https://wiki.komikyv.org/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=%D0%9D%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B0
Коми тӧданін - Вӧлысьлӧн чӧжӧс [kv]
2026-10-24T19:55:18Z
Вӧлысьлӧн чӧжӧс
MediaWiki 1.30.0
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%AE%D0%B3%D1%8B%D0%B4_%D1%82%D1%83%D0%B9_(1918-25,_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D0%B3%D0%B8%D0%B6%D3%A7%D0%B4%D1%8A%D1%8F%D1%81%D0%BB%D1%8B_%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D1%81%D1%8C)&diff=92174
Югыд туй (1918-25, коми гижӧдъяслы юриндалысь)
2026-10-21T16:43:15Z
<p>Наста: </p>
<hr />
<div>Тані шӧр коми газетса коми гижӧдъяслы юриндалысь. Газетлӧн нимыс:<br />
*1918–1920: «Зырянская жизнь»<br />
*1919ʼ вося апрель-юньын: «В Зырянском краю»<br />
*1921ʼ во воддза джынйын: «Удж»<br />
*1921ʼ во шӧрсянь «Югыд туй»<br />
<br />
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="text-align:center; border:1px solid #aaa; border-collapse:collapse"<br />
|1918-06-22<br />
|№4<br />
| Лб. 4: "Водзе" кб (Н.А. Шаков); [http://komikyv.org/kpv/node/30255 Ивӧ Ёгор статьяын]<br />
|-<br />
|1918-08-11<br />
|№ 16<br />
|Лб. 4: "Помоздинъ" ст (роча-комиа); [http://komikyv.org/kpv/node/9429 коми частушкаяс]; оригинал блокнотӧ гижӧма<br />
|-<br />
|1918-08-18<br />
|№ 18<br />
|Лб. 3: "Гӧрд звӧн" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30582 *]<br />
|-<br />
|1918-08-27<br />
|№ 20<br />
|Лб. 3: "Ыджид бӧрдэм" (Нёбдінса Виттор); мӧд редакция эм небӧгын; оригинал блокнотӧ гижӧма [http://komikyv.org/kpv/node/35507 *]<br />
|-<br />
|1918-09-12<br />
|№ 25<br />
|Лб. 3: "Вокъяс! Мед полысь оз повзи..." (Зырянин) [http://komikyv.org/kpv/node/33553 *]<br />
|-<br />
|1918-09-14<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Вундэм" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/33173 *]<br />
|-<br />
|1918-11-07<br />
|№ 35<br />
|Лб. 3"Ыджыд вӧля" (Бур Морт) [http://komikyv.org/kpv/node/33914 *]<br />
|-<br />
|1918-11-29<br />
|№ 39<br />
|Лб. 2: "Озырлы, сарйаслы пом!" [http://komikyv.org/kpv/node/33543 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1918-12-08<br />
|№ 41<br />
|Лб. 2: "Чолом" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30584 *]<br />
|-<br />
|1918-12-13<br />
|№ 42<br />
|Лб. 1: "Регыд лоӧ..." ст [http://komikyv.org/kpv/node/29668 *]<br />
|-<br />
|1918-12-13<br />
|№ 42<br />
|Лб. 2-3: "Кык револьуціа" (А.М.) [http://komikyv.org/kpv/node/33536 *]<br />
|-<br />
|1918-12-18<br />
|№ 43<br />
|Лб. 1: "Посньі йӧз" ст [http://komikyv.org/kpv/node/29669 *]<br />
|-<br />
|1918-12-18<br />
|№ 43<br />
|Лб. 3: "Тӧвса рыт" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30585 *]<br />
|-<br />
|1918-12-22<br />
|№ 44<br />
|Лб. 1: "Паськыд Комі муыд..." ст [http://komikyv.org/kpv/node/31725 *]<br />
|-<br />
|1918-12-22<br />
|№ 44<br />
|Лб. 3: "Гіжӧд тӧварышйаслы коми йӧзлы" (Ипполит Саввин) [http://komikyv.org/kpv/node/34762 *]<br />
|-<br />
|1918-12-22<br />
|№ 44<br />
|Лб. 4: Интернационал [http://komikyv.org/kpv/node/34763 *]<br />
|-<br />
|1918-12-26<br />
|№ 45<br />
|Лб. 3: "Шогсись ныв" (Юсь) [http://komikyv.org/kpv/node/34764 *]<br />
|-<br />
|1919-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 1: "Выль во" ст [http://komikyv.org/kpv/node/33791 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 4: "Коды?" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30586 *]<br />
|-<br />
|1919-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 6: Ичӧт текст комиӧн<br />
|-<br />
|1919-01-05<br />
|№ 2<br />
|Лб. 2: "Коньӧрасӧй ті, том йӧзӧй" кб (Коми велӧдчысь) [http://komikyv.org/kpv/node/33792 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-16<br />
|№ 4<br />
|Лб. 2: "Кык во нин кольны кутіс" (Илля Вась) [https://komikyv.org/kpv/node/33793 *]; фото<br />
|-<br />
|1919-01-22<br />
|№ 5<br />
|Лб. 2: "Коми йӧзлы" (Н. Попов) [http://komikyv.org/kpv/node/33794 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. 2-3: "Кывзъі кодъі пэля" (Лазар) [http://komikyv.org/kpv/node/33795 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. 3-4: "Ежва вожса тӧварышйаслы" (Носьімса) [http://komikyv.org/kpv/node/33796 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. 4: "Гажа-ін муса-ін" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30583 *]<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
| Лб. 5: "Йанварын 24, 25 лунйа" (В.Л.)<br />
|-<br />
|1919-02-23<br />
|№ 9<br />
|Лб. 3: коми сьыланкыв [http://komikyv.org/kpv/node/33797 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-07-31<br />
|№ 38<br />
|Лб. 2: "Мый керны?" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30587 *]<br />
|-<br />
|1919-08-27<br />
|№ 48<br />
|Лб. 2: "Кібраса Кульіковлы" (ичӧт юӧр)<br />
|-<br />
|1919-09-07<br />
|№ 50<br />
|Лб. 4: "Мӧдысь" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30588 *]<br />
|-<br />
|1919-09-07<br />
|№ 50<br />
|Лб. 6: "Кыдйа роч" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30485 *]<br />
|-<br />
|1919-09-18<br />
|№ 54<br />
|Лб. 2: "Сӧветскӧй" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30589 *]<br />
|-<br />
|1919-09-27<br />
|№ 58<br />
|Лб. 2: "Нальк" Нёбдінса Виттор [http://komikyv.org/kpv/node/33790 *]<br />
|-<br />
|1919-11-07<br />
|№ 74<br />
|Лб. 3: "Чераньйяс, гутйас" кб (Варыш) [http://komikyv.org/kpv/node/32476 *]<br />
|-<br />
|1919-12-05<br />
|№ 77<br />
|Лб. 2: "Губерньатӧм Губернатор" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30595 *]<br />
|-<br />
|1920-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 3-4: "Гудрасьӧм" (Нёбдінса Виттор; Міча Матрӧн гусянимӧн) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/35494 *]<br />
|-<br />
|1920-03-03<br />
|№ 17<br />
|Лб. 1: "Медбӧрйа звӧн" (Ньобдінса Віттор) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/35495 *]<br />
|-<br />
|1920-03-17<br />
|№ 21<br />
|Лб. 2: "Локтӧ коммуна" (Варыш) [http://komikyv.org/kpv/node/32475 *]<br />
|-<br />
|1920-03-26<br />
|№ 23<br />
|Лб. 2: "Дона гу вылын" (Ньобдінса Віттор) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/30606 *]<br />
|-<br />
|1920-04-21<br />
|№ 31<br />
|Лб. 1: "Кык туй" (Варыш) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/32474 *]<br />
|-<br />
|1920-04-24<br />
|№ 32<br />
|Лб. 2: "Кор долыд?" (Ньобдінса Віттор) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/30596 *]<br />
|-<br />
|1920-06-07<br />
|№ 43<br />
|Лб. 2: "Чушканлы" (ичӧт юӧр)<br />
|-<br />
|1920-08-07<br />
|№ 58<br />
|Лб. 2: "Интернационал" (В. Савін, А. Маегов, В. Чістальов) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/29453 *]<br />
|-<br />
|1920-08-25<br />
|№ 61<br />
|Лб. 2: "Саԃмӧԁчы пемыԁ комі ныв-баба..." (лозунг) НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1920-08-27<br />
|№ 62<br />
|Лб. 1: Мый-понда ӧнъи вӧчьӧны переписьяс (статья) НЭБ [http://www.komikyv.org/kpv/node/36872 *] фото<br />
|-<br />
|1920-10-09<br />
|№ 67<br />
|Лб. 2: "Југыԁлаԋ!" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30599 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1920-10-16<br />
|№ 69<br />
|Лб. 2: "Ем-кӧ шог — ем і мог" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35496 *] фото<br />
|-<br />
|1920-10-27 <br />
|№ 71<br />
|Лб. 1: "Прансузкӧј кіры-нары" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35497 *] фото<br />
|-<br />
|1920-10-30<br />
|№ 72<br />
|Лб. 1: "Том војтыр, саԃмӧ! Пӧрыԍјас, лаԋтӧ!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30600 *] фото<br />
|-<br />
|1920-11-07<br />
|№ 73<br />
|Лб. 1: "Уҗалыԍ јӧз!.." (лозунг) НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1920-11-07<br />
|№ 73<br />
|Лб. 2: "1917 — окԏаб — 1920" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35498 *] фото<br />
|-<br />
|1920-11-13<br />
|№ 74<br />
|Лб. 2: "Гажа саԁ" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30601 *] фото<br />
|-<br />
|1920-11-18<br />
|№ 75<br />
|Лб. 2: "Ԍӧлӧм ԍылӧм" кб (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30602 *] фото<br />
|-<br />
|1920-12-11<br />
|№ 80<br />
|Лб. 1: "Комі ӧтлаԍӧм јылыԍ" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/35503 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; Лб. 2: Меԁа (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30681 *]; Лб. 3: Јереԏԋічество (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/35505 *] НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1920-12-18<br />
|№ 81<br />
|Лб. 2: Меԁа (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/30681 *] фото<br />
|-<br />
|1920-12-23<br />
|№ 82<br />
|Лб. 1: юӧр: "Ставным тӧԁам..." НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35506 *] фото<br />
|-<br />
|1921-01-01<br />
|№ 1 Удж<br />
|Лб. 1: "Выԉ во" ст (Ԋобдінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36460 *] фото<br />
|-<br />
|1921-01-12<br />
|№ 2<br />
|Лб. 1: "Комі војтыр!.." (лозунг); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-01-21<br />
|№ 4<br />
|Лб. 1: "Быԁтор мі кужны кутам..." (юӧр); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-01-21<br />
|№ 4<br />
|Лб. 1-2: "Комі Інԍԏітут" кб + ст (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36461 *] фото<br />
|-<br />
|1921-01-26<br />
|№ 5<br />
|Лб. 1 "Быԁӧнлы колӧ..." лозунг; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. ? Пошта куԁ; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; ӧти шыпас клеитӧма<br />
|-<br />
|1921-02-02<br />
|№ 7<br />
|Лб. 1: "Віԁчыԍӧј! Пеԉкӧԁчӧј! Локтӧ бара біја-віԍӧм!" (Агас); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/36462 *] фото<br />
|-<br />
|1921-02-02<br />
|№ 7 <br />
|Лб. 2: "Мыј те талун..." лозунг; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-02-02<br />
|№ 7 <br />
|Лб. 2: "Вічко служба ԁа проповӧԃ" кб юкӧн (Јогор Коԉегов); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-02-09<br />
|№ 8<br />
|Лб. 2: "Пармаын вотчӧны посԋыԃік чеԉаԃ" (В. Пеԁӧр); тетрадьын [http://komikyv.org/kpv/node/27032 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-02-09<br />
|№ 8<br />
|Лб. 3: "Баба вӧтаԍӧм" (А. Пӧрԏіс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36463 *] фото<br />
|-<br />
|1921-02-12<br />
|№ 9<br />
|Лб. 2: "Дяденька Миша-јылыԍ мојԁан-кыв" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36464 *] фото<br />
|-<br />
|1921-02-26<br />
|№ 11<br />
|Лб. 1: "Кӧԇтӧм му вылын..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; фото<br />
|-<br />
|1921-03-02<br />
|№ 12<br />
|Лб. 1: "Кыԇі коміӧн лыԃԃыны?" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''', фото; [http://komikyv.org/kpv/node/36465 *]; "Важӧн і ӧні" (Јогор Коԉегов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36671 *]<br />
|-<br />
|1921-03-06<br />
|№ 13<br />
|Лб. 2: "Комі гіжыԍјаслы" (Віԇ); $сэсся водзӧ гижӧм, "Ԍіԅ" кырымпасӧн '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36672 *], фото<br />
|-<br />
|1921-03-06<br />
|№ 13<br />
|Лб. 4: "Тӧдан-он, Комі ныв-баба?" (Комі-ныв) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36673 *]; "Ез ков вӧчны ныв-баба тӧԁтӧг" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36674 *]; "Кыпӧԁчӧны" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36675 *]<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 1: "Комі Респубԉіка јылыԍ" эм фото; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36681 *]<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 2: "Ог вермы" кб (Ј. Коԉегов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36694 *]; "Ен тӧжԁыԍ! Ен шогԍы!" кб (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30604 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' + нӧшта коми текст? фото<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 3: "Коԉӧма-тај" кб (Віԅ) [http://komikyv.org/kpv/node/35312 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''', фото<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 4: "Уҗалӧј таԇі – быԁтор лоӧ!" (Браԏінков) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36692 *]<br />
|-<br />
|1921-03-18<br />
|№ 16<br />
|Лб. 1: "Паріжса Коммуна" (Віԅ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36704 *]<br />
|-<br />
|1921-03-18<br />
|№ 16<br />
|Лб. 3: "Ыҗыԁ шог" кб (Ԍіԅ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-18<br />
|№ 16<br />
|Лб. 4: "Мојԁ-збыԉ" (Ыщкыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36705 *]<br />
|-<br />
|1921-03-23<br />
|№ 17<br />
|Лб. 1: "Ыҗыԁ тујвеж" ст (Агас) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36706 *]<br />
|-<br />
|1921-03-23<br />
|№ 17<br />
|Лб. 3: "Выԉ закон ԋаԋ јылыԍ" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36707 *]; "Сар" кб (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36709 *]<br />
|-<br />
|1921-03-26<br />
|№ 18<br />
|Лб. 2: "Кыланныԁ, креԍԏана!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36708 *]; "Јенлы" кб (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36710 *]<br />
|-<br />
|1921-03-26<br />
|№ 18<br />
|Лб. 4: "Колӧ чышкыштны" ст (С.М.) [http://komikyv.org/kpv/node/30256 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 1: "Креԍԏана! Кылӧԁӧј вӧрнытӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 1: "Кылӧԁӧј вӧрнытӧ!" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/32503 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 2: "Ытва-ԁырјы" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36711 *]<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 2-3: 2 статья комиӧн "По уезду" юкӧнысь: "Село Летка" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36712 *]; "Ныв-баба саԃмӧны" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36713 *]<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 3: "Том нывјаслы" (Санԁрік Мікол) [http://komikyv.org/kpv/node/27281 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Зыпка ԁорын" (Габ Јак) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36714 *]; "Ва воԍԍас – уҗ вежԍас" (Ӧԋӧ Ӧԉӧксан) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36715 *]<br />
|-<br />
|1921-04-02<br />
|№ 20<br />
|Лб. 2: "Ныв-баба овмӧс лӧԍӧԁыԍ" ст (Јоԉ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36721 *]; "Саԃмӧԁчы комі ныв-баба!" ст (Выԉ морт) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36722 *]; "Саԁ јылыԍ" ст (Велӧԁыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36723 *]; "Мыјла воԍтӧны поԍевкомјас" (Пеԁӧр Јакӧ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36717 *]<br />
|-<br />
|1921-04-07<br />
|№ 21<br />
|Лб. 1: "Комі му боԍтԍас" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36726 *]<br />
|-<br />
|1921-04-07<br />
|№ 21<br />
|Лб. 2: "Шыбіт важсӧ!" (Віԅ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36724 *]<br />
|-<br />
|1921-04-07<br />
|№ 21<br />
|Лб. 3: "Комілы" (Коԁкӧ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36725 *]<br />
|-<br />
|1921-04-15<br />
|№ 22<br />
|Лб. 3: "Веԍкӧԁӧм" (В. Пеԁӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36466 *] фото<br />
|-<br />
|1921-04-20<br />
|№ 23<br />
|Лб. 2: "Комі школајасӧ" (Ваԍ Пеԁӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36467 *] фото<br />
|-<br />
|1921-04-20<br />
|№ 23<br />
|Лб. 3: "Баба ԍорԋі" кб (из местной живой газеты) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36727 *]<br />
|-<br />
|1921-04-20<br />
|№ 23<br />
|Лб. ?: "Петіс комиӧн Конституция..." юӧр '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-05-01<br />
|№ 25<br />
|Лб. 2: "1-ј мај" ст (С.М.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36728 *]; "1-ј мај" кб (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36729 *]<br />
|-<br />
|1921-05-01<br />
|№ 25<br />
|Лб. 4: "Гажа тулыс" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30605 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-05-08<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Ԋеважӧн-на велӧԁчӧм јӧз..." ст (Комі ізԁаԏеԉство) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36730 *]<br />
|-<br />
|1921-05-29<br />
|№ 29<br />
|Лб. 3: "Віԍталӧј" (Кӧсјыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36731 *]; "Важ олӧм вежԍо" кб (Санԁрік Мікол) [http://www.komikyv.org/kpv/node/27261 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-06-04<br />
|№ 30<br />
|Лб. 3-4: "Паракоԁ віԁчіԍӧм" ст (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/31482 *] фото<br />
|-<br />
|1921-06-12<br />
|№ 31<br />
|Лб. 1-2: "Кујім во міјан гаԅетлы" ст (Гіжыԍ); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35486 *] фото<br />
|-<br />
|1921-07-09<br />
|№ 36<br />
|Лб. 3-4: "Быԁ грезԁӧ, быԁ ԍіктӧ" (Ваԍ Пеԁӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36733 *]<br />
|-<br />
|1921-07-09<br />
|№ 36<br />
|Лб. 4: "Мічӧԁчӧм" (В.П.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36734 *]<br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 1: "Комі ез, југыԁ, паԍкыԁ туј..." лозунг; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 1: "Сувт, четчы, Комі војтыр, аслыԁ шуԁтӧ ԁор!" статья (Ԋобԁінса Віттор) '''РГБ-ысь (Химкиын)'''; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/32502 *]<br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 2: "Југыԁ туј" кб (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30609 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 4: "Комі рыт вылын" (С.М.) [http://komikyv.org/kpv/node/30257 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; Библиография (С.М.; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''') [http://komikyv.org/kpv/node/35487 *] фото<br />
|-<br />
|1921-07-19<br />
|№ 2<br />
|Лб. 1-2: "Колӧ, колӧ бырӧԁны!" (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35484 *] ; '''РГБ-ысь (Химки карын)'''<br />
|-<br />
|1921-08-11<br />
|№ 10 <br />
|Лб. 1: Юӧръяс; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35488 *]; '''РГБ-ысь (Химки карын)'''<br />
|-<br />
|1921-08-13<br />
|№ 11-12<br />
|Лб. 1-2: "Нӧшта ӧтчыԁ шуам" (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35485 *] фото<br />
|-<br />
|1921-08-13<br />
|№ 11-12<br />
|Лб. 2: "Солнце всходит и заходит, а..." кб (Ԋобԁінса Віттор) роча-комиа; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36732 *]<br />
|-<br />
|1921-08-18<br />
|№ 13<br />
|Лб. 1: "Ԍі-пож" кб; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35489 *] фото<br />
|-<br />
|1921-08-20<br />
|№ 14-15<br />
|Лб. 3: "Важ ԍыланкыв выԉ ногӧн" (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35473 *] фото<br />
|-<br />
|1921-08-25<br />
|№ 16-17<br />
|Лб. 3: "Комі гӧлӧс ылі муԍаԋ" (Ԍібырса Комі М.В. Ԋікіԏін); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35466 *] фото<br />
|-<br />
|1921-09-08<br />
|№ 22-23<br />
|Лб. 3: "Ачыс тӧԁӧ" шмонь; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35490 *]; фото<br />
|-<br />
|1921-09-23<br />
|№ 29-30<br />
|Лб. 3: "Му уҗалыԍјас..." юӧр; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; '''РГБ-ысь (Химкиын)''' [http://komikyv.org/kpv/node/35491 *] фото<br />
|-<br />
|1921-09-29<br />
|№ 32-33<br />
|Лб. 2: "Комі ныв-бабајаслы, коԁјас вӧліны Областнӧј конференціја вылын!" ст (Торлопов); [http://komikyv.org/kpv/node/35360 *]; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1921-10-01<br />
|№ 34<br />
|Лб. 2: "Ылын-ылын, Волга ԁорын" ԍыланкыв (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36735 *]<br />
|-<br />
|1921-10-16<br />
|№ 40-41<br />
|Лб. 2: Піјесаыԍ "Воԇӧс" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36736 *]<br />
|-<br />
|1921-11-07<br />
|№ 48<br />
|Лб. 1: "Вітӧԁ во вылӧ петігӧн" кб (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30610 *]<br />
|-<br />
|1922-01-17<br />
|№ 10<br />
|Лб. 2: "Бара-на сы јылыԍ" (Ас морт) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36823 *]; "Огоньки" (роча-комиа; Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-01-24<br />
|№ 14-15<br />
|Лб. 3: "Бубин зильгӧ, гудӧк дзизгӧ..." (статьяын коми кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36824 *]<br />
|-<br />
|1922-01-27<br />
|№ 18<br />
|Лб. 1‐2: "Ԁасӧн верԁӧны ӧԏікӧс" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36825 *]<br />
|-<br />
|1922-01-31<br />
|№ 21<br />
|Лб. 1: "Рочӧн-кӧ тӧԁтӧм — віԍталам коміӧн" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/32504 *]<br />
|-<br />
|1922-02-04<br />
|№ 25<br />
|Лб. 2: "Аркіреј" (Ԋобԁінса Віттор; баллаԁа јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30683 *]<br />
|-<br />
|1922-02-07<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Коԁі?.." (В. Јогор; кывбур јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36826 *]<br />
|-<br />
|1922-02-07<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Аркіреј" (Ԋобԁінса Віттор; баллаԁалӧн мӧԁ јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30683 *]<br />
|-<br />
|1922-02-10<br />
|№ 28<br />
|Лб. 2: "Коԁі?.." (В. Јогор; кывбурлӧн мӧԁ јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36826 *]<br />
|-<br />
|1922-02-14<br />
|№ 31<br />
|Лб. 2: "Коԁі?.." (В. Јогор; кывбурлӧн којмӧԁ јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36826 *]<br />
|-<br />
|1922-02-17<br />
|№ 32<br />
|Лб. 2: "Зеленецкая коровушка" (Ԋобԁінса Віттор; роча-коміа ԍыланкыв) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36892 *]<br />
|-<br />
|1922-02-17<br />
|№ 32<br />
|Лб. 2: "Е. Игнатову (с. Помоздин)" (вочакыв) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1922-02-18<br />
|№ 33<br />
|Лб. 2: "Оз-ӧмӧј-поԅ?" (јуӧртӧм) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36893 *]<br />
|-<br />
|1922-04-05<br />
|№ 65<br />
|Лб. 1: "Ԁасвіт во сајын..." (јуӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-04-13<br />
|№ 70-71<br />
|Лб. 2-3: "Коԁлы овны ӧні ԁолыԁ" (Ԋобԁінса Віттор; поема) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30684 *]<br />
|-<br />
|1922-05-01<br />
|№ 81-82<br />
|Лб. 2: "Вен" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30612 *]<br />
|-<br />
|1922-05-06<br />
|№ 84<br />
|Лб. 2: "Ӧніја гаԅет" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30613 *]<br />
|-<br />
|1922-06-03<br />
|№ 96-97<br />
|Лб. 4: "Чуԃеса-ԃіво" (публ. гіжӧԁ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36894 *]<br />
|-<br />
|1922-06-30<br />
|№ 101-102<br />
|Лб. 3: "Уҗјӧз" (Ԋобԁінса Віттор; частушкајас) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36895 *]<br />
|-<br />
|1922-07-01<br />
|№ 103-104<br />
|Лб. 3: "Суԁ мунӧ!" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30615 *]<br />
|-<br />
|1922-07-02<br />
|№ 105<br />
|Лб. 2: "Ԋімкоԃаԍ, Ԍерапім Саровскӧј!" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30616 *]<br />
|-<br />
|1922-07-04<br />
|№ 106<br />
|Лб. 2: "Поп „мавтчӧ“" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36896 *]<br />
|-<br />
|1922-07-06<br />
|№ 107-108<br />
|Лб. 4: "Ԋӧбаԍыԍ" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36943 *]<br />
|-<br />
|1922-07-09<br />
|№ 110<br />
|Лб. 2: "Міјан „ԉімоԋерјас“" (кывзыԍ: Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' лёк качество [http://komikyv.org/kpv/node/37173 *]<br />
|-<br />
|1922-07-29<br />
|№ 122<br />
|Лб. 4: "Кыԇі колӧ ԍорԋітны коміӧн" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30269 *]<br />
|-<br />
|1922-07-30<br />
|№ 123<br />
|Лб. 2: "Ен кыскав менӧ!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36944 *]<br />
|-<br />
|1922-08-01<br />
|№ 124<br />
|Лб. 2: "Пом ԋі ԁор" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30617 *]<br />
|-<br />
|1922-08-03<br />
|№ 125<br />
|Лб. 4: "Вӧлӧга перјӧм" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30618 *];<br />
"Воча кыв Іԉԉа Ваԍ Лыткінлы" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36945 *]<br />
|-<br />
|1922-08-12<br />
|№ 130<br />
|Лб. 4: "Поп ԁа Ваԍіԉіса" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36946 *]<br />
|-<br />
|1922-08-19<br />
|№ 134<br />
|Лб. 4: "Кулӧм лов ловԅӧԁӧм" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36947 *]<br />
|-<br />
|1922-09-12<br />
|№ 146<br />
|Лб. 2: "Ваԍ Пеԁӧр кулӧм куԅа" (Іԉԉа Ваԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/27105 *]<br />
|-<br />
|1922-09-14<br />
|№ 147<br />
|Лб. 3: "Ваԍ Пеԁӧр — Комі поет" (Іԉԉа Ваԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/33531 *]<br />
|-<br />
|1922-09-21<br />
|№ 151<br />
|Лб. 4: "Воԇ-на шојччыны" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30620 *]<br />
|-<br />
|1922-09-28<br />
|№ 154<br />
|Лб. 3: "Посԋі чеԉаԃлы" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36970 *]<br />
|-<br />
|1922-09-30<br />
|№ 155<br />
|Лб. 4: "Ставным вӧлім мамлӧн пі..." (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36971 *]<br />
|-<br />
|1922-10-01<br />
|№ 156<br />
|Лб. 2: "Салԁат ԍыланкыв" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36980 *]<br />
|-<br />
|1922-10-03<br />
|№ 157<br />
|Лб. 1: "Ӧтувтчӧмӧн уҗалӧм" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30258 *]<br />
|-<br />
|1922-10-05<br />
|№ 158<br />
|Лб. 1: "Грамота помын став бурыс" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/32505 *]<br />
|-<br />
|1922-10-05<br />
|№ 158<br />
|Лб. 4: "Шонԁі бан" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36982 *]<br />
|-<br />
|1922-10-07<br />
|№ 159<br />
|Лб. 3: "Потан ԁорын ԍыланкыв" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/27260 *]<br />
|-<br />
|1922-10-19<br />
|№ 165<br />
|Лб. 1: "Аԅербејԁжанскӧј респубԉікаын...", "Мукӧԁлаын важӧн..." (лозунгјас) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-10-21<br />
|№ 166 <br />
|Лб. 3: "Выԉгортса олӧм-вылӧм" (Комі пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36983 *]<br />
|-<br />
|1922-10-22<br />
|№ 167<br />
|Лб. 2: "Выԉ пјеса" (С. М.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36984 *]; "Грек" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36985 *]<br />
|-<br />
|1922-10-24<br />
|№ 168<br />
|Лб. 1: "Сортовка" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36986 *]<br />
|-<br />
|1922-10-28<br />
|№ 170<br />
|Лб. 1: "Мыјла Сӧвет-влаԍт лӧԍӧԁаліс ԃеԋгаа налогјас" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36999 *]<br />
|-<br />
|1922-10-28<br />
|№ 170<br />
|Лб. 2: "Креԍԏаԋін! Мынты налогтӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-11-02<br />
|№ 172<br />
|Лб. 2-3: "Со-ӧԁ кӧні пемыԁ-олӧмыс!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37000 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 1: "Віт во Окԏабрса Ревоԉутсіјалы" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37001 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 2: "Окԏаб" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37002 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 3: "Лаԃімер Іԉјіч Уԉјанов-Ԉеԋін" (Пашкін Јӧвгӧ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37003 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 5: "Віт" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30621 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 6: "Сӧвет-влаԍт-ԁырјі віт воԍа олӧм" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/33799 *]<br />
|-<br />
|1922-11-16<br />
|№ 178<br />
|Лб. 1: "Кык вежончӧжԍа отсалӧм школалы" (С. М.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30270 *]<br />
|-<br />
|1922-11-18<br />
|№ 179<br />
|Лб. 2-3: "Сӧвет влаԍт ԁырјі вітвоԍа олӧм" С.М. '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/33799 *]<br />
|-<br />
|1922-11-25<br />
|№ 183<br />
|Лб. 2: "Ӧніја налог іԉі важ вуз-вот унҗык" (Комі пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37004 *]<br />
|-<br />
|1922-11-30<br />
|№ 186<br />
|Лб. 1: "Лозанна" кб (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30622 *]<br />
|-<br />
|1922-12-30<br />
|№ 201<br />
|Лб. 4: "Ԁугԁӧј ԁурны!" (А. Нестеров) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37172 *]<br />
|-<br />
|1923-01-30<br />
|№ 14<br />
|Лб. 1: "Кыԇі аслыԁ і казналы бур вӧчны" (Парма пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37482 *]<br />
|-<br />
|1923-02-01<br />
|№ 15<br />
|Лб. 1: "Коміԏет Креԍԏанскӧј Взаімопомощі" (Комі пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37483 *]<br />
|-<br />
|1923-02-01<br />
|№ 15<br />
|Лб. 2: "Кыԇі Ԍӧвет-влаԍт отсалӧ ныв-бабалы" (Бур-Аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37568 *]<br />
|-<br />
|1923-02-08<br />
|№ 19<br />
|Лб. 1: "Труԁгужналог поԅӧ ԃеԋгаӧн мынтыны" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37512 *]<br />
|-<br />
|1923-02-10<br />
|№ 20<br />
|Лб. 1: "Мыјла колӧ гаԅет" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30259 *]<br />
|-<br />
|1923-02-13<br />
|№ 22<br />
|Лб. 1-2: "Колӧ бурҗыка гӧгӧрвоны" ; (В.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37569 *]<br />
|-<br />
|1923-02-15<br />
|№ 23<br />
|Лб. 1: "Мыј ԍетӧ креԍԏаналы ԍеԉско-кӧԅајственнӧј коопераԏів" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37513 *]<br />
|-<br />
|1923-02-20<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Отсаламӧј школајаслы" (Конӧ Пеԁӧр Іріԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37524 *]<br />
|-<br />
|1923-02-22<br />
|№ 27<br />
|Лб. 1-2: "Коԁјаскӧԁ вермаԍіс Гӧрԁ Арміја віт воӧн" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37560 *]<br />
|-<br />
|1923-02-24<br />
|№ 28<br />
|Лб. 2: "Школа" (Сабрі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37561 *]<br />
|-<br />
|1923-02-27<br />
|№ 30<br />
|Лб. 2: "Гылыԁ" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37562 *]<br />
|-<br />
|1923-03-06<br />
|№ 34<br />
|Лб. 1: "Вотчіна уҗалӧм-јылыԍ" (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37563 *]<br />
|-<br />
|1923-03-08<br />
|№ 35<br />
| Лб. 1-2: "Ныв-баба лун" (Аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37564 *]<br />
|-<br />
|1923-03-18<br />
|№ 42<br />
| Лб. 1-2: "Паріжса Коммуна" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37565 *]<br />
|-<br />
|1923-03-24<br />
|№ 47<br />
| Лб. 1: "Ӧтувја кӧјԁыс-јӧртӧԁ" (М-л) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37566 *]<br />
|-<br />
|1923-03-30<br />
|№ 52<br />
|Лб. 1: "Убытка оз ло" ст (В.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37567 *]<br />
|-<br />
|1923-04-07<br />
|№ 58<br />
|Лб. 3: "Гажа-лун" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37570 *]<br />
|-<br />
|1923-04-14<br />
|№ 62<br />
|Лб. 2-3: "Колӧ-оз комі школалы комі кыв" (Комі велӧԁыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37571 *]<br />
|-<br />
|1923-04-19<br />
|№ 66<br />
|Лб. 1: "Коԁі мыжа" ст (М. Торлопов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37572 *]<br />
|-<br />
|1923-04-21<br />
|№ 68<br />
|Лб. 3: "Понятно каждому..." роча-комиа; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-04-26<br />
|№ 72<br />
|Лб. 4: "Коԁі меԁбур велӧԁыԍ?" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37573 *]<br />
|-<br />
|1923-04-29<br />
|№ 75<br />
|Лб. 3: "Павкӧԁчыԍјас" ст (Скоԁујтыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37596 *]<br />
|-<br />
|1923-05-01<br />
|№ 76<br />
|Лб. 2: "Кык праԅԋік" кб (В. Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37603 *]<br />
|-<br />
|1923-05-01<br />
|№ 76<br />
|Лб. 4-5: "Колӧ кӧԇны турун" ст (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37606 *]<br />
|-<br />
|1923-05-05<br />
|№ 79<br />
|Лб. 2: "Комі креԍԏаналы" ст (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/32506 *]<br />
|-<br />
|1923-05-05<br />
|№ 79<br />
|Лб. 2: "Быԁ кыԅ віт Комі керка јурӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Комі креԍԏана!.." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1923-05-05<br />
|№ 79<br />
|Лб. 4: "Комі јӧз!.." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-05-10<br />
|№ 82<br />
|Лб. 2: "Кыԇі колӧ кӧԇны турун" ст (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37607 *]<br />
|-<br />
|1923-05-11<br />
|№ 83<br />
|Лб. 2: "Колӧ воԇвыв ԋаԋ лӧԍоԁны. Колӧ магаԅа кумјас бӧр лептыны" ст (Віԍер Јепім) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37644 *]<br />
|-<br />
|1923-05-20<br />
|№ 90<br />
|Лб. 3: "Југыԁлаԋ" кб (Ԍіԅ Паш) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1923-05-22<br />
|№ 91<br />
|Лб. 2-3: "Віԇ-му мерајтӧм – јуклӧм јылыԍ"(П. Мішев) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37646 *]<br />
|-<br />
|1923-05-23<br />
|№ 92<br />
| Лб. 2-3: "Віԇ-му мерајтӧм – јуклӧм јылыԍ"(П. Мішев) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37646 *]<br />
|-<br />
|1923-06-02<br />
|№ 101<br />
|Лб. 2-3: "Кӧјԁыс весалӧм" ст (В. Ԋікіԏін) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37647 *]<br />
|-<br />
|1923-06-10<br />
|№ 108<br />
|Лб. 3: "Комі креԍԏана!.." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1923-06-12<br />
|№ 109<br />
|Лб. 4: "Југыԁ тујыԁ петӧ бура" 4 визя кывбур (В. Ј-р) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37648 *]<br />
|-<br />
|1923-06-13<br />
|№ 110<br />
|Лб. 1-2: "Креԍԏаԋін, гаԅет тенаԁ! Гіж сетчӧ!" ст (Варыш) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37649 *]<br />
|-<br />
|1923-06-15<br />
|№ 112<br />
|Лб. 1: "Быԁ кыԅ віт Комі керка јурӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-06-16<br />
|№ 113<br />
|Лб. 2: "Југыԁ туј" кб (В. Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37650 *]<br />
|-<br />
|1923-06-20<br />
|№ 116<br />
|Лб. 2: "Комі Креԍԏана!" (јуӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-06-27<br />
|№ 122<br />
|Лб. 2-3: "Кыԇі віԁчыԍны капуста гагјыԍ" ст (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37651 *]<br />
|-<br />
|1923-07-05<br />
|№ 129<br />
|Лб. 3: "Лебалан караб" кб (В. Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37652 *]<br />
|-<br />
|1923-07-19<br />
|№ 140<br />
|Лб. 1: "Комі јӧзлы — Комі кыв" (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-07-26<br />
|№ 146<br />
|Лб. 2-3: "Вегыԉ-гаг" ст (Ԏемнојев) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37653 *]<br />
|-<br />
|1923-07-27<br />
|№ 147<br />
|Лб. 2: "И. Т. Чисталев" (некролог; гижӧма рочӧн, сэн ӧти сёрникузя комиӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-07-28<br />
|№ 148<br />
|Лб. 3: "Бӧрја гіжӧмјас І. Чістаԉовлӧн" кб (Жан Морӧс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/35278 *]<br />
|-<br />
|1923-08-02<br />
|№ 152<br />
|Лб. 3: "Јеҗыԁ опітсер" кб (Жан Морӧс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/35279 *]<br />
|-<br />
|1923-08-26<br />
|№ 171<br />
|Лб. 2: "Том ныв" (Іван Куратов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/27316 *]<br />
