ∆ABC ~ ∆BHC да, HC : BC = BC : AC. Сідзкӧ, AC∙AH = AB2, AC∙HC = BC2. Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: AC∙(AH + AC) = AB2 + BC2. Миян артмӧ: AC2 = AB2 + BC2.
+
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.
  
Кывкӧртӧд. Мед ABC да A’B’C’ – веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс, B да B’ – веськыд пельӧсъяс, AB : A’B’ = AC : A’C’. Сэки ABC да A’B’C’ куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь.
+
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.
  
Эскӧдӧм. Мед AB = k∙A’B’. Сэки AC = k∙A’C’. Пифагор теорема серти, BC2 = AC2 – AB2 = k2(A’C’2 – A’B’2) = k2B’C’2, кытысь артмӧ BC = k∙B’C’. Та вӧсна AB : A’B’ = BC : B’C’ да куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.
+
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.
  
Теорема. Куимпельӧсалӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат содтаскӧд, тайӧ веськыдпельӧса куимсэрӧг.
+
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.
  
Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсалӧн AB2 + BC2 = AC2. Босьтам веськыдпельӧса куимсэрӧг AB да BC кузьта катетъясӧн. Пифагор теорема серти, сылӧн гипотенуза AC кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ABC-кӧд коймӧд тӧдмӧс серти. Та вӧсна ABC пельӧсыс веськыд.
+
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.
  
Видлӧг. Египетса куимсэрӧг – тайӧ куимпельӧса, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 52 = 32 + 42 да, тайӧ веськыдпельӧса куимсэрӧг.
+
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.
  
Чутсянь веськыд визьӧдз ылнаӧн шусьӧ чутсяньыс веськыд визьӧдз нуӧдӧм ӧшанвизь кузьта.
+
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.
  
Теорема. Пельӧс биссектрисавывса быд чут ӧтылнаын пельӧс доръяссянь.
+
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.
 +
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.
  
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧслӧн йыв, M чут куйлӧ биссектриса вылын, K да L чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, MK ⊥ AK, ML ⊥ AL. Сідзкӧ, ∆MKA = ∆MLA гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна MK = ML.
+
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.
  
Теорема. Пельӧс пытшкӧсса чут кӧ пельӧс доръяссяньыс ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ биссектриса вылын.
+
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.
  
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧслӧн йыв, M чут куйлӧ пельӧс пытшкын, K да L чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, MK ⊥ AK, ML ⊥ AL, MK = ML. Сідзкӧ, ∆MKA = ∆MLA гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠MAK = ∠MAL.
+
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.
  
Теорема. Куимпельӧсалӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
+
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.
 +
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.
  
Эскӧдӧм. Мед ABC куимпельӧсаса A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны O чутын. Сэки O чут ӧтылнаын AB да AC доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын AB да BC доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын AC да BC доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ C пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны O чут пыр.
+
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.
  
Теорема. Вундӧг шӧр ӧшанвизьвывса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.
+
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.
  
Эскӧдӧм. Мед AB – индӧм вундӧг, C – сылӧн шӧрчут, l – шӧр ӧшанвизь, M чут куйлӧ l вылын. Сэки MCA да MCB куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, AM = BM.
+
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
  
Теорема. Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр ӧшанвизь вылын.
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.
  
Эскӧдӧм. Мед AB – индӧм вундӧг, MA = MB. Сэки AMB – ӧткодь берда куимпельӧса. Мед MC – сылӧн биссектриса. Сэки MC – медиана да судта, та вӧсна сійӧ AB вундӧглӧн шӧр ӧшанвизь.
+
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.
  
Теорема. Куимпельӧса доръяслӧн шӧр ӧшанвизьяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
+
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.
 +
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).
 +
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.
  
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, O – AB да AC доръяслӧн шӧр ӧшанвизьяс вомӧнасян чут. Сэки OA = OB, OA = OC. Сідзкӧ, OB = OC. Та вӧсна O чут куйлӧ BC дорлӧн шӧр ӧшанвизь вылын.
+
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.
  
Теорема. Куимпельӧсалӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
+
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.
  
Эскӧдӧм. Мед ABC – сетӧм куимпельӧса, AK, BL, CM – сылӧн судтаяс. Нуӧдам A, B да C чутъяс пыр BC-кӧд, AC-кӧд да AB-кӧд ӧтнырвизя веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны A’, B’ да C’ чутъясын.
+
===Пифагорлӧн теорема===
ABA’C да AC’BC – параллелограммъяс. Сідзкӧ, C’B = AC = BA’ да BL – A’C’ дорлӧн шӧр ӧшанвизь. Сідзи жӧ миян артмӧ: AK – B’C’ дорлӧн шӧр ӧшанвизь, CM – A’B’ дорлӧн шӧр ӧшанвизь. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.
 
  
Менелай теорема. Мед B чут куйлӧ AC вундӧгын, F чут куйлӧ AE вундӧгын, BE да CF вомӧнасьӧны D чутын. Сэки (AB : BC)(CD : DF)∙(EF : AE) = 1.
+
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''''HC''.
  
Эскӧдӧм. Мед FG ӧтнырвизя AB-кӧд. Сэки ABE да FGE куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна FE : AE = GF : AB; FGD да CBD куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна FG : DF = BC : CD. Сідзкӧ, (FE : AE)∙AB = (BC : CD)∙DF, кытысь (AB : BC)∙(CD : DF)(EF : AE) = 1.
+
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''''HC''.
  
Чева теорема. Мед ABC куимпельӧсаын K, L да M чутъяс куйлӧны BC, AC да AB вылын. Мед AK, BL да CM вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1.
+
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.
  
Эскӧдӧм. Мед O –  AK, BL да CM вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелай теорема серти, (AM : MB)∙(BO : OL)∙(CL : AC) = 1, (CK : KB)(BO : OL)∙(AL : LC) = 1. Сідзкӧ, (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1.
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².
  
Теорема (мӧдара). Мед ABC куимпельӧсаын K, L да M чутъяс куйлӧны BC, AC да AB вылын. Мед (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1. Сэки AK, BL да CM вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
+
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.
  
Эскӧдӧм. Мед M’ чут куйлӧ AB вылын, AK, BL да CM’ вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (AM’ : MB’)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1. Сідзкӧ, AM : MB = AM’ : MB’. Та вӧсна M = M’.
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.
  
Кывкӧртӧд. Куимпельӧсалӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
+
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.
  
Кывкӧртӧд. Куимпельӧсалӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.
  
Эскӧдӧм. Мед AK, BL да CM – ABC куимпельӧсалӧн биссектрисаяс. Сэки AM : MB = AC : CB, BK : KC = BA : AC, CL : LA = CB : BA. Сідзкӧ, (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = (AC : CB)∙(BA : AC)∙(CB : BA) = 1. Воддза теорема серти, AK, BL да CM вомӧнасьӧны ӧти чутын.
+
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.
  
Кывкӧртӧд. Куимпельӧсалӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
+
Чутсянь веськыд визьӧдз ылнаӧн шусьӧ чутсяньыс веськыд визьӧдз нуӧдӧм перпендикуляр кузьта.
  
Эскӧдӧм. Мед AK, BL да CM – ABC куимпельӧсалӧн судтаяс. ALB да AMC куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, AM : LA = CM : BL. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: BK : MB = AK : CM, CL : CK = BL : AK. Сідзкӧ, (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = (AM : AL)∙(BK : MB)∙(CL : KC) = (CM : BL)∙(AK : CM)∙(BL : AK) = 1. Та вӧсна AK, BL да CM вомӧнасьӧны ӧти чутын.
+
'''Теорема.''' Пельӧс биссектрисавывса быд чут ӧтылнаын пельӧс доръяссянь.
  
==Эрд==
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектриса вылын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.
  
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.
+
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чут кӧ пельӧс доръяссяньыс ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ биссектриса вылын.
  
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ пельӧс пытшкын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;
 
  
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5
+
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
  
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.
  
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.
+
'''Теорема.''' Вундӧг шӧр перпендикулярса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.
  
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.
  
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.
+
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.
  
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Сэки ''MC'' — медиана да судта, та вӧсна сійӧ ''AB'' вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.
SABCD = SABD + SCBD =  SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.
 
  
Висьталӧм. Мед  ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.
+
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
  
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.
  
Висьталӧм. Мед  ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.
+
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
  
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ:
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,
+
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.
 
  
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.
+
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.
  
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.
  
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.
+
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.
 
 
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,
 
ac = SABCD = 2S∆ABC.
 
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.
 
 
 
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.
 
  
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.
 
 
 
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.
 
 
 
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,
 
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.
 
 
 
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.
 
 
 
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,
 
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.
 
  
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.
+
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
  
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.
 
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.
 
  
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.
+
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
  
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.
+
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
  
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.
  
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.
+
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.
  
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь.  
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.
  
 
==Кытшвизь==
 
==Кытшвизь==
Строка 365: Строка 337:
 
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.
 
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.
  
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялана мегыръяс.
+
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.
  
 
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]
 
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]
Строка 377: Строка 349:
 
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.
 
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.
  
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Тайӧ ӧтыджда мегыръяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.
+
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.
  
 
===Циркуль да линейка отсӧгӧн мыгӧръяс артмӧдӧм===
 
===Циркуль да линейка отсӧгӧн мыгӧръяс артмӧдӧм===
Строка 393: Строка 365:
 
'''Подулалӧм.''' Артмӧдӧм серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромблӧн аслун серти, сылӧн диагональясыс лоӧны ӧта-мӧдыслы перпендикуляръясын да вомӧнасьӧны асланыс шӧр чутъясын.
 
'''Подулалӧм.''' Артмӧдӧм серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромблӧн аслун серти, сылӧн диагональясыс лоӧны ӧта-мӧдыслы перпендикуляръясын да вомӧнасьӧны асланыс шӧр чутъясын.
  
===Инман веськыдъяс===
+
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визь вывса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр.
 +
 
 +
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]
 +
 
 +
'''Артмӧдӧм.''' Циркуль отсӧгӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.
 +
 
 +
'''Веськыд визь ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визь ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр.
 +
 
 +
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]
 +
 
 +
'''Артмӧдӧм.''' Циркуль отсӧгӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визькӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс мунӧ ''A'' чут пыр, сійӧ лоӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.
 +
 
 +
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны сетӧм пельӧслы биссектриса.
 +
 
 +
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]
  
Урчитӧм. Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд; мед вомӧнасян чутӧ гижтӧм радиус да веськыд визьыс ӧшанвизьлунаӧсь. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыдӧн, вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.
+
'''Артмӧдӧм.''' Сетӧма ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.
  