|-<br />
|1923-09-06<br />
|№ 179<br />
|Лб. 1-2: "Кытыԍ лоӧма Вомынӧ шева" (Комі аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37654 *]<br />
|-<br />
|1923-09-16<br />
|№ 187<br />
|Лб. 3: "Кӧԇӧј быԁӧн сіԍмытӧм турун!" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37655 *]<br />
|-<br />
|1923-09-28<br />
|№ 197 <br />
|Лб. 3: "Выставка вылын (Кущӧма прімітоны Мӧскуаын выставка вылӧ воыԍјасӧс)" (Анна Чеусова) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37656 *]<br />
|-<br />
|1923-09-29<br />
|№ 198<br />
|Лб. 3: "Выставка вылын (Выставкаыԁ-школа)" (Анна Чеусова) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37656 *]<br />
|-<br />
|1923-10-03<br />
|№ 201<br />
|Лб. 3: "Кыскӧны велӧԁчыны!" ичӧт статья (Гр-ва) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37657 *]; "Том-ԁорыԍ бурҗыка уҗалӧ!" ичӧт статья (Пр.-) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37658 *]<br />
|-<br />
|1923-10-09<br />
|№ 206<br />
|Лб. 3: "Велӧԁчӧј выԉ ногӧн овны" ст (Ас морт) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37659 *]<br />
|-<br />
|1923-10-13<br />
|№ 210<br />
|Лб. 2-3: "Чурка ԋім чеԉаԃлӧн бырӧма. (Нывбабајас, велӧԁчӧј выԉ-ногӧн овны!)" ст (Комі нывбаба) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37660 *]<br />
|-<br />
|1923-10-31<br />
|№ 225<br />
|Лб. 2: "Гермаԋіја јылыԍ" ст (Парма) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37661 *]<br />
|-<br />
|1923-11-01<br />
|№ 226<br />
|Лб. 3: "Гермаԋіја јылыԍ" ст (Парма) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37661 *]<br />
|-<br />
|1923-11-04<br />
|№ 229<br />
|Лб. 2: "Ыҗыԁлун" ст (Комі аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37662 *]<br />
|-<br />
|1923-11-07<br />
|№ 230<br />
|Лб. 2: "Му вылын сӧмын..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Мыј ԍетіс Окԏабр Комі јӧзлы" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37744 *]<br />
|-<br />
|1923-11-10<br />
|№ 231<br />
|Лб. 2: "Мыј ԍетіс Окԏабрса ревоԉутсіја" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37745 *]<br />
|-<br />
|1923-11-11<br />
|№ 232<br />
|Лб. 1: "Креԍԏана ӧтнаныс..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-13<br />
|№ 233<br />
|Лб. 2: "Чорыԁҗыка, топыԁҗыка..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-14<br />
|№ 234<br />
|Лб. 3: "Віԇӧј Окԏабрса Ревоԉутсіја-ԁырјі..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Окԏабрса Ревоԉутсіја Роԍԍіјаын..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-16<br />
|№ 236<br />
|Лб. 3: "Шешкинская волость" (Парма; рочӧн; эмӧсь коми фразаяс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-24 <br />
|№ 243<br />
| '''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-11-24._№243|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-11-28<br />
|№ 246<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-11-28._№246|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-11-30<br />
|№ 248<br />
|Лб. 2: "Детские годы" (Нёбдінса Виттор; рочӧн; эм коми кывбурысь кык строфа) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-12-01<br />
|№ 249<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-01._№249|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-05<br />
|№ 252<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-05._№252|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-06<br />
|№ 253<br />
|Лб. 4: "Јуӧртӧм" (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-12-08<br />
|№ 255<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-08._№255|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-12<br />
|№ 258<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-12._№258|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-15<br />
|№ 261<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-15._№261|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-25<br />
|№ 269<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-25._№269|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-29<br />
|№ 272<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-29._№272|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-03<br />
|№ 2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-03._№2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-05<br />
|№ 4<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-05._№4|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-12<br />
|№ 9<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-12._№9|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-16<br />
|№ 12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-16._№12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-19<br />
|№ 15<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-19._№15|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-02<br />
|№ 26<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-02._№26|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-06<br />
|№ 29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-06._№29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-09<br />
|№ 32<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-09._№32|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-13<br />
|№ 35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-13._№35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-17<br />
|№ 39<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-17._№39|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-21<br />
|№ 42<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-21._№42|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-24<br />
|№ 45<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-24._№45|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-01<br />
|№ 50<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-03-01._№50|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-05<br />
|№ 53<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-03-05._№53|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-14<br />
|№ 59<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-03-14._№59|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-20<br />
|№ 63<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-03-20. №63|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-10<br />
|№ 80<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-10. №80|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-16<br />
|№ 85<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-16. №85|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-19<br />
|№ 88<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-19. №88|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-23<br />
|№ 91<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-23. №91|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-26<br />
|№ 94<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-26. №94|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-01<br />
|№ 99<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-01. №99|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-05<br />
|№ 100<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-05. №100|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-09<br />
|№ 103<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-09. №103|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-14<br />
|№ 107<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-14. №107|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-21<br />
|№ 113<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-21. №113|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-24<br />
|№ 116<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-24. №116|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-30<br />
|№ 121<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-30. №121|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-06-07<br />
|№ 128<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-06-07. №128|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-06-20<br />
|№ 137<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-06-20. №137|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-06-25<br />
|№ 141<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-06-25. №141|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-02<br />
|№ 147<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-02. №147|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-05<br />
|№ 150<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-05. №150|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-11<br />
|№ 155<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-11. №155|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-16<br />
|№ 159<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-16. №159|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-19<br />
|№ 162<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-19. №162|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-23<br />
|№ 165<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-23. №165|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-26<br />
|№ 168<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-26. №168|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-30<br />
|№ 171<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-30. №171|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-02<br />
|№ 174<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-02. №174|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-06<br />
|№ 177<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-06. №177|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-09<br />
|№ 179<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-09. №179|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-13<br />
|№ 182<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-13. №182|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-16<br />
|№ 185<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-16. №185|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-20<br />
|№ 187<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-20. №187|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-27<br />
|№ 190<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-27. №190|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-09-04<br />
|№ 194<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-09-04. №194|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-09-11<br />
|№ 197<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-09-11. №197|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-09-23<br />
|№ 202<br />
|"Газет лэдзанінсянь" (юӧртана гижӧд) '''тексталӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/39719 *]<br />
|-<br />
|1924-10-18<br />
|№ 218<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-10-18. №218|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-10-25<br />
|№ 221<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-10-25. №221|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-01<br />
|№ 224<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-01. №224|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-20<br />
|№ 231<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-20. №231|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-25<br />
|№ 234<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-25. №234|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-28<br />
|№ 237<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-28. №237|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-02<br />
|№ 240<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-02. №240|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-04<br />
|№ 242<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-04. №242|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-06<br />
|№ 244<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-06. №244|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-09<br />
|№ 246<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-09. №246|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-11<br />
|№ 248<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-11. №248|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-16<br />
|№ 252<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-16. №252|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-18<br />
|№ 254<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-18. №254|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-20<br />
|№ 256<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-20. №256|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-23<br />
|№ 258<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-23. №258|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-26<br />
|№ 260<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-26. №260|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-27<br />
|№ 261<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-27. №261|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-30<br />
|№ 263<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-30. №263|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-03<br />
|№2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-03. №2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-07<br />
|№5<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-07. №5|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-10<br />
|№7<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-10. №7|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-11<br />
|№8<br />
|Јанвар 9-ӧԁ лун (5 торја ворсантор; пом) '''тексталӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/40424 *]<br />
|-<br />
|1925-01-16<br />
|№12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-16. №12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-22<br />
|№16<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-22. №16|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-27<br />
|№19<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-27. №19|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-29<br />
|№21<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-29. №21|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-03<br />
|№25<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-03. №25|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-05<br />
|№27<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-05. №27|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-07<br />
|№29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-07. №29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-10<br />
|№31<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-10. №31|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-14<br />
|№35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-14. №35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-17<br />
|№37<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-17. №37|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-19<br />
|№39<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-19. №39|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-21<br />
|№41<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-21. №41|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-24<br />
|№43<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-24. №43|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-27<br />
|№46<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-27. №46|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-03<br />
|№49<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-03. №49|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-05<br />
|№51<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-05. №51|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-07<br />
|№53<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-07. №53|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-10<br />
|№55<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-10. №55|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-12<br />
|№57<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-12. №57|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-21<br />
|№63<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-21. №63|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-27<br />
|№67<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-27. №67|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-31<br />
|№70<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-31. №70|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-02<br />
|№72<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-02. №72|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-04<br />
|№74<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-04. №74|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-07<br />
|№76<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-07. №76|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-09<br />
|№78<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-09. №78|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-11<br />
|№80<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-11. №80|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-12<br />
|№81<br />
|Лб.3: Чиновники нашего времени (статья, Жугыль: рочӧн, эмӧсь коми цитатаяс); коми юкӧнсӧ '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-04-14<br />
|№82<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-14. №82|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-17<br />
|КС№1<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-04-17. №1|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-21<br />
|№86<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-21. №86|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-23<br />
|№88<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-23. №88|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-24<br />
|№89<br />
|"Поправка" гижӧдын эмӧсь коми фразаяс; гижӧдыс '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-04-25<br />
|КС№2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-04-25. №2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-28<br />
|№91<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-28. №91|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-01<br />
|КС№3<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-01. №3|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-03<br />
|№94<br />
|"Поправка" гижӧдын эмӧсь коми фразаяс; гижӧдыс '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-05-07<br />
|№96<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-07. №96|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-09<br />
|КС№4<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-09. №4|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-12<br />
|№99<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-12. №99|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-14<br />
|№101<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-14. №101|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-16<br />
|КС№5<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-16. №5|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-21<br />
|№107<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-21. №107|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-23<br />
|КС№6<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-23. №6|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-27<br />
|№111<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-27. №111|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-30<br />
|КС№7<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-30. №7|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-02<br />
|№115<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-02. №115|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-04<br />
|№117<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-04. №117|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-06<br />
|КС№8<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-06. №8|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-10<br />
|№120<br />
|Роч кывъя номер; сэн "Југыԁ туј" кывбур (Акіԋ-пілӧн) да чолӧмалӧм (Ԍпіра Прокӧлӧн); '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-06-11<br />
|№121<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-11. №121|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-13<br />
|КС№9<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-13. №9|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-16<br />
|№124<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-16. №124|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-18<br />
|№126<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-18. №126|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-20<br />
|КС№10<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-20. №10|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-23<br />
|№129<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-23. №129|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-25<br />
|№131<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-25. №131|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-27<br />
|КС№11<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-27. №11|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-30<br />
|№134<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-30. №134|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-04<br />
|КС№12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-04. №12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-07<br />
|№139<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-07. №139|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-09<br />
|№141<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-09. №141|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-11<br />
|КС№13<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-11. №13|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-14<br />
|№144<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-14. №144|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-16<br />
|№146<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-16. №146|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-18<br />
|КС№14<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-18. №14|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-21<br />
|№149<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-21. №149|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-23<br />
|№151<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-23. №151|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-25<br />
|КС№15<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-25. №15|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-30<br />
|№156<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-30. №156|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-01<br />
|КС№16<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-01. №16|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-04<br />
|№159<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-04. №159|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-06<br />
|№161<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-06. №161|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-08<br />
|КС№17<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-08. №17|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-11<br />
|№164<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-11. №164|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-13<br />
|№166<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-13. №166|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-15<br />
|КС№18<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-15. №18|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-18<br />
|№168<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-18. №168|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-20<br />
|№170<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-20. №170|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-22<br />
|КС№19<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-22. №19|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-25<br />
|№173<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-25. №173|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-27<br />
|№175<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-27. №175|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-29<br />
|КС№20<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-29. №20|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-01<br />
|№178<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-01. №178|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-03<br />
|№180<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-03. №180|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-05<br />
|КС№21<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-05. №21|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-08<br />
|№183<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-08. №183|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-10<br />
|№185<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-10. №185|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-12<br />
|КС№22<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-12. №22|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-15<br />
|№188<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-15. №188|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-17<br />
|№190<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-17. №190|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-19<br />
|КС№23<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-19. №23|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-22<br />
|№193<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-22. №193|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-24<br />
|№195<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-24. №195|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-26<br />
|КС№24<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-26. №24|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-29<br />
|№198<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-29. №198|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-01<br />
|№200<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-01. №200|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-03<br />
|КС№25<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-03. №25|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-04<br />
|№202<br />
|роч номер, эм кык вочакыв комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-10-06<br />
|№203<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-06. №203|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-08<br />
|№205<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-08. №205|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-10<br />
|КС№26<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-10. №26|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-13<br />
|№208<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-13. №208|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-14<br />
|№209<br />
|роч номер, эм ӧти юӧр комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-10-15<br />
|№210<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-15. №210|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-17<br />
|КС№27<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-17. №27|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-20<br />
|№213<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-20. №213|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-22<br />
|№215<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-22. №215|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-23<br />
|№216<br />
|роч номер, эм некымын вочакыв комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-10-24<br />
|КС№28<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-24. №28|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-28<br />
|№219<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-28. №219|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-31<br />
|КС№29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-31. №29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-01<br />
|№222<br />
|роч номер, ӧти вочакыв комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-11-07<br />
|КС№30<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-07. №30|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-10<br />
|№226<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-10. №226|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-12<br />
|№228<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-12. №228|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-14<br />
|КС№31<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-14. №31|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-18<br />
|№232<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-18. №232|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-21<br />
|КС№32<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-21. №32|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-25<br />
|№237<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-25. №237|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-28<br />
|КС№33<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-28. №33|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-01<br />
|№241<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-12-01. №241|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-05<br />
|КС№34<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-05. №34|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-08<br />
|№246<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-12-08. №246|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-10<br />
|№248<br />
|роч номер, ӧти фраза комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-12-11<br />
|№249<br />
|роч номер, ӧти фраза комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-12-12<br />
|КС№35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-12. №35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-15<br />
|№251<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-12-15. №251|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-18<br />
|КС№36<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-18. №36|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-23<br />
|№256<br />
|роч номер, Пошта кудйын неуна эм комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-12-25<br />
|КС№37<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-25. №37|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-29<br />
|№259<br />
|роч номер, Пошта кудйын неуна эм комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1926-01-01<br />
|КС№1<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-01. №1|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-09<br />
|КС№2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-09. №2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-16<br />
|КС№3<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-16. №3|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-24<br />
|КС№4<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-24. №4|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-29<br />
|№19<br />
|Лб. 1, кык коми гижӧд: [https://komikyv.org/kpv/node/43950 Речь Мишарина], [https://komikyv.org/kpv/node/43951 Международное и внутреннее положение] '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1926-01-30<br />
|№20<br />
|Лб. 1-2, коми гижӧд: [https://komikyv.org/kpv/node/43952 Доклад тов. Мишарина] '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1926-01-31<br />
|КС№5<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-31. №5|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-06<br />
|КС№6<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-06. №6|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-13<br />
|КС№7<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-13. №7|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-20<br />
|КС№8<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-20. №8|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-27<br />
|КС№9<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-27. №9|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-06<br />
|КС№10<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-06. №10|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-14<br />
|КС№11<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-14. №11|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-20<br />
|КС№12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-20. №12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-27<br />
|КС№13<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-27. №13|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-03<br />
|КС№14<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-03. №14|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-10<br />
|КС№15<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-10. №15|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-17<br />
|КС№16<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-17. №16|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-24<br />
|КС№17<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-24. №17|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-01<br />
|КС№18<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-01. №18|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-05<br />
|№82<br />
|'''тексталӧма'''; Нёбдінса Виттор, "Коми автономия" кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/30631 *]<br />
|-<br />
|1926-05-08<br />
|КС№19<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-08. №19|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-15<br />
|КС№20<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-15. №20|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-22<br />
|КС№21<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-22. №21|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-29<br />
|КС№22<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-29. №22|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-05<br />
|КС№23<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-05. №23|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-12<br />
|КС№24<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-12. №24|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-19<br />
|КС№25<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-19. №25|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-26<br />