Висьталӧм. Инман веськыд вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд сӧмын ӧти чутын.
+
===Инман веськыд визь===
  
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьыслӧн шӧрчут, A – инман чут, B – веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ, AOB – веськыдпельӧса куимсэрӧг, OB – сылӧн гипотенуза. Та вӧсна OB > OA да B чут оз куйлы кытшвизь вылын.
+
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.
  
Висьталӧм. Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд сӧмын ӧти чутын. Сэки найӧ инмӧдчӧны.
+
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]
  
Эскӧдӧм. Мед A – кытшвизь веськыд визькӧд вомӧнасян чут, O – кытшвизьыслӧн шӧрчут. Нуӧдам O чутысь веськыд визьлань OB перпендикуляр. B чут кӧ оз лӧсяв A чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас C чутсӧ сідз, медым B юкліс AC вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык ӧткодь куимпельӧса: OBA да OBC. Сідзкӧ, OC = OA да C лоӧ кытшвизь веськыд визькӧд мӧд вомӧнасян чут.
+
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.
  
Висьталӧм. Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.
+
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]
  
Эскӧдӧм. Мед O кытшвизьыслӧн шӧрчут, A – кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, OB – веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, R – кытшвизьыслӧн радиус, h – O чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ, OA = R, OB = h, Пифагор теорема серти, AB2 = R2 – h2. Мед A’, A’’ – мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки A’B2 = A’’B2 = R2 – h2. Сідзкӧ, AB = A’B = A’’B; тайӧ оз вермы лоны.
+
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.
  
Висьталӧм. Мед кытшвизьлӧн шӧрчутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс радиусысь ичӧтджык. Сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.
+
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.
  
Эскӧдӧм. Мед R – кытшвизьыслӧн радиус, O – кытшвизьыслӧн шӧрчут, OK – веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, OK = h. Сідзкӧ, h < R. Мед a2 = R2 – h2. Пуктам веськыд визь вылас K чутсянь кыкнанладорӧ a кузьта вундӧгъяс: AK да BK. Пифагор теорема серти, OA = OB = R. Та вӧсна A да B – кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.
+
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]
  
Висьталӧм. Мед кытшвизьлӧн шӧрчутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс радиусысь ыджыдджык. Сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.
 
  
Эскӧдӧм. Мед R – кытшвизьыслӧн радиус, O кытшвизьыслӧн шӧрчут, OK – веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, OK = h. Сідзкӧ, h > R. Мед M – веськыд визь вылын куйлысь чут. Пифагор теорема серти, OM > OK > R. Та вӧсна M чут оз куйлы кытшвизь вылын.
+
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.
  
Кывкӧртӧд. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧрчутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.
+
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===
Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧрчутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.
+
 
Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧрчутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.
+
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.
 +
 
 +
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]
 +
 
 +
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.
 +
 
 +
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.
 +
 
 +
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]
 +
 
 +
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.
 +
 
 +
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.
 +
 
 +
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]
 +
 
 +
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.
 +
 
 +
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.
 +
 
 +
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.
 +
 
 +
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.
  
 
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===
 
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===
Строка 442: Строка 449:
  
 
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.  
 
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.  
 
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.
 
 
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.
 
  
 
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.
 
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.
Строка 474: Строка 477:
  
 
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.
 
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.
 
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.
 
 
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.
 
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.
 
  
 
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.
 
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.
Строка 601: Строка 599:
 
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.
 
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.
 
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.
 
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.
 +
 +
==Эрд==
 +
 +
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.
 +
 +
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:
 +
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;
 +
 +
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5
 +
 +
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;
 +
 +
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.
 +
 +
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.
 +
 +
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.
 +
 +
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да
 +
SABCD = SABD + SCBD =  SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.
 +
 +
Висьталӧм. Мед  ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.
 +
 +
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.
 +
 +
Висьталӧм. Мед  ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.
 +
 +
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ:
 +
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,
 +
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.
 +
 +
Кывкӧртӧд. Мед  ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.
 +
 +
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.
 +
 +
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.
 +
 +
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,
 +
ac = SABCD = 2S∆ABC.
 +
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.
 +
 +
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.
 +
 +
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,
 +
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.
 +
 +
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.
 +
 +
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,
 +
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.
 +
 +
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.
 +
 +
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,
 +
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.
 +
 +
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.
 +
 +
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.
 +
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.
 +
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.
 +
 +
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.
 +
 +
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.
 +
 +
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.
 +
 +
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.
 +
 +
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь.
 +
 +
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.
 +
 +
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.
 +
 +
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.
 +
 +
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.
 +
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.
  
 
==Содтӧд юӧр==
 
==Содтӧд юӧр==
  
 
[[Category:Математика школаын]]
 
[[Category:Математика школаын]]

Текущая версия на 18:28, 26 кос му 2024

Медводдза юкӧн тані.

Фалеслӧн теорема

Фалеслӧн теорема. Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь A, B, C да D чутъяс, а мӧд дорас — A’, B’, C’ да D’ чутъяс, та дырйи AA’, BB’, CC’, DD’ куйлӧны параллель ногӧн, а AB да CD вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки A’B’ = C’D’.