|КС№26<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-26. №26|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-03<br />
|КС№27<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-03. №27|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-10<br />
|КС№28<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-10. №28|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-17<br />
|КС№29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-17. №29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-24<br />
|КС№30<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-24. №30|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-31<br />
|КС№31<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-31. №31|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-08<br />
|КС№32<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-08. №32|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-14<br />
|КС№33<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-14. №33|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-21<br />
|КС№34<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-21. №34|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-28<br />
|КС№35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-28. №35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-09-04<br />
|КС№36<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-09-04. №36|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-09-05<br />
|№166<br />
|'''тексталӧма'''; Сим Вань, "Миян праздник (МЮД)" кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/45380 *]<br />
|-<br />
|1926-09-11<br />
|КС№37<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-09-11. №37|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-09-18<br />
|КС№38<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-09-18. №38|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-09-22<br />
|№178<br />
|'''тексталӧма'''; Нёбдінса Виттор, "Поводдя сералӧ" кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/45381 *]<br />
|-<br />
|1926-09-25<br />
|КС№39<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-09-25. №39|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-10-29<br />
|№198<br />
|'''тексталӧма'''; Акинь пи, "Сизим во" кывбур<br />
|}</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92173
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-21T16:36:12Z
<p>Наста: /* КОМИ ГИЖӦМ №19 */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45483 *]<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45484 *]<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45485 *]<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45486 *]<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45487 *]<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45488 *]<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45489 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45490 *]<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45491 *]<br />
===КИТАЙЫН===<br />
*'''Тиски''' : серпас<br />
*'''Кантонса армия водзӧ мунӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45492 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Будапештын вӧлӧма взрыв''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45493 *]<br />
*'''Ойдӧма 5 сюрс керка''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45494 *]<br />
*'''Регистрируйттӧм скӧтысь страхӧвӧй оз мынтыны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45495 *]<br />
*'''Уна керка киссьӧма''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45496 *]<br />
*'''Быд коми крестьянинлы колӧ лыддьыны «Коми сикт»!''' : шыӧдчӧм<br />
*К. '''Матысмӧ Урожай праздник''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45497 *]<br />
===Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ!===<br />
*С. М. Красильников. '''Косьтӧны видзьяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45498 *]<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Мусӧ эжмӧдісны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45499 *]<br />
*Выль гижысь. '''Заводитӧны вика кӧдзны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45500 *]<br />
*Онтӧн иры. '''Нянь омӧль воӧма''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45501 *]<br />
*С-иа. '''Шабді воис бур''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45502 *]<br />
*Ном. '''Пуктасъяс бура быдмисны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45503 *]<br />
*Игнатов. '''Кынмис нянь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45504 *]<br />
*Видзӧдысь. '''Страхуйтӧм сьӧм оз вош''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45505 *]<br />
*Микайлов И. К. '''Юнь 2-ӧд лунӧ менам кулі мӧс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45506 *]<br />
*Эхо. '''Поёл в. Сыктыв у., тырыс нин мӧс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45507 *]<br />
*Дзоридз. '''Чуклӧмын (Сыктыв у.) ошъясӧн матӧ воӧмаӧсь...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45508 *]<br />
*Кывлысь. '''Став льӧм пусӧ керавлӧмаӧсь''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45509 *]<br />
*'''Кооперация водзын сулалан уджъяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45510 *]<br />
*'''Коммунистъяс, комсомолечьяс, разӧдӧй...''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №19===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45457 *]<br />
*Илля Вась. '''Удж дырйи''' : кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/27210 *]<br />
*Биа Ӧгыр. '''Нывбабаяс съезд кежлӧ''' : кывбур [https://komikyv.org/kpv/contents/nyvbabayas-sezd-kezhlo *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*В. Исаков. '''Картупель зэв ёна мӧдӧма сісьмыны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45511 *]<br />
<br />
===Коми муын===<br />
*'''Омӧля уджсӧ сувтӧдӧма''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45512 *]<br />
*Рель. '''Томан ӧшалӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45513 *]<br />
*Сім. '''Тшӧтӧвод абу''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45514 *]<br />
*Мопрын шлен. '''Воши сьӧм''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45515 *]<br />
*Выль гижысь. '''Бумага вылын коли''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45516 *]<br />
*Шоль. '''Пыр тадзи''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45517 *]<br />
*Селькор. '''Суддя шоча волывлӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45518 *]<br />
*Выль гижысь. '''Шогмытӧм шленъясӧс вӧтлалӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45519 *]<br />
*Орысь. '''Колӧ пельшӧр''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45520 *]<br />
*'''Костті лои ясли тупкыны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45521 *]<br />
===Ми кылам===<br />
*Чикыш. '''Спаспоруб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45522 *]<br />
*Чикыш. '''Кулига сиктын, Спаспоруб вӧлӧсьтын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45523 *]<br />
*Аддзылысь. '''Визябӧж вӧлӧсьтын (Кулӧмдін у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45524 *]<br />
*Смычка. '''Аквадйын (Емдін у.) школа стӧрӧжикалы...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45525 *]<br />
*Перӧ № 86. '''Кебраын (Сыктыв у.) удждысян тӧвариществоса...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45526 *]<br />
*Комар. '''Кулӧмдін вӧлӧсьтын вӧлӧсьт кузя...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45527 *]<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) организуйтчыліс МОПР...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45528 *]<br />
*Кирӧ Мить. '''Пӧддельнӧйса (Кулӧмдін у.) комсомол ячейкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45529 *]<br />
*Калин. '''Йӧрӧсдінса лавкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45530 *]<br />
*Дурысь. '''Маджаса (Кулӧмдін у.) лыддьысян керкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45531 *]<br />
*Крестьянин. '''Маджаса общественнӧй лавкаысь приказчикыс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45532 *]<br />
*Тільсьысь. '''Одыбса (Висер вожын) общественнӧй лавкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45533 *]<br />
*Син пӧла Петь. '''Читаёв вӧлӧсьтын Сыктыв у. комсомолеч Андреев...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45534 *]<br />
*Й. Лобанов. '''Аныбса (Кулӧмдін у.) крестьянин Й. И. Лобанов...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45535 *]<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92172
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-21T16:35:44Z
<p>Наста: /* КОМИ ГИЖӦМ №19 */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45483 *]<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45484 *]<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45485 *]<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45486 *]<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45487 *]<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45488 *]<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45489 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45490 *]<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45491 *]<br />
===КИТАЙЫН===<br />
*'''Тиски''' : серпас<br />
*'''Кантонса армия водзӧ мунӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45492 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Будапештын вӧлӧма взрыв''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45493 *]<br />
*'''Ойдӧма 5 сюрс керка''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45494 *]<br />
*'''Регистрируйттӧм скӧтысь страхӧвӧй оз мынтыны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45495 *]<br />
*'''Уна керка киссьӧма''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45496 *]<br />
*'''Быд коми крестьянинлы колӧ лыддьыны «Коми сикт»!''' : шыӧдчӧм<br />
*К. '''Матысмӧ Урожай праздник''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45497 *]<br />
===Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ!===<br />
*С. М. Красильников. '''Косьтӧны видзьяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45498 *]<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Мусӧ эжмӧдісны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45499 *]<br />
*Выль гижысь. '''Заводитӧны вика кӧдзны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45500 *]<br />
*Онтӧн иры. '''Нянь омӧль воӧма''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45501 *]<br />
*С-иа. '''Шабді воис бур''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45502 *]<br />
*Ном. '''Пуктасъяс бура быдмисны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45503 *]<br />
*Игнатов. '''Кынмис нянь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45504 *]<br />
*Видзӧдысь. '''Страхуйтӧм сьӧм оз вош''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45505 *]<br />
*Микайлов И. К. '''Юнь 2-ӧд лунӧ менам кулі мӧс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45506 *]<br />
*Эхо. '''Поёл в. Сыктыв у., тырыс нин мӧс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45507 *]<br />
*Дзоридз. '''Чуклӧмын (Сыктыв у.) ошъясӧн матӧ воӧмаӧсь...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45508 *]<br />
*Кывлысь. '''Став льӧм пусӧ керавлӧмаӧсь''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45509 *]<br />
*'''Кооперация водзын сулалан уджъяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45510 *]<br />
*'''Коммунистъяс, комсомолечьяс, разӧдӧй...''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №19===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд [* https://komikyv.org/kpv/node/45457]<br />
*Илля Вась. '''Удж дырйи''' : кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/27210 *]<br />
*Биа Ӧгыр. '''Нывбабаяс съезд кежлӧ''' : кывбур [* https://komikyv.org/kpv/contents/nyvbabayas-sezd-kezhlo]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*В. Исаков. '''Картупель зэв ёна мӧдӧма сісьмыны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45511 *]<br />
<br />
===Коми муын===<br />
*'''Омӧля уджсӧ сувтӧдӧма''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45512 *]<br />
*Рель. '''Томан ӧшалӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45513 *]<br />
*Сім. '''Тшӧтӧвод абу''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45514 *]<br />
*Мопрын шлен. '''Воши сьӧм''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45515 *]<br />
*Выль гижысь. '''Бумага вылын коли''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45516 *]<br />
*Шоль. '''Пыр тадзи''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45517 *]<br />
*Селькор. '''Суддя шоча волывлӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45518 *]<br />
*Выль гижысь. '''Шогмытӧм шленъясӧс вӧтлалӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45519 *]<br />
*Орысь. '''Колӧ пельшӧр''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45520 *]<br />
*'''Костті лои ясли тупкыны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45521 *]<br />
===Ми кылам===<br />
*Чикыш. '''Спаспоруб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45522 *]<br />
*Чикыш. '''Кулига сиктын, Спаспоруб вӧлӧсьтын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45523 *]<br />
*Аддзылысь. '''Визябӧж вӧлӧсьтын (Кулӧмдін у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45524 *]<br />
*Смычка. '''Аквадйын (Емдін у.) школа стӧрӧжикалы...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45525 *]<br />
*Перӧ № 86. '''Кебраын (Сыктыв у.) удждысян тӧвариществоса...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45526 *]<br />
*Комар. '''Кулӧмдін вӧлӧсьтын вӧлӧсьт кузя...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45527 *]<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) организуйтчыліс МОПР...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45528 *]<br />
*Кирӧ Мить. '''Пӧддельнӧйса (Кулӧмдін у.) комсомол ячейкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45529 *]<br />
*Калин. '''Йӧрӧсдінса лавкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45530 *]<br />
*Дурысь. '''Маджаса (Кулӧмдін у.) лыддьысян керкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45531 *]<br />
*Крестьянин. '''Маджаса общественнӧй лавкаысь приказчикыс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45532 *]<br />
*Тільсьысь. '''Одыбса (Висер вожын) общественнӧй лавкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45533 *]<br />
*Син пӧла Петь. '''Читаёв вӧлӧсьтын Сыктыв у. комсомолеч Андреев...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45534 *]<br />
*Й. Лобанов. '''Аныбса (Кулӧмдін у.) крестьянин Й. И. Лобанов...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45535 *]<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92171
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-21T16:34:15Z
<p>Наста: /* Ми кылам */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45483 *]<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45484 *]<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45485 *]<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45486 *]<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45487 *]<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45488 *]<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45489 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45490 *]<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45491 *]<br />
===КИТАЙЫН===<br />
*'''Тиски''' : серпас<br />
*'''Кантонса армия водзӧ мунӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45492 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Будапештын вӧлӧма взрыв''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45493 *]<br />
*'''Ойдӧма 5 сюрс керка''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45494 *]<br />
*'''Регистрируйттӧм скӧтысь страхӧвӧй оз мынтыны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45495 *]<br />
*'''Уна керка киссьӧма''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45496 *]<br />
*'''Быд коми крестьянинлы колӧ лыддьыны «Коми сикт»!''' : шыӧдчӧм<br />
*К. '''Матысмӧ Урожай праздник''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45497 *]<br />
===Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ!===<br />
*С. М. Красильников. '''Косьтӧны видзьяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45498 *]<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Мусӧ эжмӧдісны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45499 *]<br />
*Выль гижысь. '''Заводитӧны вика кӧдзны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45500 *]<br />
*Онтӧн иры. '''Нянь омӧль воӧма''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45501 *]<br />
*С-иа. '''Шабді воис бур''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45502 *]<br />
*Ном. '''Пуктасъяс бура быдмисны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45503 *]<br />
*Игнатов. '''Кынмис нянь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45504 *]<br />
*Видзӧдысь. '''Страхуйтӧм сьӧм оз вош''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45505 *]<br />
*Микайлов И. К. '''Юнь 2-ӧд лунӧ менам кулі мӧс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45506 *]<br />
*Эхо. '''Поёл в. Сыктыв у., тырыс нин мӧс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45507 *]<br />
*Дзоридз. '''Чуклӧмын (Сыктыв у.) ошъясӧн матӧ воӧмаӧсь...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45508 *]<br />
*Кывлысь. '''Став льӧм пусӧ керавлӧмаӧсь''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45509 *]<br />
*'''Кооперация водзын сулалан уджъяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45510 *]<br />
*'''Коммунистъяс, комсомолечьяс, разӧдӧй...''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №19===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд<br />
*Илля Вась. '''Удж дырйи''' : кывбур<br />
*Биа Ӧгыр. '''Нывбабаяс съезд кежлӧ''' : кывбур<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*В. Исаков. '''Картупель зэв ёна мӧдӧма сісьмыны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45511 *]<br />
<br />
===Коми муын===<br />
*'''Омӧля уджсӧ сувтӧдӧма''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45512 *]<br />
*Рель. '''Томан ӧшалӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45513 *]<br />
*Сім. '''Тшӧтӧвод абу''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45514 *]<br />
*Мопрын шлен. '''Воши сьӧм''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45515 *]<br />
*Выль гижысь. '''Бумага вылын коли''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45516 *]<br />
*Шоль. '''Пыр тадзи''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45517 *]<br />
*Селькор. '''Суддя шоча волывлӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45518 *]<br />
*Выль гижысь. '''Шогмытӧм шленъясӧс вӧтлалӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45519 *]<br />
*Орысь. '''Колӧ пельшӧр''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45520 *]<br />
*'''Костті лои ясли тупкыны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45521 *]<br />
===Ми кылам===<br />
*Чикыш. '''Спаспоруб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45522 *]<br />
*Чикыш. '''Кулига сиктын, Спаспоруб вӧлӧсьтын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45523 *]<br />
*Аддзылысь. '''Визябӧж вӧлӧсьтын (Кулӧмдін у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45524 *]<br />
*Смычка. '''Аквадйын (Емдін у.) школа стӧрӧжикалы...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45525 *]<br />
*Перӧ № 86. '''Кебраын (Сыктыв у.) удждысян тӧвариществоса...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45526 *]<br />
*Комар. '''Кулӧмдін вӧлӧсьтын вӧлӧсьт кузя...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45527 *]<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) организуйтчыліс МОПР...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45528 *]<br />
*Кирӧ Мить. '''Пӧддельнӧйса (Кулӧмдін у.) комсомол ячейкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45529 *]<br />
*Калин. '''Йӧрӧсдінса лавкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45530 *]<br />
*Дурысь. '''Маджаса (Кулӧмдін у.) лыддьысян керкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45531 *]<br />
*Крестьянин. '''Маджаса общественнӧй лавкаысь приказчикыс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45532 *]<br />
*Тільсьысь. '''Одыбса (Висер вожын) общественнӧй лавкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45533 *]<br />
*Син пӧла Петь. '''Читаёв вӧлӧсьтын Сыктыв у. комсомолеч Андреев...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45534 *]<br />
*Й. Лобанов. '''Аныбса (Кулӧмдін у.) крестьянин Й. И. Лобанов...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45535 *]<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92170
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-21T16:33:38Z
<p>Наста: /* Пытшкӧс */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45483 *]<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45484 *]<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45485 *]<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45486 *]<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45487 *]<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45488 *]<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45489 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45490 *]<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45491 *]<br />
===КИТАЙЫН===<br />
*'''Тиски''' : серпас<br />
*'''Кантонса армия водзӧ мунӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45492 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Будапештын вӧлӧма взрыв''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45493 *]<br />
*'''Ойдӧма 5 сюрс керка''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45494 *]<br />
*'''Регистрируйттӧм скӧтысь страхӧвӧй оз мынтыны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45495 *]<br />
*'''Уна керка киссьӧма''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45496 *]<br />
*'''Быд коми крестьянинлы колӧ лыддьыны «Коми сикт»!''' : шыӧдчӧм<br />
*К. '''Матысмӧ Урожай праздник''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45497 *]<br />
===Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ!===<br />
*С. М. Красильников. '''Косьтӧны видзьяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45498 *]<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Мусӧ эжмӧдісны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45499 *]<br />
*Выль гижысь. '''Заводитӧны вика кӧдзны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45500 *]<br />
*Онтӧн иры. '''Нянь омӧль воӧма''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45501 *]<br />
*С-иа. '''Шабді воис бур''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45502 *]<br />
*Ном. '''Пуктасъяс бура быдмисны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45503 *]<br />
*Игнатов. '''Кынмис нянь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45504 *]<br />
*Видзӧдысь. '''Страхуйтӧм сьӧм оз вош''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45505 *]<br />
*Микайлов И. К. '''Юнь 2-ӧд лунӧ менам кулі мӧс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45506 *]<br />
*Эхо. '''Поёл в. Сыктыв у., тырыс нин мӧс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45507 *]<br />
*Дзоридз. '''Чуклӧмын (Сыктыв у.) ошъясӧн матӧ воӧмаӧсь...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45508 *]<br />
*Кывлысь. '''Став льӧм пусӧ керавлӧмаӧсь''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45509 *]<br />
*'''Кооперация водзын сулалан уджъяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45510 *]<br />
*'''Коммунистъяс, комсомолечьяс, разӧдӧй...''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №19===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд<br />
*Илля Вась. '''Удж дырйи''' : кывбур<br />
*Биа Ӧгыр. '''Нывбабаяс съезд кежлӧ''' : кывбур<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*В. Исаков. '''Картупель зэв ёна мӧдӧма сісьмыны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45511 *]<br />
<br />
===Коми муын===<br />
*'''Омӧля уджсӧ сувтӧдӧма''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45512 *]<br />
*Рель. '''Томан ӧшалӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45513 *]<br />
*Сім. '''Тшӧтӧвод абу''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45514 *]<br />
*Мопрын шлен. '''Воши сьӧм''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45515 *]<br />
*Выль гижысь. '''Бумага вылын коли''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45516 *]<br />
*Шоль. '''Пыр тадзи''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45517 *]<br />
*Селькор. '''Суддя шоча волывлӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45518 *]<br />
*Выль гижысь. '''Шогмытӧм шленъясӧс вӧтлалӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45519 *]<br />
*Орысь. '''Колӧ пельшӧр''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45520 *]<br />
*'''Костті лои ясли тупкыны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45521 *]<br />
===Ми кылам===<br />
*Чикыш. '''Спаспоруб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45522 *]<br />
*Чикыш. '''Кулига сиктын, Спаспоруб вӧлӧсьтын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45523 *]<br />
*Аддзылысь. '''Визябӧж вӧлӧсьтын (Кулӧмдін у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45524 *]<br />
*Смычка. '''Аквадйын (Емдін у.) школа стӧрӧжикалы...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45525 *]<br />
*Перӧ № 86. '''Кебраын (Сыктыв у.) удждысян тӧвариществоса...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45526 *]<br />
*Комар. '''Кулӧмдін вӧлӧсьтын вӧлӧсьт кузя...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45527 *]<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) организуйтчыліс МОПР...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45528 *]<br />
*Кирӧ Мить. '''Пӧддельнӧйса (Кулӧмдін у.) комсомол ячейкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45529 *]<br />
*Калин. '''Йӧрӧсдінса лавкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45530 *]<br />
*Дурысь. '''Маджаса (Кулӧмдін у.) лыддьысян керкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45531 *]<br />
*Крестьянин. '''Маджаса общественнӧй лавкаысь приказчикыс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45532 *]<br />
*Тільсьысь. '''Одыбса (Висер вожын) общественнӧй лавкаын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45533 *]<br />
*Син пӧла Петь. '''Читаёв вӧлӧсьтын Сыктыв у. комсомолеч Андреев...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45534 *]<br />
*Й. Лобанов. '''Аныбса (Кулӧмдін у.) крестьянин Й. И. Лобанов...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45536 *]<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92169
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-21T16:28:43Z
<p>Наста: /* Пытшкӧс */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45483 *]<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор<br />
===КИТАЙЫН===<br />
*'''Тиски''' : серпас<br />
*'''Кантонса армия водзӧ мунӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Будапештын вӧлӧма взрыв''' : выльтор<br />
*'''Ойдӧма 5 сюрс керка''' : выльтор<br />
*'''Регистрируйттӧм скӧтысь страхӧвӧй оз мынтыны''' : выльтор<br />
*'''Уна керка киссьӧма''' : выльтор<br />
*'''Быд коми крестьянинлы колӧ лыддьыны «Коми сикт»!''' : шыӧдчӧм<br />
*К. '''Матысмӧ Урожай праздник''' : публ. гижӧд<br />
===Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ!===<br />
*С. М. Красильников. '''Косьтӧны видзьяс''' : публ. гижӧд<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Мусӧ эжмӧдісны''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Заводитӧны вика кӧдзны''' : публ. гижӧд<br />
*Онтӧн иры. '''Нянь омӧль воӧма''' : публ. гижӧд<br />
*С-иа. '''Шабді воис бур''' : публ. гижӧд<br />
*Ном. '''Пуктасъяс бура быдмисны''' : публ. гижӧд<br />
*Игнатов. '''Кынмис нянь''' : публ. гижӧд<br />
*Видзӧдысь. '''Страхуйтӧм сьӧм оз вош''' : публ. гижӧд<br />
*Микайлов И. К. '''Юнь 2-ӧд лунӧ менам кулі мӧс...''' : юӧр<br />
*Эхо. '''Поёл в. Сыктыв у., тырыс нин мӧс...''' : юӧр<br />
*Дзоридз. '''Чуклӧмын (Сыктыв у.) ошъясӧн матӧ воӧмаӧсь...''' : юӧр<br />
*Кывлысь. '''Став льӧм пусӧ керавлӧмаӧсь''' : юӧр<br />
*'''Кооперация водзын сулалан уджъяс''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коммунистъяс, комсомолечьяс, разӧдӧй...''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №19===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд<br />
*Илля Вась. '''Удж дырйи''' : кывбур<br />
*Биа Ӧгыр. '''Нывбабаяс съезд кежлӧ''' : кывбур<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*В. Исаков. '''Картупель зэв ёна мӧдӧма сісьмыны''' : публ. гижӧд<br />
<br />
===Коми муын===<br />
*'''Омӧля уджсӧ сувтӧдӧма''' : публ. гижӧд<br />
*Рель. '''Томан ӧшалӧ''' : публ. гижӧд<br />
*Сім. '''Тшӧтӧвод абу''' : публ. гижӧд<br />
*Мопрын шлен. '''Воши сьӧм''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Бумага вылын коли''' : публ. гижӧд<br />
*Шоль. '''Пыр тадзи''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Суддя шоча волывлӧ''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Шогмытӧм шленъясӧс вӧтлалӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Орысь. '''Колӧ пельшӧр''' : публ. гижӧд<br />
*'''Костті лои ясли тупкыны''' : публ. гижӧд<br />
===Ми кылам===<br />
*Чикыш. '''Спаспоруб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр<br />
*Чикыш. '''Кулига сиктын, Спаспоруб вӧлӧсьтын...''' : юӧр<br />
*Аддзылысь. '''Визябӧж вӧлӧсьтын (Кулӧмдін у.)...''' : юӧр<br />
*Смычка. '''Аквадйын (Емдін у.) школа стӧрӧжикалы...''' : юӧр<br />
*Перӧ № 86. '''Кебраын (Сыктыв у.) удждысян тӧвариществоса...''' : юӧр<br />
*Комар. '''Кулӧмдін вӧлӧсьтын вӧлӧсьт кузя...''' : юӧр<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) организуйтчыліс МОПР...''' : юӧр<br />
*Кирӧ Мить. '''Пӧддельнӧйса (Кулӧмдін у.) комсомол ячейкаын...''' : юӧр<br />
*Калин. '''Йӧрӧсдінса лавкаын...''' : юӧр<br />
*Дурысь. '''Маджаса (Кулӧмдін у.) лыддьысян керкаын...''' : юӧр<br />
*Крестьянин. '''Маджаса общественнӧй лавкаысь приказчикыс...''' : юӧр<br />
*Тільсьысь. '''Одыбса (Висер вожын) общественнӧй лавкаын...''' : юӧр<br />
*Син пӧла Петь. '''Читаёв вӧлӧсьтын Сыктыв у. комсомолеч Андреев...''' : юӧр<br />
*Й. Лобанов. '''Аныбса (Кулӧмдін у.) крестьянин Й. И. Лобанов...''' : юӧр<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92168
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-21T16:27:29Z
<p>Наста: /* Ми кылам */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор<br />
===КИТАЙЫН===<br />
*'''Тиски''' : серпас<br />
*'''Кантонса армия водзӧ мунӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Будапештын вӧлӧма взрыв''' : выльтор<br />
*'''Ойдӧма 5 сюрс керка''' : выльтор<br />
*'''Регистрируйттӧм скӧтысь страхӧвӧй оз мынтыны''' : выльтор<br />
*'''Уна керка киссьӧма''' : выльтор<br />
*'''Быд коми крестьянинлы колӧ лыддьыны «Коми сикт»!''' : шыӧдчӧм<br />
*К. '''Матысмӧ Урожай праздник''' : публ. гижӧд<br />
===Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ!===<br />
*С. М. Красильников. '''Косьтӧны видзьяс''' : публ. гижӧд<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Мусӧ эжмӧдісны''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Заводитӧны вика кӧдзны''' : публ. гижӧд<br />
*Онтӧн иры. '''Нянь омӧль воӧма''' : публ. гижӧд<br />
*С-иа. '''Шабді воис бур''' : публ. гижӧд<br />
*Ном. '''Пуктасъяс бура быдмисны''' : публ. гижӧд<br />
*Игнатов. '''Кынмис нянь''' : публ. гижӧд<br />
*Видзӧдысь. '''Страхуйтӧм сьӧм оз вош''' : публ. гижӧд<br />
*Микайлов И. К. '''Юнь 2-ӧд лунӧ менам кулі мӧс...''' : юӧр<br />
*Эхо. '''Поёл в. Сыктыв у., тырыс нин мӧс...''' : юӧр<br />
*Дзоридз. '''Чуклӧмын (Сыктыв у.) ошъясӧн матӧ воӧмаӧсь...''' : юӧр<br />
*Кывлысь. '''Став льӧм пусӧ керавлӧмаӧсь''' : юӧр<br />
*'''Кооперация водзын сулалан уджъяс''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коммунистъяс, комсомолечьяс, разӧдӧй...''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №19===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд<br />
*Илля Вась. '''Удж дырйи''' : кывбур<br />
*Биа Ӧгыр. '''Нывбабаяс съезд кежлӧ''' : кывбур<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*В. Исаков. '''Картупель зэв ёна мӧдӧма сісьмыны''' : публ. гижӧд<br />
<br />
===Коми муын===<br />
*'''Омӧля уджсӧ сувтӧдӧма''' : публ. гижӧд<br />
*Рель. '''Томан ӧшалӧ''' : публ. гижӧд<br />
*Сім. '''Тшӧтӧвод абу''' : публ. гижӧд<br />
*Мопрын шлен. '''Воши сьӧм''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Бумага вылын коли''' : публ. гижӧд<br />
*Шоль. '''Пыр тадзи''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Суддя шоча волывлӧ''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Шогмытӧм шленъясӧс вӧтлалӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Орысь. '''Колӧ пельшӧр''' : публ. гижӧд<br />
*'''Костті лои ясли тупкыны''' : публ. гижӧд<br />
===Ми кылам===<br />
*Чикыш. '''Спаспоруб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр<br />
*Чикыш. '''Кулига сиктын, Спаспоруб вӧлӧсьтын...''' : юӧр<br />
*Аддзылысь. '''Визябӧж вӧлӧсьтын (Кулӧмдін у.)...''' : юӧр<br />
*Смычка. '''Аквадйын (Емдін у.) школа стӧрӧжикалы...''' : юӧр<br />
*Перӧ № 86. '''Кебраын (Сыктыв у.) удждысян тӧвариществоса...''' : юӧр<br />
*Комар. '''Кулӧмдін вӧлӧсьтын вӧлӧсьт кузя...''' : юӧр<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) организуйтчыліс МОПР...''' : юӧр<br />
*Кирӧ Мить. '''Пӧддельнӧйса (Кулӧмдін у.) комсомол ячейкаын...''' : юӧр<br />
*Калин. '''Йӧрӧсдінса лавкаын...''' : юӧр<br />
*Дурысь. '''Маджаса (Кулӧмдін у.) лыддьысян керкаын...''' : юӧр<br />
*Крестьянин. '''Маджаса общественнӧй лавкаысь приказчикыс...''' : юӧр<br />
*Тільсьысь. '''Одыбса (Висер вожын) общественнӧй лавкаын...''' : юӧр<br />
*Син пӧла Петь. '''Читаёв вӧлӧсьтын Сыктыв у. комсомолеч Андреев...''' : юӧр<br />
*Й. Лобанов. '''Аныбса (Кулӧмдін у.) крестьянин Й. И. Лобанов...''' : юӧр<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92167
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-21T16:22:31Z
<p>Наста: /* Коми муын */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор<br />
===КИТАЙЫН===<br />
*'''Тиски''' : серпас<br />
*'''Кантонса армия водзӧ мунӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Будапештын вӧлӧма взрыв''' : выльтор<br />
*'''Ойдӧма 5 сюрс керка''' : выльтор<br />
*'''Регистрируйттӧм скӧтысь страхӧвӧй оз мынтыны''' : выльтор<br />
*'''Уна керка киссьӧма''' : выльтор<br />
*'''Быд коми крестьянинлы колӧ лыддьыны «Коми сикт»!''' : шыӧдчӧм<br />
*К. '''Матысмӧ Урожай праздник''' : публ. гижӧд<br />
===Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ!===<br />
*С. М. Красильников. '''Косьтӧны видзьяс''' : публ. гижӧд<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Мусӧ эжмӧдісны''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Заводитӧны вика кӧдзны''' : публ. гижӧд<br />
*Онтӧн иры. '''Нянь омӧль воӧма''' : публ. гижӧд<br />
*С-иа. '''Шабді воис бур''' : публ. гижӧд<br />
*Ном. '''Пуктасъяс бура быдмисны''' : публ. гижӧд<br />
*Игнатов. '''Кынмис нянь''' : публ. гижӧд<br />
*Видзӧдысь. '''Страхуйтӧм сьӧм оз вош''' : публ. гижӧд<br />
*Микайлов И. К. '''Юнь 2-ӧд лунӧ менам кулі мӧс...''' : юӧр<br />
*Эхо. '''Поёл в. Сыктыв у., тырыс нин мӧс...''' : юӧр<br />
*Дзоридз. '''Чуклӧмын (Сыктыв у.) ошъясӧн матӧ воӧмаӧсь...''' : юӧр<br />
*Кывлысь. '''Став льӧм пусӧ керавлӧмаӧсь''' : юӧр<br />
*'''Кооперация водзын сулалан уджъяс''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коммунистъяс, комсомолечьяс, разӧдӧй...''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №19===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд<br />
*Илля Вась. '''Удж дырйи''' : кывбур<br />
*Биа Ӧгыр. '''Нывбабаяс съезд кежлӧ''' : кывбур<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*В. Исаков. '''Картупель зэв ёна мӧдӧма сісьмыны''' : публ. гижӧд<br />
<br />
===Коми муын===<br />
*'''Омӧля уджсӧ сувтӧдӧма''' : публ. гижӧд<br />
*Рель. '''Томан ӧшалӧ''' : публ. гижӧд<br />
*Сім. '''Тшӧтӧвод абу''' : публ. гижӧд<br />
*Мопрын шлен. '''Воши сьӧм''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Бумага вылын коли''' : публ. гижӧд<br />
*Шоль. '''Пыр тадзи''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Суддя шоча волывлӧ''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Шогмытӧм шленъясӧс вӧтлалӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Орысь. '''Колӧ пельшӧр''' : публ. гижӧд<br />
*'''Костті лои ясли тупкыны''' : публ. гижӧд<br />
===Ми кылам===<br />
*<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92166
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-21T16:19:34Z
<p>Наста: /* КОМИ ГИЖӦМ №19 */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор<br />
===КИТАЙЫН===<br />
*'''Тиски''' : серпас<br />
*'''Кантонса армия водзӧ мунӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Будапештын вӧлӧма взрыв''' : выльтор<br />
*'''Ойдӧма 5 сюрс керка''' : выльтор<br />
*'''Регистрируйттӧм скӧтысь страхӧвӧй оз мынтыны''' : выльтор<br />
*'''Уна керка киссьӧма''' : выльтор<br />
*'''Быд коми крестьянинлы колӧ лыддьыны «Коми сикт»!''' : шыӧдчӧм<br />
*К. '''Матысмӧ Урожай праздник''' : публ. гижӧд<br />
===Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ!===<br />
*С. М. Красильников. '''Косьтӧны видзьяс''' : публ. гижӧд<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Мусӧ эжмӧдісны''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Заводитӧны вика кӧдзны''' : публ. гижӧд<br />
*Онтӧн иры. '''Нянь омӧль воӧма''' : публ. гижӧд<br />
*С-иа. '''Шабді воис бур''' : публ. гижӧд<br />
*Ном. '''Пуктасъяс бура быдмисны''' : публ. гижӧд<br />
*Игнатов. '''Кынмис нянь''' : публ. гижӧд<br />
*Видзӧдысь. '''Страхуйтӧм сьӧм оз вош''' : публ. гижӧд<br />
*Микайлов И. К. '''Юнь 2-ӧд лунӧ менам кулі мӧс...''' : юӧр<br />
*Эхо. '''Поёл в. Сыктыв у., тырыс нин мӧс...''' : юӧр<br />
*Дзоридз. '''Чуклӧмын (Сыктыв у.) ошъясӧн матӧ воӧмаӧсь...''' : юӧр<br />
*Кывлысь. '''Став льӧм пусӧ керавлӧмаӧсь''' : юӧр<br />
*'''Кооперация водзын сулалан уджъяс''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коммунистъяс, комсомолечьяс, разӧдӧй...''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №19===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд<br />
*Илля Вась. '''Удж дырйи''' : кывбур<br />
*Биа Ӧгыр. '''Нывбабаяс съезд кежлӧ''' : кывбур<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*В. Исаков. '''Картупель зэв ёна мӧдӧма сісьмыны''' : публ. гижӧд<br />
<br />
===Коми муын===<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92165
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-21T16:19:18Z
<p>Наста: /* КОМИ ГИЖӦМ №19 */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор<br />
===КИТАЙЫН===<br />
*'''Тиски''' : серпас<br />
*'''Кантонса армия водзӧ мунӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Будапештын вӧлӧма взрыв''' : выльтор<br />
*'''Ойдӧма 5 сюрс керка''' : выльтор<br />
*'''Регистрируйттӧм скӧтысь страхӧвӧй оз мынтыны''' : выльтор<br />
*'''Уна керка киссьӧма''' : выльтор<br />
*'''Быд коми крестьянинлы колӧ лыддьыны «Коми сикт»!''' : шыӧдчӧм<br />
*К. '''Матысмӧ Урожай праздник''' : публ. гижӧд<br />
===Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ!===<br />
*С. М. Красильников. '''Косьтӧны видзьяс''' : публ. гижӧд<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Мусӧ эжмӧдісны''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Заводитӧны вика кӧдзны''' : публ. гижӧд<br />
*Онтӧн иры. '''Нянь омӧль воӧма''' : публ. гижӧд<br />
*С-иа. '''Шабді воис бур''' : публ. гижӧд<br />
*Ном. '''Пуктасъяс бура быдмисны''' : публ. гижӧд<br />
*Игнатов. '''Кынмис нянь''' : публ. гижӧд<br />
*Видзӧдысь. '''Страхуйтӧм сьӧм оз вош''' : публ. гижӧд<br />
*Микайлов И. К. '''Юнь 2-ӧд лунӧ менам кулі мӧс...''' : юӧр<br />
*Эхо. '''Поёл в. Сыктыв у., тырыс нин мӧс...''' : юӧр<br />
*Дзоридз. '''Чуклӧмын (Сыктыв у.) ошъясӧн матӧ воӧмаӧсь...''' : юӧр<br />
*Кывлысь. '''Став льӧм пусӧ керавлӧмаӧсь''' : юӧр<br />
*'''Кооперация водзын сулалан уджъяс''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коммунистъяс, комсомолечьяс, разӧдӧй...''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №19===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд<br />
*Илля Вась. '''Удж дырйи''' : кывбур<br />
*Биа Ӧгыр. '''Нывбабаяс съезд кежлӧ''' : кывбур<br />
*В. Исаков. '''Картупель зэв ёна мӧдӧма сісьмыны''' : публ. гижӧд<br />
===Коми муын===<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92164
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-20T20:43:25Z
<p>Наста: /* Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ! */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор<br />
===КИТАЙЫН===<br />
*'''Тиски''' : серпас<br />
*'''Кантонса армия водзӧ мунӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Будапештын вӧлӧма взрыв''' : выльтор<br />
*'''Ойдӧма 5 сюрс керка''' : выльтор<br />
*'''Регистрируйттӧм скӧтысь страхӧвӧй оз мынтыны''' : выльтор<br />
*'''Уна керка киссьӧма''' : выльтор<br />
*'''Быд коми крестьянинлы колӧ лыддьыны «Коми сикт»!''' : шыӧдчӧм<br />
*К. '''Матысмӧ Урожай праздник''' : публ. гижӧд<br />
===Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ!===<br />
*С. М. Красильников. '''Косьтӧны видзьяс''' : публ. гижӧд<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Мусӧ эжмӧдісны''' : публ. гижӧд<br />
*Выль гижысь. '''Заводитӧны вика кӧдзны''' : публ. гижӧд<br />
*Онтӧн иры. '''Нянь омӧль воӧма''' : публ. гижӧд<br />
*С-иа. '''Шабді воис бур''' : публ. гижӧд<br />
*Ном. '''Пуктасъяс бура быдмисны''' : публ. гижӧд<br />
*Игнатов. '''Кынмис нянь''' : публ. гижӧд<br />
*Видзӧдысь. '''Страхуйтӧм сьӧм оз вош''' : публ. гижӧд<br />
*Микайлов И. К. '''Юнь 2-ӧд лунӧ менам кулі мӧс...''' : юӧр<br />
*Эхо. '''Поёл в. Сыктыв у., тырыс нин мӧс...''' : юӧр<br />
*Дзоридз. '''Чуклӧмын (Сыктыв у.) ошъясӧн матӧ воӧмаӧсь...''' : юӧр<br />
*Кывлысь. '''Став льӧм пусӧ керавлӧмаӧсь''' : юӧр<br />
*'''Кооперация водзын сулалан уджъяс''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коммунистъяс, комсомолечьяс, разӧдӧй...''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №19===<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92163
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-20T20:38:19Z
<p>Наста: /* КИТАЙЫН */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор<br />
===КИТАЙЫН===<br />
*'''Тиски''' : серпас<br />
*'''Кантонса армия водзӧ мунӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Будапештын вӧлӧма взрыв''' : выльтор<br />
*'''Ойдӧма 5 сюрс керка''' : выльтор<br />
*'''Регистрируйттӧм скӧтысь страхӧвӧй оз мынтыны''' : выльтор<br />
*'''Уна керка киссьӧма''' : выльтор<br />
*'''Быд коми крестьянинлы колӧ лыддьыны «Коми сикт»!''' : шыӧдчӧм<br />
*К. '''Матысмӧ Урожай праздник''' : публ. гижӧд<br />
===Крестьянин, кыпӧд овмӧстӧ!===<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92162
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-20T20:35:35Z
<p>Наста: /* Став му вылын */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Сӧмын квайт пач уджалӧ''' : выльтор<br />
*'''Вермӧны на забастовка водзӧ нуӧдны''' : выльтор<br />
*'''Ӧти кывйӧ абу воӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Ыджыд тӧв Америкаын''' : выльтор<br />
*'''Тӧлыс дзикӧдз чышкӧма кымынкӧ кар''' : выльтор<br />
*'''Лӧсьӧдӧмаӧсь военнӧй положенньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''Диспансер лыд воысь воӧ содӧ''' : выльтор<br />
*'''Недоимка бергӧдӧны''' : выльтор<br />
===КИТАЙЫН===<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92161
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-20T20:32:57Z
<p>Наста: /* Пытшкӧс */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Велӧдчӧмын миян вын''' : публ. гижӧд<br />
===Став му вылын===<br />
*<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-25._%E2%84%9639&diff=92160
Коми сикт. 1926-09-25. №39
2026-10-20T20:31:46Z
<p>Наста: Новая страница: «==Пытшкӧс== ==Содтӧд юӧр==»</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92158
Планиметрия курс − 2
2026-10-05T13:39:26Z
<p>Наста: /* Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс */</p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс==<br />
<br />
Кутшӧмкӧ чут да индӧм веськыд визь кост ылнаӧн шуӧны тайӧ чутсяньыс веськыд визьланьыс перпендикулярлысь кузьтасӧ.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧсын биссектрисалӧн быд чутыс кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt bis rasst.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектрисаын, а ''K'' да ''L'' чутъяс — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чутыс кӧ кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын, сылы быть лоны биссектрисаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt rasst bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' куйлӧ пельӧс пытшкын, а ''K'' да ''L'' — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧг шӧр пыр вӧчӧм перпендикулярас быд чутыс лоӧ вундӧг кыкнан помсянь ӧтылнаын.<br />
<br />
[[Файл:Shoer perp otylna.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чутыс, ''l'' — шӧр перпендикулярыс, ''M'' чут сюрӧ ''l''-ас. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чутыс кӧ вундӧг кыкнан помсянь ӧтылнаын, сійӧ быть сюрас вундӧг шӧр пыр вӧчӧм перпендикулярас.<br />
<br />
[[Файл:Otylna shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Ми тӧдам нин: ӧткодь берда куимсэрӧгын йыв пельӧсса биссектриса лоӧ ӧттшӧтш сылы шӧрвизьнас и, судтанас и. Та вӧсна ''MC'' лоӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикулярӧн, кытчӧ ''М''-ыс сюрӧ жӧ.<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкӧсъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Арифметикаысь ми тӧдам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь, сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визьлы ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны веськыд визьлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм веськыд визь да сыысь ортсын ''А'' чут. ''А'' чутсянь циркульӧн гижтам кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визьыскӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC'', найӧ ӧти кытшын радиусъяс, сідзкӧ ӧткузьтаӧсь. Сэсся циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр. Ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын тайӧ гижтӧмторйыс лоӧ сы подулыслы ӧттшӧтш медианаӧн да судтаӧн да сідзкӧ и миян веськыд визьыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны индӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92157
Планиметрия курс − 2
2026-10-05T13:36:29Z
<p>Наста: /* Фалеслӧн мӧд теорема */</p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс==<br />
<br />
Кутшӧмкӧ чут да индӧм веськыд визь кост ылнаӧн шуӧны тайӧ чутсяньыс веськыд визьланьыс перпендикулярлысь кузьтасӧ.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧсын биссектрисалӧн быд чутыс кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt bis rasst.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектрисаын, а ''K'' да ''L'' чутъяс — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чутыс кӧ кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын, сылы быть лоны биссектрисаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt rasst bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' куйлӧ пельӧс пытшкын, а ''K'' да ''L'' — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧглы шӧр перпендикулярын быд чут тайӧ вундӧгыслӧн помъяссянь ӧтылнаын.<br />
<br />
[[Файл:Shoer perp otylna.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ вундӧгыслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
[[Файл:Otylna shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧткодь берда куимсэрӧгын йывса пельӧслы биссектриса лоӧ куимсэрӧгыслы медиананас да судтанас. Та вӧсна ''MC'' лоӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкӧсъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Арифметикаысь ми тӧдам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь, сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визьлы ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны веськыд визьлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм веськыд визь да сыысь ортсын ''А'' чут. ''А'' чутсянь циркульӧн гижтам кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визьыскӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC'', найӧ ӧти кытшын радиусъяс, сідзкӧ ӧткузьтаӧсь. Сэсся циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр. Ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын тайӧ гижтӧмторйыс лоӧ сы подулыслы ӧттшӧтш медианаӧн да судтаӧн да сідзкӧ и миян веськыд визьыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны индӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%AE%D0%B3%D1%8B%D0%B4_%D1%82%D1%83%D0%B9_(1918-25,_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D0%B3%D0%B8%D0%B6%D3%A7%D0%B4%D1%8A%D1%8F%D1%81%D0%BB%D1%8B_%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D1%81%D1%8C)&diff=92156
Югыд туй (1918-25, коми гижӧдъяслы юриндалысь)
2026-09-30T13:55:18Z
<p>Наста: </p>
<hr />
<div>Тані шӧр коми газетса коми гижӧдъяслы юриндалысь. Газетлӧн нимыс:<br />
*1918–1920: «Зырянская жизнь»<br />
*1919ʼ вося апрель-юньын: «В Зырянском краю»<br />
*1921ʼ во воддза джынйын: «Удж»<br />
*1921ʼ во шӧрсянь «Югыд туй»<br />
<br />
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="text-align:center; border:1px solid #aaa; border-collapse:collapse"<br />
|1918-06-22<br />
|№4<br />
| Лб. 4: "Водзе" кб (Н.А. Шаков); [http://komikyv.org/kpv/node/30255 Ивӧ Ёгор статьяын]<br />
|-<br />
|1918-08-11<br />
|№ 16<br />
|Лб. 4: "Помоздинъ" ст (роча-комиа); [http://komikyv.org/kpv/node/9429 коми частушкаяс]; оригинал блокнотӧ гижӧма<br />
|-<br />
|1918-08-18<br />
|№ 18<br />
|Лб. 3: "Гӧрд звӧн" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30582 *]<br />
|-<br />
|1918-08-27<br />
|№ 20<br />
|Лб. 3: "Ыджид бӧрдэм" (Нёбдінса Виттор); мӧд редакция эм небӧгын; оригинал блокнотӧ гижӧма [http://komikyv.org/kpv/node/35507 *]<br />
|-<br />
|1918-09-12<br />
|№ 25<br />
|Лб. 3: "Вокъяс! Мед полысь оз повзи..." (Зырянин) [http://komikyv.org/kpv/node/33553 *]<br />
|-<br />
|1918-09-14<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Вундэм" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/33173 *]<br />
|-<br />
|1918-11-07<br />
|№ 35<br />
|Лб. 3"Ыджыд вӧля" (Бур Морт) [http://komikyv.org/kpv/node/33914 *]<br />
|-<br />
|1918-11-29<br />
|№ 39<br />
|Лб. 2: "Озырлы, сарйаслы пом!" [http://komikyv.org/kpv/node/33543 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1918-12-08<br />
|№ 41<br />
|Лб. 2: "Чолом" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30584 *]<br />
|-<br />
|1918-12-13<br />
|№ 42<br />
|Лб. 1: "Регыд лоӧ..." ст [http://komikyv.org/kpv/node/29668 *]<br />
|-<br />
|1918-12-13<br />
|№ 42<br />
|Лб. 2-3: "Кык револьуціа" (А.М.) [http://komikyv.org/kpv/node/33536 *]<br />
|-<br />
|1918-12-18<br />
|№ 43<br />
|Лб. 1: "Посньі йӧз" ст [http://komikyv.org/kpv/node/29669 *]<br />
|-<br />
|1918-12-18<br />
|№ 43<br />
|Лб. 3: "Тӧвса рыт" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30585 *]<br />
|-<br />
|1918-12-22<br />
|№ 44<br />
|Лб. 1: "Паськыд Комі муыд..." ст [http://komikyv.org/kpv/node/31725 *]<br />
|-<br />
|1918-12-22<br />
|№ 44<br />
|Лб. 3: "Гіжӧд тӧварышйаслы коми йӧзлы" (Ипполит Саввин) [http://komikyv.org/kpv/node/34762 *]<br />
|-<br />
|1918-12-22<br />
|№ 44<br />
|Лб. 4: Интернационал [http://komikyv.org/kpv/node/34763 *]<br />
|-<br />
|1918-12-26<br />
|№ 45<br />
|Лб. 3: "Шогсись ныв" (Юсь) [http://komikyv.org/kpv/node/34764 *]<br />
|-<br />
|1919-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 1: "Выль во" ст [http://komikyv.org/kpv/node/33791 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 4: "Коды?" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30586 *]<br />
|-<br />
|1919-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 6: Ичӧт текст комиӧн<br />
|-<br />
|1919-01-05<br />
|№ 2<br />
|Лб. 2: "Коньӧрасӧй ті, том йӧзӧй" кб (Коми велӧдчысь) [http://komikyv.org/kpv/node/33792 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-16<br />
|№ 4<br />
|Лб. 2: "Кык во нин кольны кутіс" (Илля Вась) [https://komikyv.org/kpv/node/33793 *]; фото<br />
|-<br />
|1919-01-22<br />
|№ 5<br />
|Лб. 2: "Коми йӧзлы" (Н. Попов) [http://komikyv.org/kpv/node/33794 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. 2-3: "Кывзъі кодъі пэля" (Лазар) [http://komikyv.org/kpv/node/33795 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. 3-4: "Ежва вожса тӧварышйаслы" (Носьімса) [http://komikyv.org/kpv/node/33796 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. 4: "Гажа-ін муса-ін" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30583 *]<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
| Лб. 5: "Йанварын 24, 25 лунйа" (В.Л.)<br />
|-<br />
|1919-02-23<br />
|№ 9<br />
|Лб. 3: коми сьыланкыв [http://komikyv.org/kpv/node/33797 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-07-31<br />
|№ 38<br />
|Лб. 2: "Мый керны?" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30587 *]<br />
|-<br />
|1919-08-27<br />
|№ 48<br />
|Лб. 2: "Кібраса Кульіковлы" (ичӧт юӧр)<br />
|-<br />
|1919-09-07<br />
|№ 50<br />
|Лб. 4: "Мӧдысь" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30588 *]<br />
|-<br />
|1919-09-07<br />
|№ 50<br />
|Лб. 6: "Кыдйа роч" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30485 *]<br />
|-<br />
|1919-09-18<br />
|№ 54<br />
|Лб. 2: "Сӧветскӧй" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30589 *]<br />
|-<br />
|1919-09-27<br />
|№ 58<br />
|Лб. 2: "Нальк" Нёбдінса Виттор [http://komikyv.org/kpv/node/33790 *]<br />
|-<br />
|1919-11-07<br />
|№ 74<br />
|Лб. 3: "Чераньйяс, гутйас" кб (Варыш) [http://komikyv.org/kpv/node/32476 *]<br />
|-<br />
|1919-12-05<br />
|№ 77<br />
|Лб. 2: "Губерньатӧм Губернатор" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30595 *]<br />
|-<br />
|1920-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 3-4: "Гудрасьӧм" (Нёбдінса Виттор; Міча Матрӧн гусянимӧн) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/35494 *]<br />
|-<br />
|1920-03-03<br />
|№ 17<br />
|Лб. 1: "Медбӧрйа звӧн" (Ньобдінса Віттор) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/35495 *]<br />
|-<br />
|1920-03-17<br />
|№ 21<br />
|Лб. 2: "Локтӧ коммуна" (Варыш) [http://komikyv.org/kpv/node/32475 *]<br />
|-<br />
|1920-03-26<br />
|№ 23<br />
|Лб. 2: "Дона гу вылын" (Ньобдінса Віттор) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/30606 *]<br />
|-<br />
|1920-04-21<br />
|№ 31<br />
|Лб. 1: "Кык туй" (Варыш) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/32474 *]<br />
|-<br />
|1920-04-24<br />
|№ 32<br />
|Лб. 2: "Кор долыд?" (Ньобдінса Віттор) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/30596 *]<br />
|-<br />
|1920-06-07<br />
|№ 43<br />
|Лб. 2: "Чушканлы" (ичӧт юӧр)<br />
|-<br />
|1920-08-07<br />
|№ 58<br />
|Лб. 2: "Интернационал" (В. Савін, А. Маегов, В. Чістальов) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/29453 *]<br />
|-<br />
|1920-08-25<br />
|№ 61<br />
|Лб. 2: "Саԃмӧԁчы пемыԁ комі ныв-баба..." (лозунг) НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1920-08-27<br />
|№ 62<br />
|Лб. 1: Мый-понда ӧнъи вӧчьӧны переписьяс (статья) НЭБ [http://www.komikyv.org/kpv/node/36872 *] фото<br />
|-<br />
|1920-10-09<br />
|№ 67<br />
|Лб. 2: "Југыԁлаԋ!" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30599 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1920-10-16<br />
|№ 69<br />
|Лб. 2: "Ем-кӧ шог — ем і мог" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35496 *] фото<br />
|-<br />
|1920-10-27 <br />
|№ 71<br />
|Лб. 1: "Прансузкӧј кіры-нары" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35497 *] фото<br />
|-<br />
|1920-10-30<br />
|№ 72<br />
|Лб. 1: "Том војтыр, саԃмӧ! Пӧрыԍјас, лаԋтӧ!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30600 *] фото<br />
|-<br />
|1920-11-07<br />
|№ 73<br />
|Лб. 1: "Уҗалыԍ јӧз!.." (лозунг) НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1920-11-07<br />
|№ 73<br />
|Лб. 2: "1917 — окԏаб — 1920" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35498 *] фото<br />
|-<br />
|1920-11-13<br />
|№ 74<br />
|Лб. 2: "Гажа саԁ" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30601 *] фото<br />
|-<br />
|1920-11-18<br />
|№ 75<br />
|Лб. 2: "Ԍӧлӧм ԍылӧм" кб (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30602 *] фото<br />
|-<br />
|1920-12-11<br />
|№ 80<br />
|Лб. 1: "Комі ӧтлаԍӧм јылыԍ" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/35503 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; Лб. 2: Меԁа (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30681 *]; Лб. 3: Јереԏԋічество (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/35505 *] НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1920-12-18<br />
|№ 81<br />
|Лб. 2: Меԁа (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/30681 *] фото<br />
|-<br />
|1920-12-23<br />
|№ 82<br />
|Лб. 1: юӧр: "Ставным тӧԁам..." НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35506 *] фото<br />
|-<br />
|1921-01-01<br />
|№ 1 Удж<br />
|Лб. 1: "Выԉ во" ст (Ԋобдінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36460 *] фото<br />
|-<br />
|1921-01-12<br />
|№ 2<br />
|Лб. 1: "Комі војтыр!.." (лозунг); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-01-21<br />
|№ 4<br />
|Лб. 1: "Быԁтор мі кужны кутам..." (юӧр); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-01-21<br />
|№ 4<br />
|Лб. 1-2: "Комі Інԍԏітут" кб + ст (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36461 *] фото<br />
|-<br />
|1921-01-26<br />
|№ 5<br />
|Лб. 1 "Быԁӧнлы колӧ..." лозунг; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. ? Пошта куԁ; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; ӧти шыпас клеитӧма<br />
|-<br />
|1921-02-02<br />
|№ 7<br />
|Лб. 1: "Віԁчыԍӧј! Пеԉкӧԁчӧј! Локтӧ бара біја-віԍӧм!" (Агас); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/36462 *] фото<br />
|-<br />
|1921-02-02<br />
|№ 7 <br />
|Лб. 2: "Мыј те талун..." лозунг; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-02-02<br />
|№ 7 <br />
|Лб. 2: "Вічко служба ԁа проповӧԃ" кб юкӧн (Јогор Коԉегов); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-02-09<br />
|№ 8<br />
|Лб. 2: "Пармаын вотчӧны посԋыԃік чеԉаԃ" (В. Пеԁӧр); тетрадьын [http://komikyv.org/kpv/node/27032 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-02-09<br />
|№ 8<br />
|Лб. 3: "Баба вӧтаԍӧм" (А. Пӧрԏіс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36463 *] фото<br />
|-<br />
|1921-02-12<br />
|№ 9<br />
|Лб. 2: "Дяденька Миша-јылыԍ мојԁан-кыв" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36464 *] фото<br />
|-<br />
|1921-02-26<br />
|№ 11<br />
|Лб. 1: "Кӧԇтӧм му вылын..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; фото<br />
|-<br />
|1921-03-02<br />
|№ 12<br />
|Лб. 1: "Кыԇі коміӧн лыԃԃыны?" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''', фото; [http://komikyv.org/kpv/node/36465 *]; "Важӧн і ӧні" (Јогор Коԉегов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36671 *]<br />
|-<br />
|1921-03-06<br />
|№ 13<br />
|Лб. 2: "Комі гіжыԍјаслы" (Віԇ); $сэсся водзӧ гижӧм, "Ԍіԅ" кырымпасӧн '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36672 *], фото<br />
|-<br />
|1921-03-06<br />
|№ 13<br />
|Лб. 4: "Тӧдан-он, Комі ныв-баба?" (Комі-ныв) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36673 *]; "Ез ков вӧчны ныв-баба тӧԁтӧг" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36674 *]; "Кыпӧԁчӧны" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36675 *]<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 1: "Комі Респубԉіка јылыԍ" эм фото; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36681 *]<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 2: "Ог вермы" кб (Ј. Коԉегов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36694 *]; "Ен тӧжԁыԍ! Ен шогԍы!" кб (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30604 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' + нӧшта коми текст? фото<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 3: "Коԉӧма-тај" кб (Віԅ) [http://komikyv.org/kpv/node/35312 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''', фото<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 4: "Уҗалӧј таԇі – быԁтор лоӧ!" (Браԏінков) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36692 *]<br />
|-<br />
|1921-03-18<br />
|№ 16<br />
|Лб. 1: "Паріжса Коммуна" (Віԅ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36704 *]<br />
|-<br />
|1921-03-18<br />
|№ 16<br />
|Лб. 3: "Ыҗыԁ шог" кб (Ԍіԅ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-18<br />
|№ 16<br />
|Лб. 4: "Мојԁ-збыԉ" (Ыщкыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36705 *]<br />
|-<br />
|1921-03-23<br />
|№ 17<br />
|Лб. 1: "Ыҗыԁ тујвеж" ст (Агас) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36706 *]<br />
|-<br />
|1921-03-23<br />
|№ 17<br />
|Лб. 3: "Выԉ закон ԋаԋ јылыԍ" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36707 *]; "Сар" кб (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36709 *]<br />
|-<br />
|1921-03-26<br />
|№ 18<br />
|Лб. 2: "Кыланныԁ, креԍԏана!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36708 *]; "Јенлы" кб (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36710 *]<br />
|-<br />
|1921-03-26<br />
|№ 18<br />
|Лб. 4: "Колӧ чышкыштны" ст (С.М.) [http://komikyv.org/kpv/node/30256 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 1: "Креԍԏана! Кылӧԁӧј вӧрнытӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 1: "Кылӧԁӧј вӧрнытӧ!" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/32503 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 2: "Ытва-ԁырјы" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36711 *]<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 2-3: 2 статья комиӧн "По уезду" юкӧнысь: "Село Летка" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36712 *]; "Ныв-баба саԃмӧны" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36713 *]<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 3: "Том нывјаслы" (Санԁрік Мікол) [http://komikyv.org/kpv/node/27281 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Зыпка ԁорын" (Габ Јак) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36714 *]; "Ва воԍԍас – уҗ вежԍас" (Ӧԋӧ Ӧԉӧксан) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36715 *]<br />
|-<br />
|1921-04-02<br />
|№ 20<br />
|Лб. 2: "Ныв-баба овмӧс лӧԍӧԁыԍ" ст (Јоԉ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36721 *]; "Саԃмӧԁчы комі ныв-баба!" ст (Выԉ морт) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36722 *]; "Саԁ јылыԍ" ст (Велӧԁыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36723 *]; "Мыјла воԍтӧны поԍевкомјас" (Пеԁӧр Јакӧ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36717 *]<br />
|-<br />
|1921-04-07<br />
|№ 21<br />
|Лб. 1: "Комі му боԍтԍас" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36726 *]<br />
|-<br />
|1921-04-07<br />
|№ 21<br />
|Лб. 2: "Шыбіт важсӧ!" (Віԅ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36724 *]<br />
|-<br />
|1921-04-07<br />
|№ 21<br />
|Лб. 3: "Комілы" (Коԁкӧ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36725 *]<br />
|-<br />
|1921-04-15<br />
|№ 22<br />
|Лб. 3: "Веԍкӧԁӧм" (В. Пеԁӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36466 *] фото<br />
|-<br />
|1921-04-20<br />
|№ 23<br />
|Лб. 2: "Комі школајасӧ" (Ваԍ Пеԁӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36467 *] фото<br />
|-<br />
|1921-04-20<br />
|№ 23<br />
|Лб. 3: "Баба ԍорԋі" кб (из местной живой газеты) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36727 *]<br />
|-<br />
|1921-04-20<br />
|№ 23<br />
|Лб. ?: "Петіс комиӧн Конституция..." юӧр '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-05-01<br />
|№ 25<br />
|Лб. 2: "1-ј мај" ст (С.М.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36728 *]; "1-ј мај" кб (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36729 *]<br />
|-<br />
|1921-05-01<br />
|№ 25<br />
|Лб. 4: "Гажа тулыс" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30605 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-05-08<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Ԋеважӧн-на велӧԁчӧм јӧз..." ст (Комі ізԁаԏеԉство) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36730 *]<br />
|-<br />
|1921-05-29<br />
|№ 29<br />
|Лб. 3: "Віԍталӧј" (Кӧсјыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36731 *]; "Важ олӧм вежԍо" кб (Санԁрік Мікол) [http://www.komikyv.org/kpv/node/27261 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-06-04<br />
|№ 30<br />
|Лб. 3-4: "Паракоԁ віԁчіԍӧм" ст (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/31482 *] фото<br />
|-<br />
|1921-06-12<br />
|№ 31<br />
|Лб. 1-2: "Кујім во міјан гаԅетлы" ст (Гіжыԍ); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35486 *] фото<br />
|-<br />
|1921-07-09<br />
|№ 36<br />
|Лб. 3-4: "Быԁ грезԁӧ, быԁ ԍіктӧ" (Ваԍ Пеԁӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36733 *]<br />
|-<br />
|1921-07-09<br />
|№ 36<br />
|Лб. 4: "Мічӧԁчӧм" (В.П.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36734 *]<br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 1: "Комі ез, југыԁ, паԍкыԁ туј..." лозунг; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 1: "Сувт, четчы, Комі војтыр, аслыԁ шуԁтӧ ԁор!" статья (Ԋобԁінса Віттор) '''РГБ-ысь (Химкиын)'''; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/32502 *]<br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 2: "Југыԁ туј" кб (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30609 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 4: "Комі рыт вылын" (С.М.) [http://komikyv.org/kpv/node/30257 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; Библиография (С.М.; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''') [http://komikyv.org/kpv/node/35487 *] фото<br />
|-<br />
|1921-07-19<br />
|№ 2<br />
|Лб. 1-2: "Колӧ, колӧ бырӧԁны!" (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35484 *] ; '''РГБ-ысь (Химки карын)'''<br />
|-<br />
|1921-08-11<br />
|№ 10 <br />
|Лб. 1: Юӧръяс; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35488 *]; '''РГБ-ысь (Химки карын)'''<br />
|-<br />
|1921-08-13<br />
|№ 11-12<br />
|Лб. 1-2: "Нӧшта ӧтчыԁ шуам" (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35485 *] фото<br />
|-<br />
|1921-08-13<br />
|№ 11-12<br />
|Лб. 2: "Солнце всходит и заходит, а..." кб (Ԋобԁінса Віттор) роча-комиа; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36732 *]<br />
|-<br />
|1921-08-18<br />
|№ 13<br />
|Лб. 1: "Ԍі-пож" кб; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35489 *] фото<br />
|-<br />
|1921-08-20<br />
|№ 14-15<br />
|Лб. 3: "Важ ԍыланкыв выԉ ногӧн" (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35473 *] фото<br />
|-<br />
|1921-08-25<br />
|№ 16-17<br />
|Лб. 3: "Комі гӧлӧс ылі муԍаԋ" (Ԍібырса Комі М.В. Ԋікіԏін); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35466 *] фото<br />
|-<br />
|1921-09-08<br />
|№ 22-23<br />
|Лб. 3: "Ачыс тӧԁӧ" шмонь; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35490 *]; фото<br />
|-<br />
|1921-09-23<br />
|№ 29-30<br />
|Лб. 3: "Му уҗалыԍјас..." юӧр; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; '''РГБ-ысь (Химкиын)''' [http://komikyv.org/kpv/node/35491 *] фото<br />
|-<br />
|1921-09-29<br />
|№ 32-33<br />
|Лб. 2: "Комі ныв-бабајаслы, коԁјас вӧліны Областнӧј конференціја вылын!" ст (Торлопов); [http://komikyv.org/kpv/node/35360 *]; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1921-10-01<br />
|№ 34<br />
|Лб. 2: "Ылын-ылын, Волга ԁорын" ԍыланкыв (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36735 *]<br />
|-<br />
|1921-10-16<br />
|№ 40-41<br />
|Лб. 2: Піјесаыԍ "Воԇӧс" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36736 *]<br />
|-<br />
|1921-11-07<br />
|№ 48<br />
|Лб. 1: "Вітӧԁ во вылӧ петігӧн" кб (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30610 *]<br />
|-<br />
|1922-01-17<br />
|№ 10<br />
|Лб. 2: "Бара-на сы јылыԍ" (Ас морт) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36823 *]; "Огоньки" (роча-комиа; Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-01-24<br />
|№ 14-15<br />
|Лб. 3: "Бубин зильгӧ, гудӧк дзизгӧ..." (статьяын коми кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36824 *]<br />
|-<br />
|1922-01-27<br />
|№ 18<br />
|Лб. 1‐2: "Ԁасӧн верԁӧны ӧԏікӧс" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36825 *]<br />
|-<br />
|1922-01-31<br />
|№ 21<br />
|Лб. 1: "Рочӧн-кӧ тӧԁтӧм — віԍталам коміӧн" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/32504 *]<br />
|-<br />
|1922-02-04<br />
|№ 25<br />
|Лб. 2: "Аркіреј" (Ԋобԁінса Віттор; баллаԁа јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30683 *]<br />
|-<br />
|1922-02-07<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Коԁі?.." (В. Јогор; кывбур јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36826 *]<br />
|-<br />
|1922-02-07<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Аркіреј" (Ԋобԁінса Віттор; баллаԁалӧн мӧԁ јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30683 *]<br />