Phales11.jpg

Подулалӧм. Гижтам A’C’-лы параллель ногӧн веськыд визьяс A да C чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ BB’-кӧд K чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ DD’-кӧд L чутын. Миян артмӧ: AA’B’K да CC’D’L — параллелограммъяс.

Параллелограммлӧн аслун серти, A’B’ = AK, C’D’ = CL.

Петкӧдлам, мый AK = CL. Сы могысь видлалам ABK да CDL куимсэрӧгъяссӧ.

Миян артмӧ:

1) AKCL (найӧ кыкнанныс A’C’-лы параллельяс да), ∠KAB да ∠LCD — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠KAB = ∠LCD;

2) BKLD (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠KBA да ∠LDC — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠KBA = ∠LDC;

3) AB = CD (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).

Сідзкӧ ABK да CDL куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна AK = CL.

Миян артмис: A’B’ = AK, C’D’ = CL, AK = CL. Сідзкӧ A’B’ = C’D’.

Шӧр визь

Куимсэрӧгын шӧр визь

Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.

Sher viz.jpg

Теорема. Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.

Sher viz par.jpg

Подулалӧм. Мед ABC — куимсэрӧг, DAB-лӧн шӧр чут, EBC-лӧн шӧр чут. Гижтам D чут пыр AC-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ BC-кӧд F чутын. AD = DB, DFAC; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, CF = FB. Та вӧсна FBC-лӧн шӧр чут, кыдзи и E чут. Сідзкӧ F = E да DEAC.

Теорема. Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.

Sher viz dzyn456.jpg

Подулалӧм. Мед ABC — куимсэрӧг, DAB-лӧн шӧр чут, EBC-лӧн шӧр чут, F — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, DEAC, EFAB, найӧ ABC-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ADEF — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, DE = AF. Но FAC-лӧн шӧр чут; сідзкӧ AF = AC/2. Со миян и артмис: DE = AC/2.

Трапецияын шӧр визь

Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.

Tr shoer viz.jpg

Теорема. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.

Tr shoer viz1 0.jpg

Подулалӧм. Мед ABCD — трапеция, AB да CD — сылӧн боквыв доръяс, EAB-лӧн шӧрчут, FCD-лӧн шӧрчут. Гижтам E чут пыр AD-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ CD-кӧд G чутын. AE = BE, EGADBC; сідзкӧ, Фалес теорема серти, CG = GD. Та вӧсна GCD-лӧн шӧрчут, кыдзи и F чут. Сідзкӧ F = G да EFAD.

Теорема. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.

Shoer viz tr kuzta.jpg

Подулалӧм. Мед ABCD — трапеция, AD да BC — сылӧн подувъяс, EF — шӧр визьыс. Гижтам B чут пыр CD‐лы параллель. Сылысь AD‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям G‐ӧн; EF да BG‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям H‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, EF лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ HBCF да GHFD — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ BC = HF = GD.

Таысь кындзи, AGEH, AE = BE. Фалеслӧн теорема серти, BH = HG. Сідзкӧ EH лоӧ ABG куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ EH = AG/2.

Миян артмӧ:

EF = EH + HF = BC + AG/2 = BC + (ADGD)/2 =

= BC + (ADBC)/2 = (AD + BC)/2.

Фалеслӧн мӧд теорема

Ми шуам: AB да CD, EF да GH вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор AB : CD да EF : GH юкасъяс ӧткодьӧсь:

AB : CD = EF : GH.

Мед AB да CD, EF да GH вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки 1) AB да EF, CD да GH пропорцияынӧсь; 2) ABGH = CDEF.

Теорема. Мед E да F чутъяс куйлӧны AB да CD вундӧгъяс вылын, AE да BE, CF да DF вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки AE да AB, CF да CD вундӧгъяс пропорцияынӧсь.

Proporc.jpg

Подулалӧм. Миян артмӧ пропорция: AE : BE = CF : DF; сідзкӧ, BE : AE = DF : CF. Та вӧсна

(BE : AE) + 1 = (DF : CF) + 1,

кытысь артмӧдам

(BE + AE) : AE = (DF + CF) : CF.

Аксиома серти,

BE + AE = AB, DF + CF = CD.

Сідзкӧ, AB : AE = CD : CF, кытысь AE : AB = CF : CD.

Фалеслӧн мӧд теорема. Мед A да B чутъяс куйлӧны O йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, C да D чутъяс — мӧд дор вылын, ACBD. Сэки OA да OB, OC да OD вундӧгъяс пропорцияынӧсь.

Fales pr.jpg

Подулалӧм. Мед, шуам, A чут куйлӧ O да B чутъяс костын. Петкӧдлам:

OA : AB = OC : CD.

Воддза теорема серти, миян артмас OA : OB = OC : OD.

Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор OA : AB = p : q, кӧні p да q — дзонь плюса лыдъяс.

Юклам OA вундӧгсӧ p пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс OA : p кузьтаӧсь); AB вундӧгсӧ юклам q пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс AB : q кузьтаӧсь).

Fales pr pod.jpg

Пропорцияысь аддзам: OA : p = AB : q. Сідзкӧ, OB вундӧг юклӧма p + q пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда. Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр BD-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны OD вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; OC вундӧгыс кутӧ p ӧтыджда вундӧг, CD вундӧгыс — q ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, OC : CD = p : q = OA : AB.

Теорема (мӧдара). Мед A да B чутъяс куйлӧны O йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, C да D чутъяс — мӧд дор вылын, OA да OB, OC да OD вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ACBD.

Fales pr2.jpg

Подулалӧм. Нуӧдам A чут пыр BD-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд E чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, OA : OB = OE : OD. Сідзкӧ OE = OAOD/OB = OC. Та вӧсна E = C да ACBD.

Ӧтсяма куимсэрӧгъяс

ABC да A’B’C’ куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆ABC ~ ∆A’B’C’), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’) да доръясыс пропорцияынӧсь (AB : A’B’ = BC : B’C’ = CA : C’A’).

Теорема. Мед ABC — куимсэрӧг, D чут куйлӧ AB дор вылын, E чут куйлӧ AC дор вылын, DEBC. Сэки ABC да ADE куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.

Подулалӧм.D = ∠B, ∠E = ∠C, найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠A куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, AD : AB = AE : AC.

Колис петкӧдлыны: AD : AB = DE : BC.

Мед F чут куйлӧ AB дор вылын, BF = AD; G чут куйлӧ BC дор вылын, FGAC. Сэки ∠EAD = ∠GFB, ∠EDA = ∠GBF кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ EAD да GFB куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ED = GB.

Фалеслӧн мӧд теорема серти, GB : BC = BF : AB. Сідзкӧ ED : BC = AD : AB.

Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.

Теорема. Мед ABC да A’B’C’ куимсэрӧгъяслӧн ∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’. Сэки ABC да A’B’C’ куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.

Подулалӧм. Мед, шуам, A’B’AB. Мед M чут куйлӧ AB дор вылын, AM = A’ B’, N чут куйлӧ AC дор вылын, AN = A’C’. Сэки ∆AMN = ∆A’B’C’ медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠NMA = ∠C’B’A’ = ∠CBA. Сідзкӧ, MNBC. Воддза теорема серти, AMN да ABC куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, A’B’C’ да ABC куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.

Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.

Теорема. Мед ABC да A’B’C’ куимсэрӧгъяслӧн ∠A = ∠A’, AB : A’B’ = AC : A’C’. Сэки ABC да A’B’C’ куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.

Подулалӧм. Мед, шуам, A’B’AB. Мед M чут куйлӧ AB дор вылын, AM = A’ B’, N чут куйлӧ AC дор вылын, AN = A’C’. Сэки ∆AMN = ∆A’B’C’ медводдза тӧдмӧс серти да, AB : AM = AC : AN. Фалеслӧн теорема серти, MNBC. Миян артмӧ: ∆AMN ~ ∆ABC. Та вӧсна A’B’C’ да ABC куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.

Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.

Теорема. Мед ABC да A’B’C’ куимсэрӧгъяслӧн AB : A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’. Сэки ABC да A’B’C’ куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.

Подулалӧм. Мед k = AB : A’B’ = AC : A’C’. Мед M чут куйлӧ AB дор вылын, AM = A’ B’, N чут куйлӧ AC дор вылын, AN = A’C’. Сэки AMN да ABC куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да AM : AB = AN : AC = MN : BC. Но AM : AB = A’B’ : AB = k. Сідзкӧ, MN = kBC = B’C’. Та вӧсна AMN да A’B’C’ куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ABC да A’B’C’ куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.

Кывкӧртӧд. Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.

Теорема. Мед ABC да A’B’C’ — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, BL да B’L’ — налӧн биссектрисаяс. Сэки BL : B’L’ = AB : A’B’.

Подулалӧм. BL да B’L’ биссектрисаяс, та вӧсна ∠ABL = ∠ABC/2 = ∠A’B’C’/2 = ∠A’B’L’. ∆ABC ~ ∆A’B’C’; сідзкӧ, ∠BAL = ∠B’A’L’. Та понда ∆ABL ~ ∆A’B’L’ медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, BL : B’L’ = AB : A’B’.

Теорема. Мед ABC да A’B’C’ — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, BM да B’M’ — налӧн медианаяс. Сэки BM : B’M’ = AB : A’B’.

Подулалӧм. BM да B’M’ медианаяс, та вӧсна AM = AC/2, A’M’ = A’C’/2, кытысь артмӧдам: AM : A’M’ = AB : A’B’. ∆ABC ~ ∆A’B’C’; сідзкӧ, ∠BAM = ∠B’A’M’. Та понда ∆ABM ~ ∆A’B’M’ мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, BM : B’M’ = AB : A’B’.

Теорема. Мед ABC да A’B’C’ — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, BH да B’H’ — налӧн судтаяс. Сэки BH : B’H’ = AB : A’B’.

Подулалӧм. BH да B’H’ судтаяс, та вӧсна ∠AHB = 90° = ∠A’H’B’. ∆ABC ~ ∆A’B’C’; сідзкӧ, ∠BAH = ∠B’A’H’. Та понда ∆ABH ~ ∆A’B’H’ медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, BH : B’H’ = AB : A’B’.

Теорема. Мед ABC куимсэрӧгын AK да BM — медианаяс, O — налӧн вомӧнасян чут. Сэки AO : OK = BO : OM = 2 : 1.

Подулалӧм. KMABC куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, KMAB, AB : KM = 2 : 1. Та вӧсна ∠KAB = ∠AKM, ∠MBA = ∠BMK (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆OAB ~ ∆OKM медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: AO : OK = BO : OM = AB : KM = 2 : 1.