|-<br />
|1922-02-10<br />
|№ 28<br />
|Лб. 2: "Коԁі?.." (В. Јогор; кывбурлӧн мӧԁ јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36826 *]<br />
|-<br />
|1922-02-14<br />
|№ 31<br />
|Лб. 2: "Коԁі?.." (В. Јогор; кывбурлӧн којмӧԁ јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36826 *]<br />
|-<br />
|1922-02-17<br />
|№ 32<br />
|Лб. 2: "Зеленецкая коровушка" (Ԋобԁінса Віттор; роча-коміа ԍыланкыв) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36892 *]<br />
|-<br />
|1922-02-17<br />
|№ 32<br />
|Лб. 2: "Е. Игнатову (с. Помоздин)" (вочакыв) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1922-02-18<br />
|№ 33<br />
|Лб. 2: "Оз-ӧмӧј-поԅ?" (јуӧртӧм) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36893 *]<br />
|-<br />
|1922-04-05<br />
|№ 65<br />
|Лб. 1: "Ԁасвіт во сајын..." (јуӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-04-13<br />
|№ 70-71<br />
|Лб. 2-3: "Коԁлы овны ӧні ԁолыԁ" (Ԋобԁінса Віттор; поема) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30684 *]<br />
|-<br />
|1922-05-01<br />
|№ 81-82<br />
|Лб. 2: "Вен" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30612 *]<br />
|-<br />
|1922-05-06<br />
|№ 84<br />
|Лб. 2: "Ӧніја гаԅет" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30613 *]<br />
|-<br />
|1922-06-03<br />
|№ 96-97<br />
|Лб. 4: "Чуԃеса-ԃіво" (публ. гіжӧԁ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36894 *]<br />
|-<br />
|1922-06-30<br />
|№ 101-102<br />
|Лб. 3: "Уҗјӧз" (Ԋобԁінса Віттор; частушкајас) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36895 *]<br />
|-<br />
|1922-07-01<br />
|№ 103-104<br />
|Лб. 3: "Суԁ мунӧ!" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30615 *]<br />
|-<br />
|1922-07-02<br />
|№ 105<br />
|Лб. 2: "Ԋімкоԃаԍ, Ԍерапім Саровскӧј!" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30616 *]<br />
|-<br />
|1922-07-04<br />
|№ 106<br />
|Лб. 2: "Поп „мавтчӧ“" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36896 *]<br />
|-<br />
|1922-07-06<br />
|№ 107-108<br />
|Лб. 4: "Ԋӧбаԍыԍ" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36943 *]<br />
|-<br />
|1922-07-09<br />
|№ 110<br />
|Лб. 2: "Міјан „ԉімоԋерјас“" (кывзыԍ: Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' лёк качество [http://komikyv.org/kpv/node/37173 *]<br />
|-<br />
|1922-07-29<br />
|№ 122<br />
|Лб. 4: "Кыԇі колӧ ԍорԋітны коміӧн" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30269 *]<br />
|-<br />
|1922-07-30<br />
|№ 123<br />
|Лб. 2: "Ен кыскав менӧ!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36944 *]<br />
|-<br />
|1922-08-01<br />
|№ 124<br />
|Лб. 2: "Пом ԋі ԁор" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30617 *]<br />
|-<br />
|1922-08-03<br />
|№ 125<br />
|Лб. 4: "Вӧлӧга перјӧм" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30618 *];<br />
"Воча кыв Іԉԉа Ваԍ Лыткінлы" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36945 *]<br />
|-<br />
|1922-08-12<br />
|№ 130<br />
|Лб. 4: "Поп ԁа Ваԍіԉіса" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36946 *]<br />
|-<br />
|1922-08-19<br />
|№ 134<br />
|Лб. 4: "Кулӧм лов ловԅӧԁӧм" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36947 *]<br />
|-<br />
|1922-09-12<br />
|№ 146<br />
|Лб. 2: "Ваԍ Пеԁӧр кулӧм куԅа" (Іԉԉа Ваԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/27105 *]<br />
|-<br />
|1922-09-14<br />
|№ 147<br />
|Лб. 3: "Ваԍ Пеԁӧр — Комі поет" (Іԉԉа Ваԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/33531 *]<br />
|-<br />
|1922-09-21<br />
|№ 151<br />
|Лб. 4: "Воԇ-на шојччыны" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30620 *]<br />
|-<br />
|1922-09-28<br />
|№ 154<br />
|Лб. 3: "Посԋі чеԉаԃлы" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36970 *]<br />
|-<br />
|1922-09-30<br />
|№ 155<br />
|Лб. 4: "Ставным вӧлім мамлӧн пі..." (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36971 *]<br />
|-<br />
|1922-10-01<br />
|№ 156<br />
|Лб. 2: "Салԁат ԍыланкыв" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36980 *]<br />
|-<br />
|1922-10-03<br />
|№ 157<br />
|Лб. 1: "Ӧтувтчӧмӧн уҗалӧм" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30258 *]<br />
|-<br />
|1922-10-05<br />
|№ 158<br />
|Лб. 1: "Грамота помын став бурыс" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/32505 *]<br />
|-<br />
|1922-10-05<br />
|№ 158<br />
|Лб. 4: "Шонԁі бан" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36982 *]<br />
|-<br />
|1922-10-07<br />
|№ 159<br />
|Лб. 3: "Потан ԁорын ԍыланкыв" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/27260 *]<br />
|-<br />
|1922-10-19<br />
|№ 165<br />
|Лб. 1: "Аԅербејԁжанскӧј респубԉікаын...", "Мукӧԁлаын важӧн..." (лозунгјас) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-10-21<br />
|№ 166 <br />
|Лб. 3: "Выԉгортса олӧм-вылӧм" (Комі пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36983 *]<br />
|-<br />
|1922-10-22<br />
|№ 167<br />
|Лб. 2: "Выԉ пјеса" (С. М.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36984 *]; "Грек" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36985 *]<br />
|-<br />
|1922-10-24<br />
|№ 168<br />
|Лб. 1: "Сортовка" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36986 *]<br />
|-<br />
|1922-10-28<br />
|№ 170<br />
|Лб. 1: "Мыјла Сӧвет-влаԍт лӧԍӧԁаліс ԃеԋгаа налогјас" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36999 *]<br />
|-<br />
|1922-10-28<br />
|№ 170<br />
|Лб. 2: "Креԍԏаԋін! Мынты налогтӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-11-02<br />
|№ 172<br />
|Лб. 2-3: "Со-ӧԁ кӧні пемыԁ-олӧмыс!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37000 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 1: "Віт во Окԏабрса Ревоԉутсіјалы" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37001 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 2: "Окԏаб" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37002 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 3: "Лаԃімер Іԉјіч Уԉјанов-Ԉеԋін" (Пашкін Јӧвгӧ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37003 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 5: "Віт" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30621 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 6: "Сӧвет-влаԍт-ԁырјі віт воԍа олӧм" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/33799 *]<br />
|-<br />
|1922-11-16<br />
|№ 178<br />
|Лб. 1: "Кык вежончӧжԍа отсалӧм школалы" (С. М.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30270 *]<br />
|-<br />
|1922-11-18<br />
|№ 179<br />
|Лб. 2-3: "Сӧвет влаԍт ԁырјі вітвоԍа олӧм" С.М. '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/33799 *]<br />
|-<br />
|1922-11-25<br />
|№ 183<br />
|Лб. 2: "Ӧніја налог іԉі важ вуз-вот унҗык" (Комі пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37004 *]<br />
|-<br />
|1922-11-30<br />
|№ 186<br />
|Лб. 1: "Лозанна" кб (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30622 *]<br />
|-<br />
|1922-12-30<br />
|№ 201<br />
|Лб. 4: "Ԁугԁӧј ԁурны!" (А. Нестеров) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37172 *]<br />
|-<br />
|1923-01-30<br />
|№ 14<br />
|Лб. 1: "Кыԇі аслыԁ і казналы бур вӧчны" (Парма пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37482 *]<br />
|-<br />
|1923-02-01<br />
|№ 15<br />
|Лб. 1: "Коміԏет Креԍԏанскӧј Взаімопомощі" (Комі пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37483 *]<br />
|-<br />
|1923-02-01<br />
|№ 15<br />
|Лб. 2: "Кыԇі Ԍӧвет-влаԍт отсалӧ ныв-бабалы" (Бур-Аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37568 *]<br />
|-<br />
|1923-02-08<br />
|№ 19<br />
|Лб. 1: "Труԁгужналог поԅӧ ԃеԋгаӧн мынтыны" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37512 *]<br />
|-<br />
|1923-02-10<br />
|№ 20<br />
|Лб. 1: "Мыјла колӧ гаԅет" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30259 *]<br />
|-<br />
|1923-02-13<br />
|№ 22<br />
|Лб. 1-2: "Колӧ бурҗыка гӧгӧрвоны" ; (В.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37569 *]<br />
|-<br />
|1923-02-15<br />
|№ 23<br />
|Лб. 1: "Мыј ԍетӧ креԍԏаналы ԍеԉско-кӧԅајственнӧј коопераԏів" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37513 *]<br />
|-<br />
|1923-02-20<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Отсаламӧј школајаслы" (Конӧ Пеԁӧр Іріԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37524 *]<br />
|-<br />
|1923-02-22<br />
|№ 27<br />
|Лб. 1-2: "Коԁјаскӧԁ вермаԍіс Гӧрԁ Арміја віт воӧн" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37560 *]<br />
|-<br />
|1923-02-24<br />
|№ 28<br />
|Лб. 2: "Школа" (Сабрі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37561 *]<br />
|-<br />
|1923-02-27<br />
|№ 30<br />
|Лб. 2: "Гылыԁ" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37562 *]<br />
|-<br />
|1923-03-06<br />
|№ 34<br />
|Лб. 1: "Вотчіна уҗалӧм-јылыԍ" (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37563 *]<br />
|-<br />
|1923-03-08<br />
|№ 35<br />
| Лб. 1-2: "Ныв-баба лун" (Аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37564 *]<br />
|-<br />
|1923-03-18<br />
|№ 42<br />
| Лб. 1-2: "Паріжса Коммуна" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37565 *]<br />
|-<br />
|1923-03-24<br />
|№ 47<br />
| Лб. 1: "Ӧтувја кӧјԁыс-јӧртӧԁ" (М-л) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37566 *]<br />
|-<br />
|1923-03-30<br />
|№ 52<br />
|Лб. 1: "Убытка оз ло" ст (В.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37567 *]<br />
|-<br />
|1923-04-07<br />
|№ 58<br />
|Лб. 3: "Гажа-лун" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37570 *]<br />
|-<br />
|1923-04-14<br />
|№ 62<br />
|Лб. 2-3: "Колӧ-оз комі школалы комі кыв" (Комі велӧԁыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37571 *]<br />
|-<br />
|1923-04-19<br />
|№ 66<br />
|Лб. 1: "Коԁі мыжа" ст (М. Торлопов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37572 *]<br />
|-<br />
|1923-04-21<br />
|№ 68<br />
|Лб. 3: "Понятно каждому..." роча-комиа; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-04-26<br />
|№ 72<br />
|Лб. 4: "Коԁі меԁбур велӧԁыԍ?" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37573 *]<br />
|-<br />
|1923-04-29<br />
|№ 75<br />
|Лб. 3: "Павкӧԁчыԍјас" ст (Скоԁујтыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37596 *]<br />
|-<br />
|1923-05-01<br />
|№ 76<br />
|Лб. 2: "Кык праԅԋік" кб (В. Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37603 *]<br />
|-<br />
|1923-05-01<br />
|№ 76<br />
|Лб. 4-5: "Колӧ кӧԇны турун" ст (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37606 *]<br />
|-<br />
|1923-05-05<br />
|№ 79<br />
|Лб. 2: "Комі креԍԏаналы" ст (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/32506 *]<br />
|-<br />
|1923-05-05<br />
|№ 79<br />
|Лб. 2: "Быԁ кыԅ віт Комі керка јурӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Комі креԍԏана!.." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1923-05-05<br />
|№ 79<br />
|Лб. 4: "Комі јӧз!.." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-05-10<br />
|№ 82<br />
|Лб. 2: "Кыԇі колӧ кӧԇны турун" ст (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37607 *]<br />
|-<br />
|1923-05-11<br />
|№ 83<br />
|Лб. 2: "Колӧ воԇвыв ԋаԋ лӧԍоԁны. Колӧ магаԅа кумјас бӧр лептыны" ст (Віԍер Јепім) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37644 *]<br />
|-<br />
|1923-05-20<br />
|№ 90<br />
|Лб. 3: "Југыԁлаԋ" кб (Ԍіԅ Паш) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1923-05-22<br />
|№ 91<br />
|Лб. 2-3: "Віԇ-му мерајтӧм – јуклӧм јылыԍ"(П. Мішев) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37646 *]<br />
|-<br />
|1923-05-23<br />
|№ 92<br />
| Лб. 2-3: "Віԇ-му мерајтӧм – јуклӧм јылыԍ"(П. Мішев) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37646 *]<br />
|-<br />
|1923-06-02<br />
|№ 101<br />
|Лб. 2-3: "Кӧјԁыс весалӧм" ст (В. Ԋікіԏін) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37647 *]<br />
|-<br />
|1923-06-10<br />
|№ 108<br />
|Лб. 3: "Комі креԍԏана!.." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1923-06-12<br />
|№ 109<br />
|Лб. 4: "Југыԁ тујыԁ петӧ бура" 4 визя кывбур (В. Ј-р) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37648 *]<br />
|-<br />
|1923-06-13<br />
|№ 110<br />
|Лб. 1-2: "Креԍԏаԋін, гаԅет тенаԁ! Гіж сетчӧ!" ст (Варыш) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37649 *]<br />
|-<br />
|1923-06-15<br />
|№ 112<br />
|Лб. 1: "Быԁ кыԅ віт Комі керка јурӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-06-16<br />
|№ 113<br />
|Лб. 2: "Југыԁ туј" кб (В. Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37650 *]<br />
|-<br />
|1923-06-20<br />
|№ 116<br />
|Лб. 2: "Комі Креԍԏана!" (јуӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-06-27<br />
|№ 122<br />
|Лб. 2-3: "Кыԇі віԁчыԍны капуста гагјыԍ" ст (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37651 *]<br />
|-<br />
|1923-07-05<br />
|№ 129<br />
|Лб. 3: "Лебалан караб" кб (В. Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37652 *]<br />
|-<br />
|1923-07-19<br />
|№ 140<br />
|Лб. 1: "Комі јӧзлы — Комі кыв" (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-07-26<br />
|№ 146<br />
|Лб. 2-3: "Вегыԉ-гаг" ст (Ԏемнојев) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37653 *]<br />
|-<br />
|1923-07-27<br />
|№ 147<br />
|Лб. 2: "И. Т. Чисталев" (некролог; гижӧма рочӧн, сэн ӧти сёрникузя комиӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-07-28<br />
|№ 148<br />
|Лб. 3: "Бӧрја гіжӧмјас І. Чістаԉовлӧн" кб (Жан Морӧс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/35278 *]<br />
|-<br />
|1923-08-02<br />
|№ 152<br />
|Лб. 3: "Јеҗыԁ опітсер" кб (Жан Морӧс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/35279 *]<br />
|-<br />
|1923-08-26<br />
|№ 171<br />
|Лб. 2: "Том ныв" (Іван Куратов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/27316 *]<br />
|-<br />
|1923-09-06<br />
|№ 179<br />
|Лб. 1-2: "Кытыԍ лоӧма Вомынӧ шева" (Комі аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37654 *]<br />
|-<br />
|1923-09-16<br />
|№ 187<br />
|Лб. 3: "Кӧԇӧј быԁӧн сіԍмытӧм турун!" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37655 *]<br />
|-<br />
|1923-09-28<br />
|№ 197 <br />
|Лб. 3: "Выставка вылын (Кущӧма прімітоны Мӧскуаын выставка вылӧ воыԍјасӧс)" (Анна Чеусова) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37656 *]<br />
|-<br />
|1923-09-29<br />
|№ 198<br />
|Лб. 3: "Выставка вылын (Выставкаыԁ-школа)" (Анна Чеусова) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37656 *]<br />
|-<br />
|1923-10-03<br />
|№ 201<br />
|Лб. 3: "Кыскӧны велӧԁчыны!" ичӧт статья (Гр-ва) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37657 *]; "Том-ԁорыԍ бурҗыка уҗалӧ!" ичӧт статья (Пр.-) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37658 *]<br />
|-<br />
|1923-10-09<br />
|№ 206<br />
|Лб. 3: "Велӧԁчӧј выԉ ногӧн овны" ст (Ас морт) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37659 *]<br />
|-<br />
|1923-10-13<br />
|№ 210<br />
|Лб. 2-3: "Чурка ԋім чеԉаԃлӧн бырӧма. (Нывбабајас, велӧԁчӧј выԉ-ногӧн овны!)" ст (Комі нывбаба) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37660 *]<br />
|-<br />
|1923-10-31<br />
|№ 225<br />
|Лб. 2: "Гермаԋіја јылыԍ" ст (Парма) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37661 *]<br />
|-<br />
|1923-11-01<br />
|№ 226<br />
|Лб. 3: "Гермаԋіја јылыԍ" ст (Парма) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37661 *]<br />
|-<br />
|1923-11-04<br />
|№ 229<br />
|Лб. 2: "Ыҗыԁлун" ст (Комі аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37662 *]<br />
|-<br />
|1923-11-07<br />
|№ 230<br />
|Лб. 2: "Му вылын сӧмын..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Мыј ԍетіс Окԏабр Комі јӧзлы" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37744 *]<br />
|-<br />
|1923-11-10<br />
|№ 231<br />
|Лб. 2: "Мыј ԍетіс Окԏабрса ревоԉутсіја" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37745 *]<br />
|-<br />
|1923-11-11<br />
|№ 232<br />
|Лб. 1: "Креԍԏана ӧтнаныс..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-13<br />
|№ 233<br />
|Лб. 2: "Чорыԁҗыка, топыԁҗыка..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-14<br />
|№ 234<br />
|Лб. 3: "Віԇӧј Окԏабрса Ревоԉутсіја-ԁырјі..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Окԏабрса Ревоԉутсіја Роԍԍіјаын..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-16<br />
|№ 236<br />
|Лб. 3: "Шешкинская волость" (Парма; рочӧн; эмӧсь коми фразаяс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-24 <br />
|№ 243<br />
| '''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-11-24._№243|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-11-28<br />
|№ 246<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-11-28._№246|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-11-30<br />
|№ 248<br />
|Лб. 2: "Детские годы" (Нёбдінса Виттор; рочӧн; эм коми кывбурысь кык строфа) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-12-01<br />
|№ 249<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-01._№249|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-05<br />
|№ 252<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-05._№252|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-06<br />
|№ 253<br />
|Лб. 4: "Јуӧртӧм" (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-12-08<br />
|№ 255<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-08._№255|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-12<br />
|№ 258<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-12._№258|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-15<br />
|№ 261<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-15._№261|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-25<br />
|№ 269<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-25._№269|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-29<br />
|№ 272<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-29._№272|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-03<br />
|№ 2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-03._№2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-05<br />
|№ 4<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-05._№4|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-12<br />
|№ 9<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-12._№9|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-16<br />
|№ 12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-16._№12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-19<br />
|№ 15<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-19._№15|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-02<br />
|№ 26<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-02._№26|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-06<br />
|№ 29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-06._№29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-09<br />
|№ 32<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-09._№32|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-13<br />
|№ 35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-13._№35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-17<br />
|№ 39<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-17._№39|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-21<br />
|№ 42<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-21._№42|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-24<br />
|№ 45<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-24._№45|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-01<br />
|№ 50<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-03-01._№50|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-05<br />
|№ 53<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-03-05._№53|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-14<br />
|№ 59<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-03-14._№59|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-20<br />
|№ 63<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-03-20. №63|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-10<br />
|№ 80<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-10. №80|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-16<br />
|№ 85<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-16. №85|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-19<br />
|№ 88<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-19. №88|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-23<br />
|№ 91<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-23. №91|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-26<br />
|№ 94<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-26. №94|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-01<br />
|№ 99<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-01. №99|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-05<br />
|№ 100<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-05. №100|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-09<br />
|№ 103<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-09. №103|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-14<br />
|№ 107<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-14. №107|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-21<br />
|№ 113<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-21. №113|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-24<br />
|№ 116<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-24. №116|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-30<br />
|№ 121<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-30. №121|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-06-07<br />
|№ 128<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-06-07. №128|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-06-20<br />
|№ 137<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-06-20. №137|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-06-25<br />
|№ 141<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-06-25. №141|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-02<br />
|№ 147<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-02. №147|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-05<br />
|№ 150<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-05. №150|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-11<br />
|№ 155<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-11. №155|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-16<br />
|№ 159<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-16. №159|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-19<br />
|№ 162<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-19. №162|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-23<br />
|№ 165<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-23. №165|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-26<br />
|№ 168<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-26. №168|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-30<br />
|№ 171<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-30. №171|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-02<br />
|№ 174<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-02. №174|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-06<br />
|№ 177<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-06. №177|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-09<br />
|№ 179<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-09. №179|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-13<br />
|№ 182<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-13. №182|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-16<br />
|№ 185<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-16. №185|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-20<br />
|№ 187<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-20. №187|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-27<br />
|№ 190<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-27. №190|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-09-04<br />
|№ 194<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-09-04. №194|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-09-11<br />
|№ 197<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-09-11. №197|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-09-23<br />
|№ 202<br />
|"Газет лэдзанінсянь" (юӧртана гижӧд) '''тексталӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/39719 *]<br />
|-<br />
|1924-10-18<br />
|№ 218<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-10-18. №218|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-10-25<br />
|№ 221<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-10-25. №221|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-01<br />
|№ 224<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-01. №224|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-20<br />
|№ 231<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-20. №231|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-25<br />
|№ 234<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-25. №234|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-28<br />
|№ 237<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-28. №237|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-02<br />
|№ 240<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-02. №240|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-04<br />
|№ 242<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-04. №242|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-06<br />
|№ 244<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-06. №244|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-09<br />
|№ 246<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-09. №246|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-11<br />
|№ 248<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-11. №248|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-16<br />
|№ 252<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-16. №252|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-18<br />
|№ 254<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-18. №254|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-20<br />
|№ 256<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-20. №256|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-23<br />
|№ 258<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-23. №258|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-26<br />
|№ 260<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-26. №260|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-27<br />
|№ 261<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-27. №261|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-30<br />
|№ 263<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-30. №263|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-03<br />
|№2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-03. №2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-07<br />
|№5<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-07. №5|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-10<br />
|№7<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-10. №7|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-11<br />
|№8<br />
|Јанвар 9-ӧԁ лун (5 торја ворсантор; пом) '''тексталӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/40424 *]<br />
|-<br />
|1925-01-16<br />
|№12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-16. №12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-22<br />
|№16<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-22. №16|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-27<br />
|№19<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-27. №19|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-29<br />
|№21<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-29. №21|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-03<br />
|№25<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-03. №25|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-05<br />
|№27<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-05. №27|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-07<br />
|№29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-07. №29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-10<br />
|№31<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-10. №31|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-14<br />
|№35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-14. №35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-17<br />
|№37<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-17. №37|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-19<br />
|№39<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-19. №39|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-21<br />
|№41<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-21. №41|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-24<br />
|№43<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-24. №43|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-27<br />
|№46<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-27. №46|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-03<br />
|№49<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-03. №49|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-05<br />
|№51<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-05. №51|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-07<br />
|№53<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-07. №53|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-10<br />
|№55<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-10. №55|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-12<br />
|№57<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-12. №57|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-21<br />
|№63<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-21. №63|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-27<br />
|№67<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-27. №67|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-31<br />
|№70<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-31. №70|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-02<br />
|№72<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-02. №72|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-04<br />
|№74<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-04. №74|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-07<br />
|№76<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-07. №76|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-09<br />
|№78<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-09. №78|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-11<br />
|№80<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-11. №80|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-12<br />
|№81<br />
|Лб.3: Чиновники нашего времени (статья, Жугыль: рочӧн, эмӧсь коми цитатаяс); коми юкӧнсӧ '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-04-14<br />
|№82<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-14. №82|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-17<br />
|КС№1<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-04-17. №1|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-21<br />
|№86<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-21. №86|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-23<br />
|№88<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-23. №88|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-24<br />
|№89<br />
|"Поправка" гижӧдын эмӧсь коми фразаяс; гижӧдыс '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-04-25<br />
|КС№2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-04-25. №2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-28<br />
|№91<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-28. №91|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-01<br />
|КС№3<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-01. №3|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-03<br />
|№94<br />
|"Поправка" гижӧдын эмӧсь коми фразаяс; гижӧдыс '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-05-07<br />
|№96<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-07. №96|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-09<br />
|КС№4<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-09. №4|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-12<br />
|№99<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-12. №99|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-14<br />
|№101<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-14. №101|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-16<br />
|КС№5<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-16. №5|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-21<br />
|№107<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-21. №107|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-23<br />
|КС№6<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-23. №6|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-27<br />
|№111<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-27. №111|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-30<br />
|КС№7<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-30. №7|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-02<br />
|№115<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-02. №115|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-04<br />
|№117<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-04. №117|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-06<br />
|КС№8<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-06. №8|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-10<br />
|№120<br />
|Роч кывъя номер; сэн "Југыԁ туј" кывбур (Акіԋ-пілӧн) да чолӧмалӧм (Ԍпіра Прокӧлӧн); '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-06-11<br />
|№121<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-11. №121|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-13<br />
|КС№9<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-13. №9|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-16<br />
|№124<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-16. №124|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-18<br />
|№126<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-18. №126|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-20<br />
|КС№10<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-20. №10|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-23<br />