Кывкӧртӧд. Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Подулалӧм. Мед AK, BM да CNABC куимсэрӧглӧн медианаяс, OAK да BM-лӧн вомӧнасян чут, O’AK да CN-лӧн вомӧнасян чут. Сэки AO : OK = 2 : 1, AO’ : O’K = 2 : 1. Та вӧсна O’ = O.

Теорема. Мед BLABC куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки AL : LC = AB : BC.

Подулалӧм. BL кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆ABL = ∆CBL мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, AL : LC = AB : BC = 1. Мед, шуам, ALB пельӧс ёсь. Мед M чут куйлӧ BL визьньӧв вылын, AM = BM. Сэки ∠AML = ∠ALM (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠ALM = ∠BLC (сувтса пельӧсъяс). Сідзкӧ, ∠ABM = ∠CBL, ∠AMB = ∠CLB. Та вӧсна ∆ABM ~ ∆CBL медводдза тӧдмӧс серти да AB : BC = AM : LC = AL : LC.

Теорема. Мед ABC — бур пельӧса куимсэрӧг, B — сылӧн бур пельӧс, BH — судтаыс. Сэки ABC, AHB да BHC куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.

Подулалӧм. ABC, AHB да BHC — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠BAC = ∠HAB = ∠HBC. Сідзкӧ ∆ABC ~ ∆AHB ~ ∆BHC медводдза тӧдмӧс серти.

Пифагорлӧн теорема

Теорема. Мед ABC — бур пельӧса куимсэрӧг, B — сылӧн веськыд пельӧс, BH — судтаыс. Сэки BH² = AHHC.

Подулалӧм. Воддза теорема серти, ∆AHB ~ ∆BHC; сідзкӧ, AH : HB = HB : HC. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, BH² = AHHC.

Пифагорлӧн теорема. Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.

Подулалӧм. Мед ABC — бур пельӧса куимсэрӧг, B — сылӧн веськыд пельӧс. ∆ABC ~ ∆AHB да, AH : AB = AB : AC; ∆ABC ~ ∆BHC да, HC : BC = BC : AC. Сідзкӧ, ACAH = AB², ACHC = BC². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: AC∙(AH + AC) = AB² + BC². Миян артмӧ: AC² = AB² + BC².

Кывкӧртӧд. Мед ABC да A’B’C’ — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, B да B’ — бур пельӧсъяс, AB : A’B’ = AC : A’C’. Сэки ABC да A’B’C’ куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.

Подулалӧм. Мед AB = kA’B’. Сэки AC = kA’C’. Пифагор теорема серти, BC² = AC² – AB² = k²(A’C’² – A’B’²) = k²B’C’², кытысь артмӧ BC = kB’C’. Та вӧсна AB : A’B’ = BC : B’C’ да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.

Теорема. Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.

Подулалӧм. Мед ABC куимсэрӧглӧн AB² + BC² = AC². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг AB да BC кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза AC кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ABC-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ABC пельӧсыс веськыд.

Видлӧг. Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.

Чутсянь веськыд визьӧдз ылнаӧн шусьӧ чутсяньыс веськыд визьӧдз нуӧдӧм перпендикуляр кузьта.

Теорема. Пельӧс биссектрисавывса быд чут ӧтылнаын пельӧс доръяссянь.

Подулалӧм. Мед A — пельӧслӧн йыв, M чут куйлӧ биссектриса вылын, K да L чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, MKAK, MLAL. Сідзкӧ, ∆MKA = ∆MLA гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна MK = ML.

Теорема. Пельӧс пытшкӧсса чут кӧ пельӧс доръяссяньыс ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ биссектриса вылын.

Подулалӧм. Мед A — пельӧслӧн йыв, M чут куйлӧ пельӧс пытшкын, K да L чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, MKAK, MLAL, MK = ML. Сідзкӧ, ∆MKA = ∆MLA гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠MAK = ∠MAL.

Теорема. Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Подулалӧм. Мед ABC куимсэрӧгса A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны O чутын. Сэки O чут ӧтылнаын AB да AC доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын AB да BC доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын AC да BC доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ C пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны O чут пыр.

Теорема. Вундӧг шӧр перпендикулярса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.

Подулалӧм. Мед AB — вундӧг, C — сылӧн шӧр чут, l — шӧр перпендикуляр, M чут куйлӧ l вылын. Сэки MCA да MCB куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, AM = BM.

Теорема. Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.

Подулалӧм. Мед AB — вундӧг, MA = MB. Сэки AMB — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед MC — сылӧн биссектриса. Сэки MC — медиана да судта, та вӧсна сійӧ AB вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.

Теорема. Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Подулалӧм. Мед ABC — куимсэрӧг, OAB да AC доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки OA = OB, OA = OC. Сідзкӧ, OB = OC. Та вӧсна O чут куйлӧ BC дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.

Теорема. Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Подулалӧм. Мед ABC — куимсэрӧг, AK, BL, CM — сылӧн судтаяс. Нуӧдам A, B да C чутъяс пыр BC-кӧд, AC-кӧд да AB-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны A’, B’ да C’ чутъясын. ABA’C да AC’BC — параллелограммъяс. Сідзкӧ, C’B = AC = BA’ да BLA’C’ дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: AKB’C’ дорлӧн шӧр перпендикуляр, CMA’B’ дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Менелайлӧн теорема. Мед B чут куйлӧ AC вундӧгын, F чут куйлӧ AE вундӧгын, BE да CF вомӧнасьӧны D чутын. Сэки (AB : BC)∙(CD : DF)∙(EF : AE) = 1.