|№129<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-23. №129|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-25<br />
|№131<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-25. №131|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-27<br />
|КС№11<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-27. №11|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-30<br />
|№134<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-30. №134|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-04<br />
|КС№12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-04. №12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-07<br />
|№139<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-07. №139|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-09<br />
|№141<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-09. №141|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-11<br />
|КС№13<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-11. №13|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-14<br />
|№144<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-14. №144|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-16<br />
|№146<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-16. №146|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-18<br />
|КС№14<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-18. №14|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-21<br />
|№149<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-21. №149|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-23<br />
|№151<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-23. №151|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-25<br />
|КС№15<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-25. №15|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-30<br />
|№156<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-30. №156|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-01<br />
|КС№16<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-01. №16|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-04<br />
|№159<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-04. №159|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-06<br />
|№161<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-06. №161|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-08<br />
|КС№17<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-08. №17|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-11<br />
|№164<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-11. №164|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-13<br />
|№166<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-13. №166|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-15<br />
|КС№18<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-15. №18|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-18<br />
|№168<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-18. №168|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-20<br />
|№170<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-20. №170|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-22<br />
|КС№19<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-22. №19|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-25<br />
|№173<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-25. №173|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-27<br />
|№175<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-27. №175|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-29<br />
|КС№20<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-29. №20|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-01<br />
|№178<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-01. №178|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-03<br />
|№180<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-03. №180|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-05<br />
|КС№21<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-05. №21|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-08<br />
|№183<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-08. №183|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-10<br />
|№185<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-10. №185|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-12<br />
|КС№22<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-12. №22|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-15<br />
|№188<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-15. №188|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-17<br />
|№190<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-17. №190|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-19<br />
|КС№23<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-19. №23|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-22<br />
|№193<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-22. №193|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-24<br />
|№195<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-24. №195|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-26<br />
|КС№24<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-26. №24|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-29<br />
|№198<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-29. №198|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-01<br />
|№200<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-01. №200|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-03<br />
|КС№25<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-03. №25|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-04<br />
|№202<br />
|роч номер, эм кык вочакыв комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-10-06<br />
|№203<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-06. №203|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-08<br />
|№205<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-08. №205|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-10<br />
|КС№26<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-10. №26|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-13<br />
|№208<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-13. №208|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-14<br />
|№209<br />
|роч номер, эм ӧти юӧр комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-10-15<br />
|№210<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-15. №210|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-17<br />
|КС№27<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-17. №27|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-20<br />
|№213<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-20. №213|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-22<br />
|№215<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-22. №215|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-23<br />
|№216<br />
|роч номер, эм некымын вочакыв комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-10-24<br />
|КС№28<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-24. №28|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-28<br />
|№219<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-28. №219|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-31<br />
|КС№29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-31. №29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-01<br />
|№222<br />
|роч номер, ӧти вочакыв комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-11-07<br />
|КС№30<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-07. №30|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-10<br />
|№226<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-10. №226|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-12<br />
|№228<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-12. №228|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-14<br />
|КС№31<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-14. №31|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-18<br />
|№232<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-18. №232|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-21<br />
|КС№32<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-21. №32|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-25<br />
|№237<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-25. №237|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-28<br />
|КС№33<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-28. №33|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-01<br />
|№241<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-12-01. №241|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-05<br />
|КС№34<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-05. №34|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-08<br />
|№246<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-12-08. №246|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-10<br />
|№248<br />
|роч номер, ӧти фраза комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-12-11<br />
|№249<br />
|роч номер, ӧти фраза комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-12-12<br />
|КС№35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-12. №35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-15<br />
|№251<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-12-15. №251|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-18<br />
|КС№36<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-18. №36|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-23<br />
|№256<br />
|роч номер, Пошта кудйын неуна эм комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-12-25<br />
|КС№37<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-25. №37|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-29<br />
|№259<br />
|роч номер, Пошта кудйын неуна эм комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1926-01-01<br />
|КС№1<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-01. №1|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-09<br />
|КС№2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-09. №2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-16<br />
|КС№3<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-16. №3|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-24<br />
|КС№4<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-24. №4|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-29<br />
|№19<br />
|Лб. 1, кык коми гижӧд: [https://komikyv.org/kpv/node/43950 Речь Мишарина], [https://komikyv.org/kpv/node/43951 Международное и внутреннее положение] '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1926-01-30<br />
|№20<br />
|Лб. 1-2, коми гижӧд: [https://komikyv.org/kpv/node/43952 Доклад тов. Мишарина] '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1926-01-31<br />
|КС№5<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-31. №5|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-06<br />
|КС№6<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-06. №6|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-13<br />
|КС№7<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-13. №7|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-20<br />
|КС№8<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-20. №8|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-27<br />
|КС№9<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-27. №9|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-06<br />
|КС№10<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-06. №10|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-14<br />
|КС№11<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-14. №11|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-20<br />
|КС№12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-20. №12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-27<br />
|КС№13<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-27. №13|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-03<br />
|КС№14<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-03. №14|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-10<br />
|КС№15<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-10. №15|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-17<br />
|КС№16<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-17. №16|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-24<br />
|КС№17<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-24. №17|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-01<br />
|КС№18<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-01. №18|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-05<br />
|№82<br />
|'''тексталӧма'''; Нёбдінса Виттор, "Коми автономия" кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/30631 *]<br />
|-<br />
|1926-05-08<br />
|КС№19<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-08. №19|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-15<br />
|КС№20<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-15. №20|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-22<br />
|КС№21<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-22. №21|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-29<br />
|КС№22<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-29. №22|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-05<br />
|КС№23<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-05. №23|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-12<br />
|КС№24<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-12. №24|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-19<br />
|КС№25<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-19. №25|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-26<br />
|КС№26<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-26. №26|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-03<br />
|КС№27<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-03. №27|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-10<br />
|КС№28<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-10. №28|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-17<br />
|КС№29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-17. №29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-24<br />
|КС№30<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-24. №30|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-31<br />
|КС№31<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-31. №31|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-08<br />
|КС№32<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-08. №32|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-14<br />
|КС№33<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-14. №33|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-21<br />
|КС№34<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-21. №34|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-28<br />
|КС№35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-28. №35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-09-04<br />
|КС№36<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-09-04. №36|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-09-05<br />
|№166<br />
|'''тексталӧма'''; Сим Вань, "Миян праздник (МЮД)" кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/45380 *]<br />
|-<br />
|1926-09-11<br />
|КС№37<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-09-11. №37|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-09-18<br />
|КС№38<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-09-18. №38|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-09-22<br />
|№178<br />
|'''тексталӧма'''; Нёбдінса Виттор, "Поводдя сералӧ" кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/45381 *]<br />
|-<br />
|1926-10-29<br />
|№198<br />
|'''тексталӧма'''; Акинь пи, "Сизим во" кывбур<br />
|}</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92155
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:57:18Z
<p>Наста: /* Самӧкур пуысьяс да юысьяс */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Кокньӧдам сьӧкыд во вуджны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45437 *]<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Гӧль крестьяналы землеустройство нуӧдӧм''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45438 *]<br />
*'''Выль бутылка вӧчан завод''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45439 *]<br />
*'''Му гӧгӧр 50 урысь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45440 *]<br />
*'''25 сюрс лыддьысян керка''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45441 *]<br />
*'''Миллионысь уна''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45442 *]<br />
*'''Кык миллион саяс''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45443 *]<br />
*'''Быдмӧ выль смена''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45444 *]<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Оз ладмыны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45445 *]<br />
*'''Капиталистъяс оз узьны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45446 *]<br />
*'''Профсоюзъяс тшӧктӧны дугӧдны вайны из шом Англияӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45447 *]<br />
*'''Кантонса войска бара венӧмаӧсь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45448 *]<br />
*'''Польша лӧсьӧдчӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45449 *]<br />
*'''Чжан Цзолинь войска пӧвстын салдатъясыс вӧчӧмаӧсь восстанньӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45450 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''1926−27 вося сельхозналог''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45451 *]<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : шыӧдчӧм<br />
*В. Фролов. '''Мый виччысьӧ Гӧрд армияӧ мунысьяслысь коми сикт''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45452 *]<br />
*Яг зон. '''Эз вӧчны шуӧм серти''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45453 *]<br />
*'''Аэростат Коми муын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45454 *]<br />
*Парма. '''Мый колӧ тӧдны кооперативса шленлы''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45455 *]<br />
*'''Уна-ӧ ва воссьӧмсянь Хлебопродукт вайӧма нянь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45456 *]<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №18===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45457 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Кывлысь. '''Гуся вӧв''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45458 *]<br />
*О. Юркин. '''Ошъяс ёна скӧт жугӧдӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45459 *]<br />
*К. '''Бырӧдам кулиганитӧм!''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45460 *]<br />
*'''Важкуа вӧлӧсьтын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45461 *]<br />
*'''Коми крестьяна! «Коми Сикт» газетысь...''' : юӧр<br />
<br />
===Коми муын===<br />
====Самӧкур пуысьяс да юысьяс====<br />
*Перӧ № 80. '''Изъюров ёрт ёна юӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45462 *]<br />
*Селькор. '''Объездчик Попов нӧйтӧма газетӧ гижысьӧс''' @ публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45463 *]<br />
*Чернила. '''Пуӧны самӧкур''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45464 *]<br />
*Чушка. '''Колӧ дугӧдны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45465 *]<br />
*Гранит. '''Лесник косясьӧмӧн корӧ вина''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45466 *]<br />
*'''Пӧрадок кутысь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45467 *]<br />
*Селькор. '''Сюзяыб сиктысь (Висер вожын) Г. И. Игушев...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45468 *]<br />
*Селькор. '''Габов Т. М. Сюзяыбысь...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45469 *]<br />
*'''Пильӧ Сергей мӧдар Ыбысь...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45470 *]<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) Сергей Катя...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45471 *]<br />
*Кывзысь. '''Ыб вӧлӧсьтын Ёль сиктын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45472 *]<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Ыб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45473 *]<br />
*Перӧ рондо. '''Порубын (Спаспоруб вӧлӧсьтын, Сыктыв у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45474 *]<br />
*Ном. '''Роч вина дугӧдіс самӧкур да сур пуӧмысь''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45475 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Сьӧд коммунист пи. '''Приказчикъяс омӧля вузасьӧны''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45476 *]<br />
*№ 48. '''Кӧрткерӧсын (Кулӧмдін у.) Инвалидъяслӧн лавка...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45477 *]<br />
*Матысся. '''Лесникъяс отсалісны йӧра кыйны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45478 *]<br />
*Симаков И. Н. '''Висьӧны тифӧн''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45479 *]<br />
*Кык крестьянин. '''Суйӧр эз и пӧдласьлы''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45480 *]<br />
*Тюрнин. '''Ошъяс пакӧститчӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45481 *]<br />
*'''Пошта куд''' : вочакыв [https://komikyv.org/kpv/node/45482 *]<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92154
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:56:27Z
<p>Наста: /* Коми муын */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Кокньӧдам сьӧкыд во вуджны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45437 *]<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Гӧль крестьяналы землеустройство нуӧдӧм''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45438 *]<br />
*'''Выль бутылка вӧчан завод''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45439 *]<br />
*'''Му гӧгӧр 50 урысь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45440 *]<br />
*'''25 сюрс лыддьысян керка''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45441 *]<br />
*'''Миллионысь уна''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45442 *]<br />
*'''Кык миллион саяс''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45443 *]<br />
*'''Быдмӧ выль смена''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45444 *]<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Оз ладмыны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45445 *]<br />
*'''Капиталистъяс оз узьны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45446 *]<br />
*'''Профсоюзъяс тшӧктӧны дугӧдны вайны из шом Англияӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45447 *]<br />
*'''Кантонса войска бара венӧмаӧсь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45448 *]<br />
*'''Польша лӧсьӧдчӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45449 *]<br />
*'''Чжан Цзолинь войска пӧвстын салдатъясыс вӧчӧмаӧсь восстанньӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45450 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''1926−27 вося сельхозналог''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45451 *]<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : шыӧдчӧм<br />
*В. Фролов. '''Мый виччысьӧ Гӧрд армияӧ мунысьяслысь коми сикт''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45452 *]<br />
*Яг зон. '''Эз вӧчны шуӧм серти''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45453 *]<br />
*'''Аэростат Коми муын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45454 *]<br />
*Парма. '''Мый колӧ тӧдны кооперативса шленлы''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45455 *]<br />
*'''Уна-ӧ ва воссьӧмсянь Хлебопродукт вайӧма нянь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45456 *]<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №18===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45457 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Кывлысь. '''Гуся вӧв''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45458 *]<br />
*О. Юркин. '''Ошъяс ёна скӧт жугӧдӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45459 *]<br />
*К. '''Бырӧдам кулиганитӧм!''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45460 *]<br />
*'''Важкуа вӧлӧсьтын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45461 *]<br />
*'''Коми крестьяна! «Коми Сикт» газетысь...''' : юӧр<br />
<br />
===Коми муын===<br />
====Самӧкур пуысьяс да юысьяс====<br />
*Перӧ № 80. '''Изъюров ёрт ёна юӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45462 *]<br />
*Селькор. '''Объездчик Попов нӧйтӧма газетӧ гижысьӧс''' @ публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45463 *]<br />
*Чернила. '''Пуӧны самӧкур''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45464 *]<br />
*Чушка. '''Колӧ дугӧдны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45465 *]<br />
*Гранит. '''Лесник косясьӧмӧн корӧ вина''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45466 *]<br />
*'''Пӧрадок кутысь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45467 *]<br />
*Селькор. '''Сюзяыб сиктысь (Висер вожын) Г. И. Игушев...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45468 *]<br />
*Селькор. '''Габов Т. М. Сюзяыбысь...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45469 *]<br />
*'''Пильӧ Сергей мӧдар Ыбысь...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45470 *]<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) Сергей Катя...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45471 *]<br />
*Кывзысь. '''Ыб вӧлӧсьтын Ёль сиктын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45472 *]<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Ыб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45473 *]<br />
*Перӧ рондо. '''Порубын (Спаспоруб вӧлӧсьтын, Сыктыв у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45474 *]<br />
*Ном. '''Роч вина дугӧдіс самӧкур да сур пуӧмысь''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45475 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Сьӧд коммунист пи. '''Приказчикъяс омӧля вузасьӧны''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45475]<br />
*№ 48. '''Кӧрткерӧсын (Кулӧмдін у.) Инвалидъяслӧн лавка...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45476]<br />
*Матысся. '''Лесникъяс отсалісны йӧра кыйны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45477]<br />
*Симаков И. Н. '''Висьӧны тифӧн''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45478]<br />
*Кык крестьянин. '''Суйӧр эз и пӧдласьлы''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45479]<br />
*Тюрнин. '''Ошъяс пакӧститчӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45480]<br />
*'''Пошта куд''' : вочакыв [https://komikyv.org/kpv/node/45481]<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92153
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:54:34Z
<p>Наста: /* Самӧкур пуысьяс да юысьяс */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Кокньӧдам сьӧкыд во вуджны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45437 *]<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Гӧль крестьяналы землеустройство нуӧдӧм''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45438 *]<br />
*'''Выль бутылка вӧчан завод''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45439 *]<br />
*'''Му гӧгӧр 50 урысь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45440 *]<br />
*'''25 сюрс лыддьысян керка''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45441 *]<br />
*'''Миллионысь уна''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45442 *]<br />
*'''Кык миллион саяс''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45443 *]<br />
*'''Быдмӧ выль смена''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45444 *]<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Оз ладмыны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45445 *]<br />
*'''Капиталистъяс оз узьны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45446 *]<br />
*'''Профсоюзъяс тшӧктӧны дугӧдны вайны из шом Англияӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45447 *]<br />
*'''Кантонса войска бара венӧмаӧсь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45448 *]<br />
*'''Польша лӧсьӧдчӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45449 *]<br />
*'''Чжан Цзолинь войска пӧвстын салдатъясыс вӧчӧмаӧсь восстанньӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45450 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''1926−27 вося сельхозналог''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45451 *]<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : шыӧдчӧм<br />
*В. Фролов. '''Мый виччысьӧ Гӧрд армияӧ мунысьяслысь коми сикт''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45452 *]<br />
*Яг зон. '''Эз вӧчны шуӧм серти''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45453 *]<br />
*'''Аэростат Коми муын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45454 *]<br />
*Парма. '''Мый колӧ тӧдны кооперативса шленлы''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45455 *]<br />
*'''Уна-ӧ ва воссьӧмсянь Хлебопродукт вайӧма нянь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45456 *]<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №18===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45457 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Кывлысь. '''Гуся вӧв''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45458 *]<br />
*О. Юркин. '''Ошъяс ёна скӧт жугӧдӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45459 *]<br />
*К. '''Бырӧдам кулиганитӧм!''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45460 *]<br />
*'''Важкуа вӧлӧсьтын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45461 *]<br />
*'''Коми крестьяна! «Коми Сикт» газетысь...''' : юӧр<br />
<br />
===Коми муын===<br />
====Самӧкур пуысьяс да юысьяс====<br />
*Перӧ № 80. '''Изъюров ёрт ёна юӧ''' @ публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45462 *]<br />
*Селькор. '''Объездчик Попов нӧйтӧма газетӧ гижысьӧс''' @ публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45463]<br />
*Чернила. '''Пуӧны самӧкур''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45464]<br />
*Чушка. '''Колӧ дугӧдны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45465]<br />
*Гранит. '''Лесник косясьӧмӧн корӧ вина''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45466]<br />
*'''Пӧрадок кутысь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45467]<br />
*Селькор. '''Сюзяыб сиктысь (Висер вожын) Г. И. Игушев...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45468]<br />
*Селькор. '''Габов Т. М. Сюзяыбысь...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45469]<br />
*'''Пильӧ Сергей мӧдар Ыбысь...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45470]<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) Сергей Катя...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45471]<br />
*Кывзысь. '''Ыб вӧлӧсьтын Ёль сиктын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45471]<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Ыб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45472]<br />
*Перӧ рондо. '''Порубын (Спаспоруб вӧлӧсьтын, Сыктыв у.)...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45473]<br />
*Ном. '''Роч вина дугӧдіс самӧкур да сур пуӧмысь''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45474]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Сьӧд коммунист пи. '''Приказчикъяс омӧля вузасьӧны''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45475]<br />
*№ 48. '''Кӧрткерӧсын (Кулӧмдін у.) Инвалидъяслӧн лавка...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45476]<br />
*Матысся. '''Лесникъяс отсалісны йӧра кыйны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45477]<br />
*Симаков И. Н. '''Висьӧны тифӧн''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45478]<br />
*Кык крестьянин. '''Суйӧр эз и пӧдласьлы''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45479]<br />
*Тюрнин. '''Ошъяс пакӧститчӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45480]<br />
*'''Пошта куд''' : вочакыв [https://komikyv.org/kpv/node/45481]<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92152
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:51:02Z
<p>Наста: /* КОМИ ГИЖӦМ №18 */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Кокньӧдам сьӧкыд во вуджны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45437 *]<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Гӧль крестьяналы землеустройство нуӧдӧм''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45438 *]<br />
*'''Выль бутылка вӧчан завод''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45439 *]<br />
*'''Му гӧгӧр 50 урысь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45440 *]<br />
*'''25 сюрс лыддьысян керка''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45441 *]<br />
*'''Миллионысь уна''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45442 *]<br />
*'''Кык миллион саяс''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45443 *]<br />
*'''Быдмӧ выль смена''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45444 *]<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Оз ладмыны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45445 *]<br />
*'''Капиталистъяс оз узьны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45446 *]<br />
*'''Профсоюзъяс тшӧктӧны дугӧдны вайны из шом Англияӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45447 *]<br />
*'''Кантонса войска бара венӧмаӧсь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45448 *]<br />
*'''Польша лӧсьӧдчӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45449 *]<br />
*'''Чжан Цзолинь войска пӧвстын салдатъясыс вӧчӧмаӧсь восстанньӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45450 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''1926−27 вося сельхозналог''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45451 *]<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : шыӧдчӧм<br />
*В. Фролов. '''Мый виччысьӧ Гӧрд армияӧ мунысьяслысь коми сикт''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45452 *]<br />
*Яг зон. '''Эз вӧчны шуӧм серти''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45453 *]<br />
*'''Аэростат Коми муын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45454 *]<br />
*Парма. '''Мый колӧ тӧдны кооперативса шленлы''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45455 *]<br />
*'''Уна-ӧ ва воссьӧмсянь Хлебопродукт вайӧма нянь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45456 *]<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №18===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45457 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Кывлысь. '''Гуся вӧв''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45458 *]<br />
*О. Юркин. '''Ошъяс ёна скӧт жугӧдӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45459 *]<br />
*К. '''Бырӧдам кулиганитӧм!''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45460 *]<br />
*'''Важкуа вӧлӧсьтын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45461 *]<br />
*'''Коми крестьяна! «Коми Сикт» газетысь...''' : юӧр<br />
<br />
===Коми муын===<br />
====Самӧкур пуысьяс да юысьяс====<br />
*Перӧ № 80. '''Изъюров ёрт ёна юӧ''' @ публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Объездчик Попов нӧйтӧма газетӧ гижысьӧс''' @ публ. гижӧд<br />
*Чернила. '''Пуӧны самӧкур''' : публ. гижӧд<br />
*Чушка. '''Колӧ дугӧдны''' : публ. гижӧд<br />
*Гранит. '''Лесник косясьӧмӧн корӧ вина''' : публ. гижӧд<br />
*'''Пӧрадок кутысь''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Сюзяыб сиктысь (Висер вожын) Г. И. Игушев...''' : юӧр<br />
*Селькор. '''Габов Т. М. Сюзяыбысь...''' : юӧр<br />
*'''Пильӧ Сергей мӧдар Ыбысь...''' : юӧр<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) Сергей Катя...''' : юӧр<br />
*Кывзысь. '''Ыб вӧлӧсьтын Ёль сиктын...''' : юӧр<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Ыб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр<br />
*Перӧ рондо. '''Порубын (Спаспоруб вӧлӧсьтын, Сыктыв у.)...''' : юӧр<br />
*Ном. '''Роч вина дугӧдіс самӧкур да сур пуӧмысь''' : юӧр<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Сьӧд коммунист пи. '''Приказчикъяс омӧля вузасьӧны''' : юӧр<br />
*№ 48. '''Кӧрткерӧсын (Кулӧмдін у.) Инвалидъяслӧн лавка...''' : юӧр<br />
*Матысся. '''Лесникъяс отсалісны йӧра кыйны''' : публ. гижӧд<br />
*Симаков И. Н. '''Висьӧны тифӧн''' : публ. гижӧд<br />
*Кык крестьянин. '''Суйӧр эз и пӧдласьлы''' : публ. гижӧд<br />
*Тюрнин. '''Ошъяс пакӧститчӧны''' : публ. гижӧд<br />
*'''Пошта куд''' : вочакыв<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92151
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:49:19Z
<p>Наста: /* Пытшкӧс */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Кокньӧдам сьӧкыд во вуджны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45437 *]<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Гӧль крестьяналы землеустройство нуӧдӧм''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45438 *]<br />
*'''Выль бутылка вӧчан завод''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45439 *]<br />
*'''Му гӧгӧр 50 урысь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45440 *]<br />
*'''25 сюрс лыддьысян керка''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45441 *]<br />
*'''Миллионысь уна''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45442 *]<br />
*'''Кык миллион саяс''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45443 *]<br />
*'''Быдмӧ выль смена''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45444 *]<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Оз ладмыны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45445 *]<br />
*'''Капиталистъяс оз узьны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45446 *]<br />
*'''Профсоюзъяс тшӧктӧны дугӧдны вайны из шом Англияӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45447 *]<br />
*'''Кантонса войска бара венӧмаӧсь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45448 *]<br />
*'''Польша лӧсьӧдчӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45449 *]<br />
*'''Чжан Цзолинь войска пӧвстын салдатъясыс вӧчӧмаӧсь восстанньӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45450 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''1926−27 вося сельхозналог''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45451 *]<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : шыӧдчӧм<br />
*В. Фролов. '''Мый виччысьӧ Гӧрд армияӧ мунысьяслысь коми сикт''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45452 *]<br />
*Яг зон. '''Эз вӧчны шуӧм серти''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45453 *]<br />
*'''Аэростат Коми муын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45454 *]<br />
*Парма. '''Мый колӧ тӧдны кооперативса шленлы''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45455 *]<br />
*'''Уна-ӧ ва воссьӧмсянь Хлебопродукт вайӧма нянь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45456 *]<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №18===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45456 *]<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Кывлысь. '''Гуся вӧв''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45457 *]<br />
*О. Юркин. '''Ошъяс ёна скӧт жугӧдӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45458 *]<br />
*К. '''Бырӧдам кулиганитӧм!''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45459 *]<br />
*'''Важкуа вӧлӧсьтын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45460 *]<br />
*'''Коми крестьяна! «Коми Сикт» газетысь...''' : юӧр<br />
===Коми муын===<br />
====Самӧкур пуысьяс да юысьяс====<br />
*Перӧ № 80. '''Изъюров ёрт ёна юӧ''' @ публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Объездчик Попов нӧйтӧма газетӧ гижысьӧс''' @ публ. гижӧд<br />
*Чернила. '''Пуӧны самӧкур''' : публ. гижӧд<br />
*Чушка. '''Колӧ дугӧдны''' : публ. гижӧд<br />
*Гранит. '''Лесник косясьӧмӧн корӧ вина''' : публ. гижӧд<br />
*'''Пӧрадок кутысь''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Сюзяыб сиктысь (Висер вожын) Г. И. Игушев...''' : юӧр<br />
*Селькор. '''Габов Т. М. Сюзяыбысь...''' : юӧр<br />
*'''Пильӧ Сергей мӧдар Ыбысь...''' : юӧр<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) Сергей Катя...''' : юӧр<br />
*Кывзысь. '''Ыб вӧлӧсьтын Ёль сиктын...''' : юӧр<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Ыб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр<br />
*Перӧ рондо. '''Порубын (Спаспоруб вӧлӧсьтын, Сыктыв у.)...''' : юӧр<br />
*Ном. '''Роч вина дугӧдіс самӧкур да сур пуӧмысь''' : юӧр<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Сьӧд коммунист пи. '''Приказчикъяс омӧля вузасьӧны''' : юӧр<br />
*№ 48. '''Кӧрткерӧсын (Кулӧмдін у.) Инвалидъяслӧн лавка...''' : юӧр<br />
*Матысся. '''Лесникъяс отсалісны йӧра кыйны''' : публ. гижӧд<br />
*Симаков И. Н. '''Висьӧны тифӧн''' : публ. гижӧд<br />
*Кык крестьянин. '''Суйӧр эз и пӧдласьлы''' : публ. гижӧд<br />
*Тюрнин. '''Ошъяс пакӧститчӧны''' : публ. гижӧд<br />
*'''Пошта куд''' : вочакыв<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92150
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:45:21Z
<p>Наста: /* Самӧкур пуысьяс да юысьяс */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Кокньӧдам сьӧкыд во вуджны''' : публ. гижӧд<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Гӧль крестьяналы землеустройство нуӧдӧм''' : выльтор<br />
*'''Выль бутылка вӧчан завод''' : выльтор<br />
*'''Му гӧгӧр 50 урысь''' : выльтор<br />
*'''25 сюрс лыддьысян керка''' : выльтор<br />
*'''Миллионысь уна''' : выльтор<br />
*'''Кык миллион саяс''' : выльтор<br />
*'''Быдмӧ выль смена''' : выльтор<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Оз ладмыны''' : выльтор<br />
*'''Капиталистъяс оз узьны''' : выльтор<br />
*'''Профсоюзъяс тшӧктӧны дугӧдны вайны из шом Англияӧ''' : выльтор<br />
*'''Кантонса войска бара венӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Польша лӧсьӧдчӧ''' : выльтор<br />
*'''Чжан Цзолинь войска пӧвстын салдатъясыс вӧчӧмаӧсь восстанньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''1926−27 вося сельхозналог''' : юӧр<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : шыӧдчӧм<br />
*В. Фролов. '''Мый виччысьӧ Гӧрд армияӧ мунысьяслысь коми сикт''' : публ. гижӧд<br />
*Яг зон. '''Эз вӧчны шуӧм серти''' : юӧр<br />
*'''Аэростат Коми муын''' : публ. гижӧд<br />
*Парма. '''Мый колӧ тӧдны кооперативса шленлы''' : публ. гижӧд<br />
*'''Уна-ӧ ва воссьӧмсянь Хлебопродукт вайӧма нянь''' : публ. гижӧд<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №18===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Кывлысь. '''Гуся вӧв''' : публ. гижӧд<br />
*О. Юркин. '''Ошъяс ёна скӧт жугӧдӧны''' : публ. гижӧд<br />
*К. '''Бырӧдам кулиганитӧм!''' : публ. гижӧд<br />
*'''Важкуа вӧлӧсьтын''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коми крестьяна! «Коми Сикт» газетысь...''' : юӧр<br />
===Коми муын===<br />
====Самӧкур пуысьяс да юысьяс====<br />
*Перӧ № 80. '''Изъюров ёрт ёна юӧ''' @ публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Объездчик Попов нӧйтӧма газетӧ гижысьӧс''' @ публ. гижӧд<br />
*Чернила. '''Пуӧны самӧкур''' : публ. гижӧд<br />
*Чушка. '''Колӧ дугӧдны''' : публ. гижӧд<br />
*Гранит. '''Лесник косясьӧмӧн корӧ вина''' : публ. гижӧд<br />
*'''Пӧрадок кутысь''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Сюзяыб сиктысь (Висер вожын) Г. И. Игушев...''' : юӧр<br />
*Селькор. '''Габов Т. М. Сюзяыбысь...''' : юӧр<br />
*'''Пильӧ Сергей мӧдар Ыбысь...''' : юӧр<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) Сергей Катя...''' : юӧр<br />
*Кывзысь. '''Ыб вӧлӧсьтын Ёль сиктын...''' : юӧр<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Ыб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр<br />
*Перӧ рондо. '''Порубын (Спаспоруб вӧлӧсьтын, Сыктыв у.)...''' : юӧр<br />
*Ном. '''Роч вина дугӧдіс самӧкур да сур пуӧмысь''' : юӧр<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Сьӧд коммунист пи. '''Приказчикъяс омӧля вузасьӧны''' : юӧр<br />
*№ 48. '''Кӧрткерӧсын (Кулӧмдін у.) Инвалидъяслӧн лавка...''' : юӧр<br />
*Матысся. '''Лесникъяс отсалісны йӧра кыйны''' : публ. гижӧд<br />
*Симаков И. Н. '''Висьӧны тифӧн''' : публ. гижӧд<br />
*Кык крестьянин. '''Суйӧр эз и пӧдласьлы''' : публ. гижӧд<br />
*Тюрнин. '''Ошъяс пакӧститчӧны''' : публ. гижӧд<br />
*'''Пошта куд''' : вочакыв<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92149
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:43:22Z
<p>Наста: /* Самӧкур пуысьяс да юысьяс */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Кокньӧдам сьӧкыд во вуджны''' : публ. гижӧд<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Гӧль крестьяналы землеустройство нуӧдӧм''' : выльтор<br />
*'''Выль бутылка вӧчан завод''' : выльтор<br />
*'''Му гӧгӧр 50 урысь''' : выльтор<br />
*'''25 сюрс лыддьысян керка''' : выльтор<br />
*'''Миллионысь уна''' : выльтор<br />
*'''Кык миллион саяс''' : выльтор<br />
*'''Быдмӧ выль смена''' : выльтор<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Оз ладмыны''' : выльтор<br />
*'''Капиталистъяс оз узьны''' : выльтор<br />
*'''Профсоюзъяс тшӧктӧны дугӧдны вайны из шом Англияӧ''' : выльтор<br />
*'''Кантонса войска бара венӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Польша лӧсьӧдчӧ''' : выльтор<br />
*'''Чжан Цзолинь войска пӧвстын салдатъясыс вӧчӧмаӧсь восстанньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''1926−27 вося сельхозналог''' : юӧр<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : шыӧдчӧм<br />
*В. Фролов. '''Мый виччысьӧ Гӧрд армияӧ мунысьяслысь коми сикт''' : публ. гижӧд<br />
*Яг зон. '''Эз вӧчны шуӧм серти''' : юӧр<br />
*'''Аэростат Коми муын''' : публ. гижӧд<br />
*Парма. '''Мый колӧ тӧдны кооперативса шленлы''' : публ. гижӧд<br />
*'''Уна-ӧ ва воссьӧмсянь Хлебопродукт вайӧма нянь''' : публ. гижӧд<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №18===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Кывлысь. '''Гуся вӧв''' : публ. гижӧд<br />
*О. Юркин. '''Ошъяс ёна скӧт жугӧдӧны''' : публ. гижӧд<br />
*К. '''Бырӧдам кулиганитӧм!''' : публ. гижӧд<br />
*'''Важкуа вӧлӧсьтын''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коми крестьяна! «Коми Сикт» газетысь...''' : юӧр<br />
===Коми муын===<br />
====Самӧкур пуысьяс да юысьяс====<br />
*Перӧ № 80 @ Изъюров ёрт ёна юӧ @ публ. гижӧд<br />
*Селькор @ Объездчик Попов нӧйтӧма газетӧ гижысьӧс @ публ. гижӧд<br />
*Чернила @ Пуӧны самӧкур @ публ. гижӧд<br />
*Чушка @ Колӧ дугӧдны @ публ. гижӧд<br />
*Гранит @ Лесник косясьӧмӧн корӧ вина @ публ. гижӧд<br />
*Пӧрадок кутысь @ публ. гижӧд<br />
*Селькор @ Сюзяыб сиктысь (Висер вожын) Г. И. Игушев... @ юӧр<br />
*Селькор. '''Габов Т. М. Сюзяыбысь...''' : юӧр<br />
*'''Пильӧ Сергей мӧдар Ыбысь...''' : юӧр<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) Сергей Катя...''' : юӧр<br />
*Кывзысь. '''Ыб вӧлӧсьтын Ёль сиктын...''' : юӧр<br />
*Ветлысь-мунысь. '''Ыб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.)...''' : юӧр<br />
*Перӧ рондо. '''Порубын (Спаспоруб вӧлӧсьтын, Сыктыв у.)...''' : юӧр<br />
*Ном. '''Роч вина дугӧдіс самӧкур да сур пуӧмысь''' : юӧр<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Сьӧд коммунист пи. '''Приказчикъяс омӧля вузасьӧны''' : юӧр<br />
*№ 48. '''Кӧрткерӧсын (Кулӧмдін у.) Инвалидъяслӧн лавка...''' : юӧр<br />
*Матысся. '''Лесникъяс отсалісны йӧра кыйны''' : публ. гижӧд<br />
*Симаков И. Н. '''Висьӧны тифӧн''' : публ. гижӧд<br />
*Кык крестьянин. '''Суйӧр эз и пӧдласьлы''' : публ. гижӧд<br />
*Тюрнин. '''Ошъяс пакӧститчӧны''' : публ. гижӧд<br />
*'''Пошта куд''' : вочакыв<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92148
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:35:17Z
<p>Наста: /* КОМИ ГИЖӦМ №18 */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Кокньӧдам сьӧкыд во вуджны''' : публ. гижӧд<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Гӧль крестьяналы землеустройство нуӧдӧм''' : выльтор<br />
*'''Выль бутылка вӧчан завод''' : выльтор<br />
*'''Му гӧгӧр 50 урысь''' : выльтор<br />
*'''25 сюрс лыддьысян керка''' : выльтор<br />
*'''Миллионысь уна''' : выльтор<br />
*'''Кык миллион саяс''' : выльтор<br />
*'''Быдмӧ выль смена''' : выльтор<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Оз ладмыны''' : выльтор<br />
*'''Капиталистъяс оз узьны''' : выльтор<br />
*'''Профсоюзъяс тшӧктӧны дугӧдны вайны из шом Англияӧ''' : выльтор<br />
*'''Кантонса войска бара венӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Польша лӧсьӧдчӧ''' : выльтор<br />
*'''Чжан Цзолинь войска пӧвстын салдатъясыс вӧчӧмаӧсь восстанньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''1926−27 вося сельхозналог''' : юӧр<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : шыӧдчӧм<br />
*В. Фролов. '''Мый виччысьӧ Гӧрд армияӧ мунысьяслысь коми сикт''' : публ. гижӧд<br />
*Яг зон. '''Эз вӧчны шуӧм серти''' : юӧр<br />
*'''Аэростат Коми муын''' : публ. гижӧд<br />
*Парма. '''Мый колӧ тӧдны кооперативса шленлы''' : публ. гижӧд<br />
*'''Уна-ӧ ва воссьӧмсянь Хлебопродукт вайӧма нянь''' : публ. гижӧд<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №18===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*Нёбдінса Виттор. '''Коми йӧзкостса сьыланкывъяс''' : публ. гижӧд<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*Кывлысь. '''Гуся вӧв''' : публ. гижӧд<br />
*О. Юркин. '''Ошъяс ёна скӧт жугӧдӧны''' : публ. гижӧд<br />
*К. '''Бырӧдам кулиганитӧм!''' : публ. гижӧд<br />
*'''Важкуа вӧлӧсьтын''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коми крестьяна! «Коми Сикт» газетысь...''' : юӧр<br />
===Коми муын===<br />
====Самӧкур пуысьяс да юысьяс====<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92147
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:32:09Z
<p>Наста: /* Став му вылын */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Кокньӧдам сьӧкыд во вуджны''' : публ. гижӧд<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Гӧль крестьяналы землеустройство нуӧдӧм''' : выльтор<br />
*'''Выль бутылка вӧчан завод''' : выльтор<br />
*'''Му гӧгӧр 50 урысь''' : выльтор<br />
*'''25 сюрс лыддьысян керка''' : выльтор<br />
*'''Миллионысь уна''' : выльтор<br />
*'''Кык миллион саяс''' : выльтор<br />
*'''Быдмӧ выль смена''' : выльтор<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Оз ладмыны''' : выльтор<br />
*'''Капиталистъяс оз узьны''' : выльтор<br />
*'''Профсоюзъяс тшӧктӧны дугӧдны вайны из шом Англияӧ''' : выльтор<br />
*'''Кантонса войска бара венӧмаӧсь''' : выльтор<br />
*'''Польша лӧсьӧдчӧ''' : выльтор<br />
*'''Чжан Цзолинь войска пӧвстын салдатъясыс вӧчӧмаӧсь восстанньӧ''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼ <br />
*'''1926−27 вося сельхозналог''' : юӧр<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : шыӧдчӧм<br />
*В. Фролов. '''Мый виччысьӧ Гӧрд армияӧ мунысьяслысь коми сикт''' : публ. гижӧд<br />
*Яг зон. '''Эз вӧчны шуӧм серти''' : юӧр<br />
*'''Аэростат Коми муын''' : публ. гижӧд<br />
*Парма. '''Мый колӧ тӧдны кооперативса шленлы''' : публ. гижӧд<br />
*'''Уна-ӧ ва воссьӧмсянь Хлебопродукт вайӧма нянь''' : публ. гижӧд<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №18===<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92146
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:27:15Z
<p>Наста: /* СССР-ын */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Кокньӧдам сьӧкыд во вуджны''' : публ. гижӧд<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Гӧль крестьяналы землеустройство нуӧдӧм''' : выльтор<br />
*'''Выль бутылка вӧчан завод''' : выльтор<br />
*'''Му гӧгӧр 50 урысь''' : выльтор<br />
*'''25 сюрс лыддьысян керка''' : выльтор<br />
*'''Миллионысь уна''' : выльтор<br />
*'''Кык миллион саяс''' : выльтор<br />
*'''Быдмӧ выль смена''' : выльтор<br />
===Став му вылын===<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92145
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:25:05Z
<p>Наста: /* Пытшкӧс */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Кокньӧдам сьӧкыд во вуджны''' : публ. гижӧд<br />
===СССР-ын===<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-18._%E2%84%9638&diff=92144
Коми сикт. 1926-09-18. №38
2026-09-29T21:21:54Z
<p>Наста: Новая страница: «==Пытшкӧс== ==Содтӧд юӧр==»</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92136
Планиметрия курс − 2
2026-09-26T11:48:46Z
<p>Наста: /* Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс */</p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс==<br />
<br />
Кутшӧмкӧ чут да индӧм веськыд визь кост ылнаӧн шуӧны тайӧ чутсяньыс веськыд визьланьыс перпендикулярлысь кузьтасӧ.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧсын биссектрисалӧн быд чутыс кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt bis rasst.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектрисаын, а ''K'' да ''L'' чутъяс — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чутыс кӧ кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын, сылы быть лоны биссектрисаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt rasst bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' куйлӧ пельӧс пытшкын, а ''K'' да ''L'' — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧглы шӧр перпендикулярын быд чут тайӧ вундӧгыслӧн помъяссянь ӧтылнаын.<br />
<br />
[[Файл:Shoer perp otylna.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ вундӧгыслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
[[Файл:Otylna shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Кыдзи ми тӧдам нин, ӧткодь берда куимсэрӧгын йывса пельӧслы биссектриса лоӧ куимсэрӧгыслы медиананас да судтанас. Та вӧсна ''MC'' лоӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визьлы ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны веськыд визьлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм веськыд визь да сыысь ортсын ''А'' чут. ''А'' чутсянь циркульӧн гижтам кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визьыскӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC'', найӧ ӧти кытшын радиусъяс, сідзкӧ ӧткузьтаӧсь. Сэсся циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр. Ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын тайӧ гижтӧмторйыс лоӧ сы подулыслы ӧттшӧтш медианаӧн да судтаӧн да сідзкӧ и миян веськыд визьыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны индӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Otylna_shoer_perp.jpg&diff=92135
Файл:Otylna shoer perp.jpg
2026-09-26T11:46:32Z
<p>Наста: </p>
<hr />
<div></div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92134
Планиметрия курс − 2
2026-09-26T11:43:33Z
<p>Наста: /* Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс */</p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс==<br />
<br />
Кутшӧмкӧ чут да индӧм веськыд визь кост ылнаӧн шуӧны тайӧ чутсяньыс веськыд визьланьыс перпендикулярлысь кузьтасӧ.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧсын биссектрисалӧн быд чутыс кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt bis rasst.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектрисаын, а ''K'' да ''L'' чутъяс — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чутыс кӧ кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын, сылы быть лоны биссектрисаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt rasst bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' куйлӧ пельӧс пытшкын, а ''K'' да ''L'' — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧглы шӧр перпендикулярын быд чут тайӧ вундӧгыслӧн помъяссянь ӧтылнаын.<br />
<br />
[[Файл:Shoer perp otylna.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Сэки ''MC'' — медиана да судта, та вӧсна сійӧ ''AB'' вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визьлы ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны веськыд визьлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм веськыд визь да сыысь ортсын ''А'' чут. ''А'' чутсянь циркульӧн гижтам кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визьыскӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC'', найӧ ӧти кытшын радиусъяс, сідзкӧ ӧткузьтаӧсь. Сэсся циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр. Ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын тайӧ гижтӧмторйыс лоӧ сы подулыслы ӧттшӧтш медианаӧн да судтаӧн да сідзкӧ и миян веськыд визьыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны индӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Shoer_perp_otylna.jpg&diff=92133
Файл:Shoer perp otylna.jpg
2026-09-26T11:43:03Z
<p>Наста: </p>
<hr />
<div></div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92132
Планиметрия курс − 2
2026-09-26T11:38:40Z
<p>Наста: /* Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс */</p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс==<br />
<br />
Кутшӧмкӧ чут да индӧм веськыд визь кост ылнаӧн шуӧны тайӧ чутсяньыс веськыд визьланьыс перпендикулярлысь кузьтасӧ.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧсын биссектрисалӧн быд чутыс кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt bis rasst.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектрисаын, а ''K'' да ''L'' чутъяс — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чутыс кӧ кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын, сылы быть лоны биссектрисаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt rasst bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' куйлӧ пельӧс пытшкын, а ''K'' да ''L'' — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧглы шӧр перпендикулярын быд чут тайӧ вундӧгыслӧн помъяссянь ӧтылнаын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Сэки ''MC'' — медиана да судта, та вӧсна сійӧ ''AB'' вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визьлы ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны веськыд визьлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм веськыд визь да сыысь ортсын ''А'' чут. ''А'' чутсянь циркульӧн гижтам кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визьыскӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC'', найӧ ӧти кытшын радиусъяс, сідзкӧ ӧткузьтаӧсь. Сэсся циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр. Ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын тайӧ гижтӧмторйыс лоӧ сы подулыслы ӧттшӧтш медианаӧн да судтаӧн да сідзкӧ и миян веськыд визьыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны индӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92119
Планиметрия курс − 2
2026-09-24T20:30:37Z
<p>Наста: /* Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс */</p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс==<br />
<br />
Кутшӧмкӧ чут да индӧм веськыд визь кост ылнаӧн шуӧны тайӧ чутсяньыс веськыд визьланьыс перпендикулярлысь кузьтасӧ.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧсын биссектрисалӧн быд чутыс кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt bis rasst.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектрисаын, а ''K'' да ''L'' чутъяс — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чутыс кӧ кыкнан дорсяньыс ӧтылнаын, сылы быть лоны биссектрисаын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt rasst bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' чут лоӧ пельӧс йыв, ''M'' куйлӧ пельӧс пытшкын, а ''K'' да ''L'' — пельӧс доръясынӧсь, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧг шӧр перпендикулярса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Сэки ''MC'' — медиана да судта, та вӧсна сійӧ ''AB'' вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визьлы ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны веськыд визьлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм веськыд визь да сыысь ортсын ''А'' чут. ''А'' чутсянь циркульӧн гижтам кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визьыскӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC'', найӧ ӧти кытшын радиусъяс, сідзкӧ ӧткузьтаӧсь. Сэсся циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр. Ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын тайӧ гижтӧмторйыс лоӧ сы подулыслы ӧттшӧтш медианаӧн да судтаӧн да сідзкӧ и миян веськыд визьыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны индӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92109
Планиметрия курс − 2
2026-09-21T20:16:28Z
<p>Наста: /* Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс */</p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс==<br />
<br />
Чутсянь веськыд визьӧдз ылнаӧн шусьӧ чутсяньыс веськыд визьӧдз нуӧдӧм перпендикуляр кузьта.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс биссектрисавывса быд чут ӧтылнаын сы доръяссянь.<br />
<br />
[[Файл:Gmt bis rasst.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектриса вылын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чут кӧ сы доръяссяньыс ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ биссектриса вылын.<br />
<br />
[[Файл:Gmt rasst bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ пельӧс пытшкын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧг шӧр перпендикулярса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Сэки ''MC'' — медиана да судта, та вӧсна сійӧ ''AB'' вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визьлы ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны веськыд визьлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм веськыд визь да сыысь ортсын ''А'' чут. ''А'' чутсянь циркульӧн гижтам кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визьыскӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC'', найӧ ӧти кытшын радиусъяс, сідзкӧ ӧткузьтаӧсь. Сэсся циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр. Ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын тайӧ гижтӧмторйыс лоӧ сы подулыслы ӧттшӧтш медианаӧн да судтаӧн да сідзкӧ и миян веськыд визьыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны индӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Gmt_rasst_bis.jpg&diff=92108
Файл:Gmt rasst bis.jpg
2026-09-21T20:15:43Z
<p>Наста: </p>
<hr />
<div></div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92107
Планиметрия курс − 2
2026-09-21T20:08:37Z
<p>Наста: </p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс==<br />
<br />
Чутсянь веськыд визьӧдз ылнаӧн шусьӧ чутсяньыс веськыд визьӧдз нуӧдӧм перпендикуляр кузьта.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс биссектрисавывса быд чут ӧтылнаын сы доръяссянь.<br />
<br />
[[Файл:Gmt bis rasst.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектриса вылын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чут кӧ сы доръяссяньыс ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ биссектриса вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ пельӧс пытшкын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧг шӧр перпендикулярса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Сэки ''MC'' — медиана да судта, та вӧсна сійӧ ''AB'' вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визьлы ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны веськыд визьлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм веськыд визь да сыысь ортсын ''А'' чут. ''А'' чутсянь циркульӧн гижтам кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визьыскӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC'', найӧ ӧти кытшын радиусъяс, сідзкӧ ӧткузьтаӧсь. Сэсся циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр. Ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын тайӧ гижтӧмторйыс лоӧ сы подулыслы ӧттшӧтш медианаӧн да судтаӧн да сідзкӧ и миян веськыд визьыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны индӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Gmt_bis_rasst.jpg&diff=92106
Файл:Gmt bis rasst.jpg
2026-09-21T20:07:44Z
<p>Наста: </p>
<hr />
<div></div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92105
Планиметрия курс − 2
2026-09-21T20:01:24Z
<p>Наста: /* Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс */</p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс==<br />
<br />
Чутсянь веськыд визьӧдз ылнаӧн шусьӧ чутсяньыс веськыд визьӧдз нуӧдӧм перпендикуляр кузьта.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс биссектрисавывса быд чут ӧтылнаын сы доръяссянь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектриса вылын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чут кӧ сы доръяссяньыс ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ биссектриса вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ пельӧс пытшкын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧг шӧр перпендикулярса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Сэки ''MC'' — медиана да судта, та вӧсна сійӧ ''AB'' вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визьлы ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны веськыд визьлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм веськыд визь да сыысь ортсын ''А'' чут. ''А'' чутсянь циркульӧн гижтам кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визьыскӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC'', найӧ ӧти кытшын радиусъяс, сідзкӧ ӧткузьтаӧсь. Сэсся циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр. Ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын тайӧ гижтӧмторйыс лоӧ сы подулыслы ӧттшӧтш медианаӧн да судтаӧн да сідзкӧ и миян веськыд визьыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны индӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92104
Планиметрия курс − 2
2026-09-21T20:00:46Z
<p>Наста: </p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Биссектрисалӧн да шӧр перпендикулярлӧн аслунъяс==<br />
<br />
Чутсянь веськыд визьӧдз ылнаӧн шусьӧ чутсяньыс веськыд визьӧдз нуӧдӧм перпендикуляр кузьта.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс биссектрисавывса быд чут ӧтылнаын пельӧс доръяссянь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектриса вылын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чут кӧ сы доръяссяньыс ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ биссектриса вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ пельӧс пытшкын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧг шӧр перпендикулярса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Сэки ''MC'' — медиана да судта, та вӧсна сійӧ ''AB'' вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визьлы ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны веськыд визьлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм веськыд визь да сыысь ортсын ''А'' чут. ''А'' чутсянь циркульӧн гижтам кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визьыскӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC'', найӧ ӧти кытшын радиусъяс, сідзкӧ ӧткузьтаӧсь. Сэсся циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр. Ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын тайӧ гижтӧмторйыс лоӧ сы подулыслы ӧттшӧтш медианаӧн да судтаӧн да сідзкӧ и миян веськыд визьыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны индӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92103
Планиметрия курс − 2
2026-09-21T19:39:58Z
<p>Наста: /* Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм */</p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
Чутсянь веськыд визьӧдз ылнаӧн шусьӧ чутсяньыс веськыд визьӧдз нуӧдӧм перпендикуляр кузьта.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс биссектрисавывса быд чут ӧтылнаын пельӧс доръяссянь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектриса вылын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чут кӧ пельӧс доръяссяньыс ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ биссектриса вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ пельӧс пытшкын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧг шӧр перпендикулярса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Сэки ''MC'' — медиана да судта, та вӧсна сійӧ ''AB'' вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визьлы ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны веськыд визьлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм веськыд визь да сыысь ортсын ''А'' чут. ''А'' чутсянь циркульӧн гижтам кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визьыскӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC'', найӧ ӧти кытшын радиусъяс, сідзкӧ ӧткузьтаӧсь. Сэсся циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр. Ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын тайӧ гижтӧмторйыс лоӧ сы подулыслы ӧттшӧтш медианаӧн да судтаӧн да сідзкӧ и миян веськыд визьыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны индӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Эм ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92102
Планиметрия курс − 2
2026-09-21T09:16:23Z
<p>Наста: /* Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс */</p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