Подулалӧм. Мед FG — параллель AB-лы. Сэки ABE да FGE куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна FE : AE = GF : AB; FGD да CBD куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна FG : DF = BC : CD. Сідзкӧ, (FE : AE)∙AB = (BC : CD)∙DF, кытысь (AB : BC)∙(CD : DF)∙(EF : AE) = 1.

Чевалӧн теорема. Мед ABC куимсэрӧгын K, L да M чутъяс куйлӧны BC, AC да AB вылын. Мед AK, BL да CM вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1.

Подулалӧм. Мед OAK, BL да CM вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (AM : MB)∙(BO : OL)∙(CL : AC) = 1, (CK : KB)∙(BO : OL)∙(AL : LC) = 1. Сідзкӧ, (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1.

Теорема (мӧдара). Мед ABC куимсэрӧгын K, L да M чутъяс куйлӧны BC, AC да AB вылын. Мед (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1. Сэки AK, BL да CM вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Подулалӧм. Мед M’ чут куйлӧ AB вылын, AK, BL да CM’ вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (AM’ : MB’)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = 1. Сідзкӧ, AM : MB = AM’ : MB’. Та вӧсна M = M’.

Кывкӧртӧд. Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Кывкӧртӧд. Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Подулалӧм. Мед AK, BL да CMABC куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки AM : MB = AC : CB, BK : KC = BA : AC, CL : LA = CB : BA. Сідзкӧ, (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = (AC : CB)∙(BA : AC)∙(CB : BA) = 1. Воддза теорема серти, AK, BL да CM вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Кывкӧртӧд. Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Подулалӧм. Мед AK, BL да CMABC куимсэрӧглӧн судтаяс. ALB да AMC куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, AM : LA = CM : BL. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: BK : MB = AK : CM, CL : CK = BL : AK. Сідзкӧ, (AM : MB)∙(BK : KC)∙(CL : AL) = (AM : AL)∙(BK : MB)∙(CL : KC) = (CM : BL)∙(AK : CM)∙(BL : AK) = 1. Та вӧсна AK, BL да CM вомӧнасьӧны ӧти чутын.

Кытшвизь

кытшвизь — окружность
шӧр чут — центр
шӧр пельӧс — центральный угол
мегыр — дуга

Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.

Kytsviz.jpg

Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн. Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.

Shoer peljes1.jpg

Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.

Chord.jpg

Теорема. Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.

Peljes chord.jpg

Подулалӧм. Мед ∠AOB = ∠COD — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні A, B, C, D — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: AB = CD.

Ми аддзам: OA = OB = OC = OD (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆AOB да ∆COD куимсэрӧгъяс:

1) OA = OC, OB = OD;

2) ∠AOB = ∠COD.

Сідзкӧ ∆AOB = ∆COD медводдза тӧдмӧг серти. Та вӧсна AB = CD.

Теорема. Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.

Chord peljes.jpg

Подулалӧм. Мед ∠AOB да ∠COD — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні A, B, C, D — кытшвизьвывса чутъяс, AB = CD. Колӧ петкӧдлыны: ∠AOB = ∠COD.

Ми аддзам: OA = OB = OC = OD (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆AOB да ∆COD куимсэрӧгъяс:

1) OA = OC, OB = OD;

2) AB = CD.

Сідзкӧ ∆AOB = ∆COD коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ∠AOB = ∠COD.

Теорема. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.

Chord diam.jpg

Подулалӧм. Мед O шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма AB хорда да CD диаметр, та дырйи AB да CD — перпендикуляръяс. Пасъям M шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.

Ми аддзам: O чут куйлӧ CD вылын, OM лоӧ AOB куимсэрӧглы судтаӧн, AO = OB. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн аслун серти, OM лоӧ AOB куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: AM = MB.

Теорема. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.

Diam chord.jpg

Подулалӧм. Мед O шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма AB хорда да CD диаметр, M — налӧн вомӧнасян чут, AM = MB.

Ми аддзам: O чут куйлӧ CD вылын, OM лоӧ AOB куимсэрӧглы медианаӧн, AO = OB. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн аслун серти, OM сідзжӧ лоӧ AOB куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: CD да AB — перпендикуляръяс.

Теорема. Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.

Paral chord.jpg

Подулалӧм. Мед AB да CD — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс AB-кӧд M чутын, CD-кӧд — N чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ AM = BM, CN = DN.

Мед, шуам, ABCD. Гижтам ABDC трапециялы AP да BQ судтаяс. Миян артмӧ:

AP = BQ; PN = AM = BM = QN;

CP = CNPN = CNAM = DNBM = DNQN = DQ.

Сідзкӧ, APC да BQD куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна AC = BD. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.

Циркуль да линейка отсӧгӧн мыгӧръяс артмӧдӧм

Линейка отсӧгӧн кык торъялана чут пыр гижтӧны веськыд визь.

Циркуль отсӧгӧн гижтӧны сетӧм шӧр чута да сетӧм радиуса кытшвизь.

Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм. Сетӧма AB вундӧг. Гижтыны сылы шӧр перпендикуляр.

Artm shoer perp.jpg

Артмӧдӧм. Циркульӧн гижтам AB радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — A шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — B шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны C да D чутъясын. Линейка отсӧгӧн гижтам CD веськыд визь. Сійӧ и лоас AB‐лы шӧр перпендикулярӧн.

Подулалӧм. Артмӧдӧм серти, AC = AD = BC = BD = AB; сідзкӧ ACBD — ромб; AB да CD — сылӧн диагональяс. Ромблӧн аслун серти, сылӧн диагональясыс лоӧны ӧта-мӧдыслы перпендикуляръясын да вомӧнасьӧны асланыс шӧр чутъясын.

Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм. Веськыд визь вывса A чут пыр гижтыны перпендикуляр.

Perp vyl.jpg

Артмӧдӧм. Циркуль отсӧгӧн гижтам A шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд B да C чутъясын. Миян артмӧ: AB = AC. Циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам BC вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ A чут пыр.

Веськыд визь ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм. Веськыд визь ортсыса A чут пыр гижтыны перпендикуляр.

Perp orts.jpg

Артмӧдӧм. Циркуль отсӧгӧн гижтам A шӧрчута кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визькӧд кык чутын (пасъям найӧс B да C). Миян артмӧ: AB = AC. Циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам BC вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс мунӧ A чут пыр, сійӧ лоӧ ӧткодь берда BAC куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.

Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм. Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны сетӧм пельӧслы биссектриса.

Artm bis.jpg

Артмӧдӧм. Сетӧма A йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам A шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: B да C. Сідзкӧ AB = AC. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам BC вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ A пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда BAC куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.

Инман веськыд визь

Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.

Inman.jpg

Теорема. Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.

Inm1.jpg

Подулалӧм. Мед O — кытшвизьыслӧн шӧр чут, A — инман чут, B — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ AOB — веськыдпельӧса куимсэрӧг, OB — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ OB > OA да B чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — A.

Теорема. Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.

1inm.jpg


Подулалӧм. Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд A чутын, O — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам O чутысь веськыд визьлань OB перпендикуляр. B чут кӧ оз лӧсяв A чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас C чутсӧ сідз, медым B юкліс AC вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: OBA да OBC. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ OC = OA. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: A‐ын да C‐ын.

Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?

Теорема. Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.

3vomen.jpg

Подулалӧм. Мед O — кытшвизьлӧн шӧр чут, A — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, OB — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, R — кытшвизьыслӧн радиус, hO чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ OA = R, OB = h. Пифагор теорема серти, AB² = R² − h². Мед A’, A’’ — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки A’B² = A’’B² = R² − h². Сідзкӧ AB = A’B = A’’B; тайӧ оз вермы лоны.

Теорема. Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.

H l r.jpg

Подулалӧм. Мед R — кытшвизьыслӧн радиус, O — шӧр чутыс, OK — веськыд визьыслы перпендикуляр, OK = h. Сідзкӧ h < R. Урчитам a лыдсӧ a² = R² − h² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас K чутсянь кыкнанладорӧ a кузьта вундӧгъяс: AK да BK. Пифагор теорема серти, OA = OB = R. Та вӧсна A да B — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.

Теорема. Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.

H g r.jpg

Подулалӧм. Мед R — кытшвизьыслӧн радиус, O — кытшвизьыслӧн шӧр чут, OK — веськыд визьлы перпендикуляр, OK = h. Сідзкӧ, h > R. Мед M — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, MK. Миян артмӧ OKM бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні OM — гипотенуза, OK — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, OM > OK > R. Та вӧсна M чут оз куйлы кытшвизь вылын.

Кывкӧртӧд. 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.

2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.

3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.

Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс

Урчитӧм. Мед унапельӧсалӧн быд йыв куйлӧ кытшвизь вылын. Сэки кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.

Урчитӧм. Мед унапельӧсалӧн быд дор инмӧдчӧ кытшвизькӧд. Сэки кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.

Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса. Нуӧдам AB да AC вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Сэки AO = OB, AO = OC. Сідзкӧ, O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут.

Теорема. Куимпельӧсалӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут. Сэки OA = OB = OC. Та вӧсна O чут куйлӧ AB да AC вундӧгъяслӧн шӧр перпендикуляръяс вылын. Колис казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.

Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.

Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.

Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.

Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.

Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.

Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.

Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.

Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.

Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.

Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC. Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC. Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.

Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.

Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.

Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.

Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.

Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.

Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын. Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.

Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.

Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай. 1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ. 2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.

Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.

Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.

Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.

Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.

Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.

Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.

Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).

Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.

Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс. Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.

Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.

Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.

Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.

Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.

Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.

Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.

Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.

Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.

Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.

Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB. Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.

Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.

Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.

Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.

Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.

Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.

Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.

Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.

Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.

Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.

Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.

Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.

Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.

Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.

Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.

Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.

Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.

Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d. 1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас. 2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. 3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут. 4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. 5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.

Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.

Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.

Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.

Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.

Бур унапельӧсаяс

Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.

Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.

Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.

Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн. Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2. A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.

Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.

Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн. Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.

Эрд

Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.

Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь: 1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;

S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5

2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;

3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.

Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.

Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.

Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.

Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.

Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.

Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.

Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ, SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.

Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.

Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.

Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.

Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC, ac = SABCD = 2S∆ABC. Та вӧсна S∆ABC = ac/2.

Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ, SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.

Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.

Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB, SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.

Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.

Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ, SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.

Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.

Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын. Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab. Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.

Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.

Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.

Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.

Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.

Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь.

Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.

Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.

Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.

Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R. Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.

Содтӧд юӧр