Чутсянь веськыд визьӧдз ылнаӧн шусьӧ чутсяньыс веськыд визьӧдз нуӧдӧм перпендикуляр кузьта.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс биссектрисавывса быд чут ӧтылнаын пельӧс доръяссянь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектриса вылын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чут кӧ пельӧс доръяссяньыс ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ биссектриса вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ пельӧс пытшкын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧг шӧр перпендикулярса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Сэки ''MC'' — медиана да судта, та вӧсна сійӧ ''AB'' вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визь ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визь ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркуль отсӧгӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визькӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс мунӧ ''A'' чут пыр, сійӧ лоӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны сетӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Сетӧма ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд йыв кӧ куйлӧ кытшвизь вылын, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Унасэрӧглӧн быд дор кӧ инмӧдчӧ кытшвизькӧд, тайӧ кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
'''Теорема.''' Быд куимсэрӧглӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг. Нуӧдам ''AB'' да ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''AO'' = ''OB'', ''AO'' = ''OC''. Сідзкӧ ''O'' чутсянь ''A'', ''B'' да ''C''-ӧдз ылнаыс ӧтыджда да, сійӧ лоӧ гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчутнас.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут; мӧд ногӧн кӧ шуны, ''OA'' = ''OB'' = ''OC''. Сідзкӧ:<br />
<br />
1. ''OA'' = ''OB'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AB'' вундӧглы шӧр перпендикуляр вылын; <br />
<br />
2. ''OA'' = ''OC'', та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгъяслы шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
Тайӧ шӧр перпендикуляръясыс — торъялана визьяс (найӧ кӧ лӧсялісны, ''AB'' да ''AC'' эськӧ тшӧтш лӧсялісны). Сідзкӧ найӧ вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%E2%88%92_2&diff=92101
Планиметрия курс − 2
2026-09-21T09:00:41Z
<p>Наста: /* Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм */</p>
<hr />
<div>Медводдза юкӧн [[Планиметрия курс|тані]].<br />
<br />
==Фалеслӧн теорема==<br />
<br />
'''Фалеслӧн теорема.''' Мед кутшӧмкӧ пельӧслӧн ӧти дорас эмӧсь ''A'', ''B'', ''C'' да ''D'' чутъяс, а мӧд дорас — ''A’'', ''B’'', ''C’'' да ''D’'' чутъяс, та дырйи ''AA’'', ''BB’'', ''CC’'', ''DD’'' куйлӧны параллель ногӧн, а ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс ӧткузьтаӧсь. Сэки ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
[[Файл:Phales11.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Гижтам ''A’C’''-лы параллель ногӧн веськыд визьяс ''A'' да ''C'' чутъяс пыр. Ӧтиыс вомӧнасьӧ ''BB’''-кӧд ''K'' чутын, мӧдыс вомӧнасьӧ ''DD’''-кӧд ''L'' чутын. Миян артмӧ: ''AA’B’K'' да ''CC’D’L'' — параллелограммъяс.<br />
<br />
Параллелограммлӧн аслун серти, ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL''. <br />
<br />
Петкӧдлам, мый ''AK'' = ''CL''. Сы могысь видлалам ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяссӧ.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
1) ''AK'' ∥ ''CL'' (найӧ кыкнанныс ''A’C’''-лы параллельяс да), ∠''KAB'' да ∠''LCD'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KAB'' = ∠''LCD'';<br />
<br />
2) ''BK'' ∥ ''LD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка), ∠''KBA'' да ∠''LDC'' — весьтаса пельӧсъяс; сідзкӧ ∠''KBA'' = ∠''LDC'';<br />
<br />
3) ''AB'' = ''CD'' (видзӧдӧй теоремалысь формулировка).<br />
<br />
Сідзкӧ ''ABK'' да ''CDL'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 мӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AK'' = ''CL''.<br />
<br />
Миян артмис: ''A’B’'' = ''AK'', ''C’D’'' = ''CL'', ''AK'' = ''CL''. Сідзкӧ ''A’B’'' = ''C’D’''.<br />
<br />
==Шӧр визь==<br />
<br />
===Куимсэрӧгын шӧр визь===<br />
<br />
Куимсэрӧгса шӧр визьӧн шуам кык дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визь лоӧ коймӧд дорлы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz par.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут. Гижтам ''D'' чут пыр ''AC''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''BC''-кӧд ''F'' чутын. ''AD'' = ''DB'', ''DF'' ∥ ''AC''; сідзкӧ, Фалеслӧн теорема серти, ''CF'' = ''FB''. Та вӧсна ''F'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, кыдзи и ''E'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''E'' да ''DE'' ∥ ''AC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сыкӧд параллель ногӧн куйлысь дорлӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Sher viz dzyn456.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' — ''AB''-лӧн шӧр чут, ''E'' — ''BC''-лӧн шӧр чут, ''F'' — AC-лӧн шӧр чут. Кыдзи ми тӧдам нин, ''DE'' ∥ ''AC'', ''EF'' ∥ ''AB'', найӧ ''ABC''-лӧн шӧр визьяс да. Сідзкӧ ''ADEF'' — параллелограмм. Параллелограммлӧн аслун серти, ''DE'' = ''AF''. Но ''F'' — ''AC''-лӧн шӧр чут; сідзкӧ ''AF'' = ''AC''/2. Со миян и артмис: ''DE'' = ''AC''/2.<br />
<br />
===Трапецияын шӧр визь===<br />
<br />
Трапецияса шӧр визьӧн шуам кыкнан боквыв дорсьыс шӧр чутъяссӧ йитан вундӧг.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Трапецияын шӧр визьыс лоӧ подувъяслы параллельӧн.<br />
<br />
[[Файл:Tr shoer viz1 0.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AB'' да ''CD'' — сылӧн боквыв доръяс, ''E'' — ''AB''-лӧн шӧрчут, ''F'' — ''CD''-лӧн шӧрчут. Гижтам ''E'' чут пыр ''AD''-лы параллель. Сійӧ вомӧнасьӧ ''CD''-кӧд ''G'' чутын. ''AE'' = ''BE'', ''EG'' ∥ ''AD'' ∥ ''BC''; сідзкӧ, Фалес теорема серти, ''CG'' = ''GD''. Та вӧсна ''G'' — ''CD''-лӧн шӧрчут, кыдзи и ''F'' чут. Сідзкӧ ''F'' = ''G'' да ''EF'' ∥ ''AD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Трапецияын шӧр визьыс лоӧ сы подувъяс суммалӧн джын кузьта.<br />
<br />
[[Файл:Shoer viz tr kuzta.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''ABCD'' — трапеция, ''AD'' да ''BC'' — сылӧн подувъяс, ''EF'' — шӧр визьыс. Гижтам ''B'' чут пыр ''CD''‐лы параллель. Сылысь ''AD''‐кӧд вомӧнасянінсӧ пасъям ''G''‐ӧн; ''EF'' да ''BG''‐лысь вомӧнасян чутсӧ пасъям ''H''‐ӧн. Кыдзи ми тӧдам нин, ''EF'' лоӧ подувъяслы параллельӧн. Сідзкӧ ''HBCF'' да ''GHFD'' — параллелограммъяс. А параллелограммын воча доръясыс век ӧткузяӧсь. Сідзкӧ ''BC'' = ''HF'' = ''GD''.<br />
<br />
Таысь кындзи, ''AG'' ∥ ''EH'', ''AE'' = ''BE''. Фалеслӧн теорема серти, ''BH'' = ''HG''. Сідзкӧ ''EH'' лоӧ ''ABG'' куимсэрӧгын шӧр визьнас. Войдӧр ми тӧдмалім нин: куимсэрӧгын шӧр визьыс лоӧ сылы параллель дорлӧн джын кузьта. Сідзкӧ ''EH'' = ''AG''/2.<br />
<br />
Миян артмӧ:<br />
<br />
''EF'' = ''EH'' + ''HF'' = ''BC'' + ''AG''/2 = ''BC'' + (''AD'' − ''GD'')/2 =<br />
<br />
= ''BC'' + (''AD'' − ''BC'')/2 = (''AD'' + ''BC'')/2.<br />
<br />
==Фалеслӧн мӧд теорема==<br />
<br />
Ми шуам: ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь, кор ''AB'' : ''CD'' да ''EF'' : ''GH'' юкасъяс ӧткодьӧсь: <br />
<br />
''AB'' : ''CD'' = ''EF'' : ''GH''.<br />
<br />
Мед ''AB'' да ''CD'', ''EF'' да ''GH'' вундӧгъяс кӧ пропорцияынӧсь. Арифметикаысь ми тӧдам: сэки<br />
1) ''AB'' да ''EF'', ''CD'' да ''GH'' пропорцияынӧсь;<br />
2) ''AB'' ∙ ''GH'' = ''CD'' ∙ ''EF''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''E'' да ''F'' чутъяс куйлӧны ''AB'' да ''CD'' вундӧгъяс вылын, ''AE'' да ''BE'', ''CF'' да ''DF'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AE'' да ''AB'', ''CF'' да ''CD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Proporc.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Миян артмӧ пропорция: ''AE'' : ''BE'' = ''CF'' : ''DF''; сідзкӧ, ''BE'' : ''AE'' = ''DF'' : ''CF''. Та вӧсна <br />
<br />
(''BE'' : ''AE'') + 1 = (''DF'' : ''CF'') + 1, <br />
<br />
кытысь артмӧдам <br />
<br />
(''BE'' + ''AE'') : ''AE'' = (''DF'' + ''CF'') : ''CF''. <br />
<br />
Аксиома серти, <br />
<br />
''BE'' + ''AE'' = ''AB'', ''DF'' + ''CF'' = ''CD''. <br />
<br />
Сідзкӧ, ''AB'' : ''AE'' = ''CD'' : ''CF'', кытысь ''AE'' : ''AB'' = ''CF'' : ''CD''.<br />
<br />
'''Фалеслӧн мӧд теорема.''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс — мӧд дор вылын, ''AC'' ∥ ''BD''. Сэки ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A'' чут куйлӧ ''O'' да ''B'' чутъяс костын. Петкӧдлам: <br />
<br />
''OA'' : ''AB'' = ''OC'' : ''CD''.<br />
<br />
Воддза теорема серти, миян артмас ''OA'' : ''OB'' = ''OC'' : ''OD''.<br />
<br />
Ми кутам подулавны теоремасӧ сӧмын сэк, кор ''OA'' : ''AB'' = ''p'' : ''q'', кӧні ''p'' да ''q'' — дзонь плюса лыдъяс.<br />
<br />
Юклам ''OA'' вундӧгсӧ ''p'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''OA'' : ''p'' кузьтаӧсь); ''AB'' вундӧгсӧ юклам ''q'' пельӧ (артмӧм вундӧгъясыс ''AB'' : ''q'' кузьтаӧсь).<br />
<br />
[[Файл:Fales pr pod.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Пропорцияысь аддзам: ''OA'' : ''p'' = ''AB'' : ''q''. Сідзкӧ, ''OB'' вундӧг юклӧма ''p'' + ''q'' пельӧ, став артмӧм вундӧгыс ӧтыджда.<br />
Нуӧдам артмӧм вундӧгъяслӧн помъяс пыр ''BD''-кӧд параллель веськыдъяс. Фалеслӧн медводдза теорема серти, найӧ юклӧны ''OD'' вундӧгсӧ ӧтыджда вундӧгъяс артмӧдӧмӧн; ''OC'' вундӧгыс кутӧ ''p'' ӧтыджда вундӧг, ''CD'' вундӧгыс — ''q'' ӧтыджда вундӧг. Сідзкӧ, ''OC'' : ''CD'' = ''p'' : ''q'' = ''OA'' : ''AB''.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''A'' да ''B'' чутъяс куйлӧны ''O'' йыла пельӧслӧн ӧти дор вылын, ''C'' да ''D'' чутъяс <br />
— мӧд дор вылын, ''OA'' да ''OB'', ''OC'' да ''OD'' вундӧгъяс пропорцияынӧсь. Сэки ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
[[Файл:Fales pr2.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Нуӧдам ''A'' чут пыр ''BD''-лы параллель. Мед сійӧ вомӧнасьӧ пельӧслӧн мӧд доркӧд ''E'' чутын. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''OA'' : ''OB'' = ''OE'' : ''OD''. Сідзкӧ ''OE'' = ''OA'' ∙ ''OD''/''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''E'' = ''C'' да ''AC'' ∥ ''BD''.<br />
<br />
==Ӧтсяма куимсэрӧгъяс==<br />
<br />
''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь (∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''), налӧн пельӧсъясыс кӧ гозйӧн-гозйӧн ӧтыдждаӧсь (∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’'', ∠''C'' = ∠''C’'') да доръясыс пропорцияынӧсь (''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' = ''CA'' : ''C’A’'').<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''D'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''E'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''DE'' ∥ ''BC''. Сэки ''ABC'' да ''ADE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ∠''D'' = ∠''B'', ∠''E'' = ∠''C'', найӧ весьтаса пельӧсъяс да; ∠''A'' куимсэрӧгъясыслӧн ӧтувъя пельӧс. Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''AD'' : ''AB'' = ''AE'' : ''AC''.<br />
<br />
Колис петкӧдлыны: ''AD'' : ''AB'' = ''DE'' : ''BC''.<br />
<br />
Мед ''F'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''BF'' = ''AD''; ''G'' чут куйлӧ ''BC'' дор вылын, ''FG'' ∥ ''AC''. Сэки ∠''EAD'' = ∠''GFB'', ∠''EDA'' = ∠''GBF'' кыдзи весьтаса пельӧсъяс. Сідзкӧ ''EAD'' да ''GFB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь мӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ED'' = ''GB''.<br />
<br />
Фалеслӧн мӧд теорема серти, ''GB'' : ''BC'' = ''BF'' : ''AB''. Сідзкӧ ''ED'' : ''BC'' = ''AD'' : ''AB''.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн медводдза тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ∠''B'' = ∠''B’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти. Та вӧсна ∠''NMA'' = ∠''C’B’A’'' = ∠''CBA''. Сідзкӧ, ''MN'' ∥ ''BC''. Воддза теорема серти, ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь. Сідзкӧ, ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн мӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ∠''A'' = ∠''A’'', ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед, шуам, ''A’B’'' ≤ ''AB''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ∆''AMN'' = ∆''A’B’C’'' медводдза тӧдмӧс серти да, ''AB'' : ''AM'' = ''AC'' : ''AN''. Фалеслӧн теорема серти, ''MN'' ∥ ''BC''. Миян артмӧ: ∆''AMN'' ~ ∆''ABC''. Та вӧсна ''A’B’C’'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
===Ӧтсяма куимсэрӧгъяслӧн коймӧд тӧдмӧг.===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяслӧн ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’'' = ''BC'' : ''B’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''k'' = ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Мед ''M'' чут куйлӧ ''AB'' дор вылын, ''AM'' = ''A’ B’'', ''N'' чут куйлӧ ''AC'' дор вылын, ''AN'' = ''A’C’''. Сэки ''AMN'' да ''ABC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь да ''AM'' : ''AB'' = ''AN'' : ''AC'' = ''MN'' : ''BC''. Но ''AM'' : ''AB'' = ''A’B’'' : ''AB'' = ''k''. Сідзкӧ, ''MN'' = ''k''∙''BC'' = ''B’C’''. Та вӧсна ''AMN'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь доръяса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда бур пельӧса куимсэрӧгъяс ӧта-мӧдыскӧд ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгълӧн кӧ йывса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Ӧткодь берда куимсэрӧгъяслӧн кӧ подувбердса пельӧсъяс ӧткузяӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ эмӧсь ӧтыджда гипотенузабердса пельӧсъяс, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Бур пельӧса куимсэрӧгъяслӧн кӧ катетъяс пропорцияынӧсь, тайӧ куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BL'' да ''B’L’'' — налӧн биссектрисаяс. Сэки ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' да ''B’L’'' биссектрисаяс, та вӧсна ∠''ABL'' = ∠''ABC''/2 = ∠''A’B’C’''/2 = ∠''A’B’L’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAL'' = ∠''B’A’L’''. Та понда ∆''ABL'' ~ ∆''A’B’L’'' медводдза тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BL'' : ''B’L’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BM'' да ''B’M’'' — налӧн медианаяс. Сэки ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BM'' да ''B’M’'' медианаяс, та вӧсна ''AM'' = ''AC''/2, ''A’M’'' = ''A’C’''/2, кытысь артмӧдам: ''AM'' : ''A’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''. ∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAM'' = ∠''B’A’M’''. Та понда ∆''ABM'' ~ ∆''A’B’M’'' мӧд тӧдмӧс серти. Сідзкӧ, ''BM'' : ''B’M’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — ӧтсяма куимсэрӧгъяс, ''BH'' да ''B’H’'' — налӧн судтаяс. Сэки ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BH'' да ''B’H’'' судтаяс, та вӧсна ∠''AHB'' = 90° = ∠''A’H’B’''.<br />
∆''ABC'' ~ ∆''A’B’C’''; сідзкӧ, ∠''BAH'' = ∠''B’A’H’''. Та понда ∆''ABH'' ~ ∆''A’B’H’'' медводдза тӧдмӧг серти. Сідзкӧ, ''BH'' : ''B’H’'' = ''AB'' : ''A’B’''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''AK'' да ''BM'' — медианаяс, ''O'' — налӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''KM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн шӧр визь. Сідзкӧ, ''KM'' ∥ ''AB'', ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1. Та вӧсна ∠''KAB'' = ∠''AKM'', ∠''MBA'' = ∠''BMK'' (пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь кыдз пытшкӧсса ӧтар-мӧдар куйлысьяс). Сідзкӧ, ∆''OAB'' ~ ∆''OKM'' медводдза тӧдмӧс серти. Миян артмӧ: ''AO'' : ''OK'' = ''BO'' : ''OM'' = ''AB'' : ''KM'' = 2 : 1.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BM'' да ''CN'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн медианаяс, ''O'' — ''AK'' да ''BM''-лӧн вомӧнасян чут, ''O’'' — ''AK'' да ''CN''-лӧн вомӧнасян чут. Сэки ''AO'' : ''OK'' = 2 : 1, ''AO’'' : ''O’K'' = 2 : 1. Та вӧсна ''O’'' = ''O''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''BL'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектриса. Сэки ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''BL'' кӧ нӧшта лоӧ судтаӧн, ∆''ABL'' = ∆''CBL'' мӧд тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AL'' : ''LC'' = ''AB'' : ''BC'' = 1.<br />
Мед, шуам, ''ALB'' пельӧс ёсь. Мед ''M'' чут куйлӧ ''BL'' визьньӧв вылын, ''AM'' = ''BM''. Сэки ∠''AML'' = ∠''ALM'' (ӧткодь берда куимсэрӧгын подувбердса пельӧсъяс), ∠''ALM'' = ∠''BLC'' (сувтса пельӧсъяс).<br />
Сідзкӧ, ∠''ABM'' = ∠''CBL'', ∠''AMB'' = ∠''CLB''. Та вӧсна ∆''ABM'' ~ ∆''CBL'' медводдза тӧдмӧс серти да ''AB'' : ''BC'' = ''AM'' : ''LC'' = ''AL'' : ''LC''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн бур пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' ''ABC'', ''AHB'' да ''BHC'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, кодъяслӧн ∠''BAC'' = ∠''HAB'' = ∠''HBC''. Сідзкӧ ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' ~ ∆''BHC'' медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
===Пифагорлӧн теорема===<br />
<br />
'''Теорема.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс, ''BH'' — судтаыс. Сэки ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Воддза теорема серти, ∆''AHB'' ~ ∆''BHC''; сідзкӧ, ''AH'' : ''HB'' = ''HB'' : ''HC''. Пропорция медшӧр торъяланлун серти, ''BH''² = ''AH''∙''HC''.<br />
<br />
'''Пифагорлӧн теорема.''' Бур пельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат суммакӧд.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — бур пельӧса куимсэрӧг, ''B'' — сылӧн веськыд пельӧс. ∆''ABC'' ~ ∆''AHB'' да, ''AH'' : ''AB'' = ''AB'' : ''AC''; ∆''ABC'' ~ ∆''BHC'' да, ''HC'' : ''BC'' = ''BC'' : ''AC''. Сідзкӧ, ''AC''∙''AH'' = ''AB''², ''AC''∙''HC'' = ''BC''². Содтам тайӧ кык ӧткодьлун: ''AC''∙(''AH'' + ''AC'') = AB² + BC². Миян артмӧ: ''AC''² = ''AB''² + ''BC''².<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Мед ''ABC'' да ''A’B’C’'' — бур пельӧса куимсэрӧгъяс, ''B'' да ''B’'' — бур пельӧсъяс, ''AB'' : ''A’B’'' = ''AC'' : ''A’C’''. Сэки ''ABC'' да ''A’B’C’'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' = ''k''∙''A’B’''. Сэки ''AC'' = ''k''∙''A’C’''. Пифагор теорема серти, ''BC''² = ''AC''² – ''AB''² = ''k''²(''A’C’''² – ''A’B’''²) = ''k''²''B’C’''², кытысь артмӧ ''BC'' = ''k''∙''B’C’''. Та вӧсна ''AB'' : ''A’B’'' = ''BC'' : ''B’C’'' да куимсэрӧгъясыс ӧтсямаӧсь кык катет серти.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн кӧ ӧти дор квадрат ӧтыджда мӧд кык дор квадрат суммакӧд, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧглӧн ''AB''² + ''BC''² = ''AC''². Босьтам бур пельӧса куимсэрӧг ''AB'' да ''BC'' кузьта катетъясӧн. Пифагорлӧн теорема серти, сылӧн гипотенуза ''AC'' кузьта. Сідзкӧ, тайӧ куимсэрӧгыс ӧткодь ''ABC''-кӧд коймӧд тӧдмӧг серти. Та вӧсна ''ABC'' пельӧсыс веськыд.<br />
<br />
'''Видлӧг.''' Египетса куимсэрӧг — тайӧ куимсэрӧг, кодлӧн доръясыс лӧсялӧны 3 : 4 : 5 моз. 5² = 3² + 4² да, тайӧ бур пельӧса куимсэрӧг.<br />
<br />
Чутсянь веськыд визьӧдз ылнаӧн шусьӧ чутсяньыс веськыд визьӧдз нуӧдӧм перпендикуляр кузьта.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс биссектрисавывса быд чут ӧтылнаын пельӧс доръяссянь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ биссектриса вылын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да ёсь пельӧс серти. Та вӧсна ''MK'' = ''ML''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Пельӧс пытшкӧсса чут кӧ пельӧс доръяссяньыс ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ биссектриса вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''A'' — пельӧслӧн йыв, ''M'' чут куйлӧ пельӧс пытшкын, ''K'' да ''L'' чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс вылын, ''MK'' ⊥ ''AK'', ''ML'' ⊥ ''AL'', ''MK'' = ''ML''. Сідзкӧ, ∆''MKA'' = ∆''MLA'' гипотенуза да катет серти. Та вӧсна ∠''MAK'' = ∠''MAL''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгса ''A'' да ''B'' пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ''O'' чутын. Сэки ''O'' чут ӧтылнаын ''AB'' да ''AC'' доръяссянь; сійӧ жӧ ӧтылнаын ''AB'' да ''BC'' доръяссянь. Та вӧсна сійӧ ӧтылнаын ''AC'' да ''BC'' доръяссянь. Сідзкӧ, сійӧ куйлӧ ''C'' пельӧс биссектриса вылын. Миян артмис: куимнан биссектриса мунӧны ''O'' чут пыр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Вундӧг шӧр перпендикулярса быд чут вундӧг помъяссянь ӧтылнаынӧсь.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''C'' — сылӧн шӧр чут, ''l'' — шӧр перпендикуляр, ''M'' чут куйлӧ ''l'' вылын. Сэки ''MCA'' да ''MCB'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, ''AM'' = ''BM''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Чут кӧ вундӧг помъяссянь ӧтылнаын, сійӧ куйлӧ шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AB'' — вундӧг, ''MA'' = ''MB''. Сэки ''AMB'' — ӧткодь берда куимсэрӧг. Мед ''MC'' — сылӧн биссектриса. Сэки ''MC'' — медиана да судта, та вӧсна сійӧ ''AB'' вундӧглӧн шӧр перпендикуляр.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧг доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''O'' — ''AB'' да ''AC'' доръяслӧн шӧр перпендикуляръяс вомӧнасян чут. Сэки ''OA'' = ''OB'', ''OA'' = ''OC''. Сідзкӧ, ''OB'' = ''OC''. Та вӧсна ''O'' чут куйлӧ ''BC'' дорлӧн шӧр перпендикуляр вылын.<br />
<br />
'''Теорема.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''ABC'' — куимсэрӧг, ''AK'', ''BL'', ''CM'' — сылӧн судтаяс. Нуӧдам ''A'', ''B'' да ''C'' чутъяс пыр ''BC''-кӧд, ''AC''-кӧд да ''AB''-кӧд параллель нога веськыдъяс. Мед найӧ вомӧнасьӧны ''A’'', ''B’'' да ''C’'' чутъясын.<br />
''ABA’C'' да ''AC’BC'' — параллелограммъяс. Сідзкӧ, ''C’B'' = ''AC'' = ''BA’'' да ''BL'' — ''A’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Сідзи жӧ миян артмӧ: ''AK'' — ''B’C’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр, ''CM'' — ''A’B’'' дорлӧн шӧр перпендикуляр. Та вӧсна найӧ вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Менелайлӧн теорема.''' Мед ''B'' чут куйлӧ ''AC'' вундӧгын, ''F'' чут куйлӧ ''AE'' вундӧгын, ''BE'' да ''CF'' вомӧнасьӧны ''D'' чутын. Сэки (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''FG'' — параллель AB-лы. Сэки ''ABE'' да ''FGE'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FE'' : ''AE'' = ''GF'' : ''AB''; ''FGD'' да ''CBD'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь, та вӧсна ''FG'' : ''DF'' = ''BC'' : ''CD''. Сідзкӧ, (''FE'' : ''AE'')∙''AB'' = (''BC'' : ''CD'')∙''DF'', кытысь (''AB'' : ''BC'')∙(''CD'' : ''DF'')∙(''EF'' : ''AE'') = 1.<br />
<br />
'''Чевалӧн теорема.''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын. Сэки (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяслӧн вомӧнасян чут. Менелайлӧн теорема серти, (''AM'' : ''MB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''CL'' : ''AC'') = 1, (''CK'' : ''KB'')∙(''BO'' : ''OL'')∙(''AL'' : ''LC'') = 1. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1.<br />
<br />
'''Теорема (мӧдара).''' Мед ''ABC'' куимсэрӧгын ''K'', ''L'' да ''M'' чутъяс куйлӧны ''BC'', ''AC'' да ''AB'' вылын. Мед (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сэки ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вундӧгъяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''M’'' чут куйлӧ ''AB'' вылын, ''AK'', ''BL'' да ''CM’'' вомӧнасьӧны ӧти чутын. Чева теорема серти, (''AM’'' : ''MB’'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = 1. Сідзкӧ, ''AM'' : ''MB'' = ''AM’'' : ''MB’''. Та вӧсна M = M’.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн медианаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн биссектрисаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн биссектрисаяс. Сэки ''AM'' : ''MB'' = ''AC'' : ''CB'', ''BK'' : ''KC'' = ''BA'' : ''AC'', ''CL'' : ''LA'' = ''CB'' : ''BA''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AC'' : ''CB'')∙(''BA'' : ''AC'')∙(''CB'' : ''BA'') = 1. Воддза теорема серти, ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' Куимсэрӧглӧн судтаяс вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''AK'', ''BL'' да ''CM'' — ''ABC'' куимсэрӧглӧн судтаяс. ''ALB'' да ''AMC'' куимсэрӧгъяс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧг серти; сідзкӧ, ''AM'' : ''LA'' = ''CM'' : ''BL''. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ''BK'' : ''MB'' = ''AK'' : ''CM'', ''CL'' : ''CK'' = ''BL'' : ''AK''. Сідзкӧ, (''AM'' : ''MB'')∙(''BK'' : ''KC'')∙(''CL'' : ''AL'') = (''AM'' : ''AL'')∙(''BK'' : ''MB'')∙(''CL'' : ''KC'') = (''CM'' : ''BL'')∙(''AK'' : ''CM'')∙(''BL'' : ''AK'') = 1. Та вӧсна ''AK'', ''BL'' да ''CM'' вомӧнасьӧны ӧти чутын.<br />
<br />
==Кытшвизь==<br />
кытшвизь — окружность<br />
шӧр чут — центр<br />
шӧр пельӧс — центральный угол<br />
мегыр — дуга<br />
<br />
Тшӧтшкӧсын куйлысь став чут, кодъяс ӧтылнаынӧсь кутшӧмкӧ индӧм чутсяньыс, артмӧдӧны кытшвизь. Тайӧ индӧм чутыс, коді куйлӧ ӧтылнаын кытшвизьса быд чутсяньыс, шуам шӧр чутӧн; ылнаыс кытшвизьсянь шӧр чутӧдзыс шусьӧ радиусӧн.<br />
<br />
[[Файл:Kytsviz.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизь шӧр чуткӧд кӧ лӧсялӧ кутшӧмкӧ пельӧслӧн йыв, сэки тайӧ пельӧссӧ шуам шӧр пельӧсӧн.<br />
Шӧр пельӧс торйӧдӧ кытшвизьсӧ кык юкӧнӧ; тайӧ юкӧнъясыс шусьӧны кытшвизь мегыръясӧн.<br />
<br />
[[Файл:Shoer peljes1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
Кытшвизьын куйлысь кык чутсӧ йитан вундӧг шусьӧ хордаӧн. Шӧр чут пыр мунысь хорда шусьӧ диаметрӧн.<br />
<br />
[[Файл:Chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда шӧр пельӧсъяслы лӧсялӧны ӧтыджда хордаяс.<br />
<br />
[[Файл:Peljes chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ∠''AOB'' = ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс. Колӧ петкӧдлыны: ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B2.D0.BE.D0.B4.D0.B4.D0.B7.D0.B0_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 медводдза тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь пытшкын ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
[[Файл:Chord peljes.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ∠''AOB'' да ∠''COD'' — кытшвизь пытшкын шӧр пельӧсъяс, кӧні ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' — кытшвизьвывса чутъяс, ''AB'' = ''CD''. Колӧ петкӧдлыны: ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''OA'' = ''OB'' = ''OC'' = ''OD'' (найӧ кытшвизьын радиус ыдждаӧсь). Видлалам ∆''AOB'' да ∆''COD'' куимсэрӧгъяс:<br />
<br />
1) ''OA'' = ''OC'', ''OB'' = ''OD'';<br />
<br />
2) ''AB'' = ''CD''.<br />
<br />
Сідзкӧ ∆''AOB'' = ∆''COD'' [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D3.A6.D1.82.D0.BA.D0.BE.D0.B4.D1.8C_.D0.BA.D1.83.D0.B8.D0.BC.D1.81.D1.8D.D1.80.D3.A7.D0.B3.D1.8A.D1.8F.D1.81.D0.BB.D3.A7.D0.BD_.D0.BA.D0.BE.D0.B9.D0.BC.D3.A7.D0.B4_.D1.82.D3.A7.D0.B4.D0.BC.D3.A7.D0.B3 коймӧд тӧдмӧг серти]. Та вӧсна ∠''AOB'' = ∠''COD''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв.<br />
<br />
[[Файл:Chord diam.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, та дырйи ''AB'' да ''CD'' — перпендикуляръяс. Пасъям ''M'' шыпасӧн налысь вомӧнасян чутсӧ.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.92.D0.B5.D1.81.D1.8C.D0.BA.D1.8B.D0.B4_.D0.B2.D0.B8.D0.B7.D1.8C.D0.BB.D0.B0.D0.BD.D1.8C_.D0.BE.D1.80.D1.82.D1.81.D1.8B_.D1.87.D1.83.D1.82_.D0.BF.D1.8B.D1.80_.D0.B3.D0.B8.D0.B6.D1.82.D3.A7.D0.BC_.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.BF.D0.B5.D0.BD.D0.B4.D0.B8.D0.BA.D1.83.D0.BB.D1.8F.D1.80 аслун] серти, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы тшӧтш медианаӧн. Со миян и артмис: ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
'''Теорема'''. Хорда кӧ юклӧ диаметрсӧ шӧрипӧв, сійӧ лоӧ тайӧ диаметрыслы перпендикулярӧн.<br />
<br />
[[Файл:Diam chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''O'' шӧрчута кытшвизь пытшкын нуӧдӧма ''AB'' хорда да ''CD'' диаметр, ''M'' — налӧн вомӧнасян чут, ''AM'' = ''MB''.<br />
<br />
Ми аддзам: ''O'' чут куйлӧ ''CD'' вылын, ''OM'' лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы медианаӧн, ''AO'' = ''OB''. Ӧткодь берда куимсэрӧглӧн [http://wiki.komikyv.org/index.php/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81#.D0.91.D0.B8.D1.81.D1.81.D0.B5.D0.BA.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.81.D0.B0.2C_.D0.BC.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.B0_.D0.B4.D0.B0_.D1.81.D1.83.D0.B4.D1.82.D0.B0 аслун] серти, ''OM'' сідзжӧ лоӧ ''AOB'' куимсэрӧглы судтаӧн. Со миян и артмис: ''CD'' да ''AB'' — перпендикуляръяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Параллель нога кык хорда костын куйлысь мегыръяслы лӧсялана шӧр пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
[[Файл:Paral chord.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм'''. Мед ''AB'' да ''CD'' — параллель хордаяс. Гижтам налы перпендикуляр нога диаметр. Мед сійӧ вомӧнасяс ''AB''-кӧд ''M'' чутын, ''CD''-кӧд — ''N'' чутын. Кыдзи ми тӧдам нин, хордалы перпендикуляр ногӧн куйлысь диаметр юклӧ сійӧс шӧрипӧв. Сідзкӧ ''AM'' = ''BM'', ''CN'' = ''DN''.<br />
<br />
Мед, шуам, ''AB'' ≤ ''CD''. Гижтам ''ABDC'' трапециялы ''AP'' да ''BQ'' судтаяс. Миян артмӧ:<br />
<br />
''AP'' = ''BQ''; ''PN'' = ''AM'' = ''BM'' = ''QN'';<br />
<br />
''CP'' = ''CN'' − ''PN'' = ''CN'' − ''AM'' = ''DN'' − ''BM'' = ''DN'' − ''QN'' = ''DQ''.<br />
<br />
Сідзкӧ, ''APC'' да ''BQD'' куимсэрӧгъяс ӧткодьӧсь, кык катет серти. Та вӧсна ''AC'' = ''BD''. Кыдзи ми тӧдам нин, тайӧ ӧтыджда хордаяслы лӧсялӧны ӧтыджда шӧр пельӧсъяс.<br />
<br />
===Циркульӧн да линейкаӧн мыгӧр артмӧдӧм===<br />
<br />
Линейкаӧн позьӧ кык торъялана чут пыр гижтыны веськыд визь.<br />
<br />
Циркульӧн позьӧ бӧрйӧм шӧр чутсянь гижтыны индӧм радиуса кытшвизь.<br />
<br />
'''Вундӧглы шӧр перпендикуляр артмӧдӧм.''' Сетӧма ''AB'' вундӧг. Гижтыны сы шӧрлы перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Artm shoer perp.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''AB'' радиуса кык кытшвизь: ӧтисӧ — ''A'' шӧр чутаӧс, мӧдсӧ — ''B'' шӧр чутаӧс. Найӧ вомӧнасясны ''C'' да ''D'' чутъясын. Линейкаӧн гижтам ''CD'' веськыд визь. Сійӧ и лоас ''AB''‐ыслы шӧр перпендикулярӧн.<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Артмӧдан ног серти, ''AC'' = ''AD'' = ''BC'' = ''BD'' = ''AB''; сідзкӧ ''ACBD'' — ромб; ''AB'' да ''CD'' — сылӧн диагональяс. Ромб аслун серти, диагональясыс сыын куйлӧны ӧта-мӧдныслы перпендикуляр ногӧн да вомӧнасьӧны шӧр чутаныс.<br />
<br />
'''Веськыд визьса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визьса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр. <br />
<br />
[[Файл:Perp vyl.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасяс веськыд визьыскӧд ''B'' да ''C'' чутъясын. Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн жӧ да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧг шӧрлы перпендикуляр. Сійӧ мунӧ ''A'' чут пыр.<br />
<br />
'''Веськыд визь ортсыса чут пыр перпендикуляр нуӧдӧм.''' Веськыд визь ортсыса ''A'' чут пыр гижтыны перпендикуляр.<br />
<br />
[[Файл:Perp orts.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Циркуль отсӧгӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь сідзи, медым сійӧ вомӧнасис веськыд визькӧд кык чутын (пасъям найӧс ''B'' да ''C''). Миян артмӧ: ''AB'' = ''AC''. Циркуль да линейка отсӧгӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс мунӧ ''A'' чут пыр, сійӧ лоӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
'''Пельӧслы биссектриса артмӧдӧм.''' Циркуль да линейка отсӧгӧн артмӧдны сетӧм пельӧслы биссектриса.<br />
<br />
[[Файл:Artm bis.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Артмӧдан ног.''' Сетӧма ''A'' йыла пельӧс. Циркульӧн гижтам ''A'' шӧрчута кытшвизь. Сійӧ вомӧнасьӧ пельӧсыскӧд кык чутын: ''B'' да ''C''. Сідзкӧ ''AB'' = ''AC''. Циркульӧн да линейкаӧн гижтам ''BC'' вундӧглы шӧр перпендикуляр. Тайӧ веськыд визьыс лоӧ ''A'' пельӧслы биссектрисаӧн, сійӧ ӧткодь берда ''BAC'' куимсэрӧгын подувлы шӧр перпендикуляр да.<br />
<br />
===Инман веськыд визь===<br />
<br />
Мед веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизькӧд да та дырйи сійӧ лоӧ перпендикулярӧн вомӧнасян чутлань нуӧдӧм радиуслы. Сэки веськыд визьыс шусьӧ инман веськыд визьӧн; вомӧнасян чутыс шусьӧ инман чутӧн.<br />
<br />
[[Файл:Inman.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Теорема.''' Инман веськыд визь вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд тшук ӧти чутын.<br />
<br />
[[Файл:Inm1.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''A'' — инман чут, ''B'' — веськыд визь вылын куйлысь мӧд чут. Сідзкӧ ''AOB'' — веськыдпельӧса куимсэрӧг, ''OB'' — сылӧн гипотенуза. Кыдзи ми тӧдам нин, гипотенуза пыр кузьджык катетысь; сідзкӧ ''OB'' > ''OA'' да ''B'' чут оз куйлы кытшвизь вылын. Со миян и артмис: кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн сӧмын ӧти ӧтувъя чут — ''A''.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизь кӧ вомӧнасьӧ веськыд визькӧд тшук ӧти чутын, тайӧ веськыд визьыс инман.<br />
<br />
[[Файл:1inm.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ''A'' чутын, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут. Нуӧдам ''O'' чутысь веськыд визьлань ''OB'' перпендикуляр. ''B'' чут кӧ оз лӧсяв ''A'' чуткӧд, пуктам веськыд визь вылас ''C'' чутсӧ сідз, медым ''B'' юкліс ''AC'' вундӧгсӧ шӧрипӧв. Миян артмас кык куимсэрӧг: ''OBA'' да ''OBC''. Найӧ ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ ''OC'' = ''OA''. Миян артмис: кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык торъялана чутын: ''A''‐ын да ''C''‐ын.<br />
<br />
===Кыдзи вермӧны куйлыны кытшвизь да веськыд визь?===<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн да веськыд визьлӧн оз вермы лоны куим торъялана ӧтувъя чут.<br />
<br />
[[Файл:3vomen.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''O'' — кытшвизьлӧн шӧр чут, ''A'' — кытшвизьыслӧн да веськыд визьыслӧн вомӧнасян чут, ''OB'' — веськыд визьланьыс нуӧдӧм перпендикуляр, ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''h'' — ''O'' чутсянь веськыд визьӧдз ылна. Сідзкӧ ''OA'' = ''R'', ''OB'' = ''h''. Пифагор теорема серти, ''AB''² = ''R''² − ''h''². Мед ''A’'', ''A’’'' — мӧд да коймӧд вомӧнасян чутъяс. Сэки ''A’B''² = ''A’’B''² = ''R''² − ''h''². Сідзкӧ ''AB'' = ''A’B'' = ''A’’B''; тайӧ оз вермы лоны.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ичӧтджык, сэки кытшвизьыс вомӧнасьӧ веськыд визьыскӧд кык чутын.<br />
<br />
[[Файл:H l r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — шӧр чутыс, ''OK'' — веськыд визьыслы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ ''h'' < ''R''. Урчитам ''a'' лыдсӧ ''a''² = ''R''² − ''h''² ӧткодьлун серти. Пуктам веськыд визь вылас ''K'' чутсянь кыкнанладорӧ ''a'' кузьта вундӧгъяс: ''AK'' да ''BK''. Пифагор теорема серти, ''OA'' = ''OB'' = ''R''. Та вӧсна ''A'' да ''B'' — кытшвизь веськыд визьыскӧд вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
'''Теорема.''' Кытшвизьлӧн шӧр чутсянь веськыд визьӧдз ылнаыс кӧ радиусысь ыджыдджык, сэки кытшвизьыс веськыд визьыскӧд оз вомӧнась.<br />
<br />
[[Файл:H g r.jpg|thumb|center|220px|]]<br />
<br />
'''Подулалӧм.''' Мед ''R'' — кытшвизьыслӧн радиус, ''O'' — кытшвизьыслӧн шӧр чут, ''OK'' — веськыд визьлы перпендикуляр, ''OK'' = ''h''. Сідзкӧ, ''h'' > ''R''. Мед ''M'' — веськыд визьвывса кутшӧмкӧ чут, ''M'' ≠ ''K''. Миян артмӧ ''OKM'' бур пельӧса куимсэрӧг, кӧні ''OM'' — гипотенуза, ''OK'' — катет. Гипотенуза пыр лоӧ кузьджык катетысь да, ''OM'' > ''OK'' > ''R''. Та вӧсна ''M'' чут оз куйлы кытшвизь вылын.<br />
<br />
'''Кывкӧртӧд.''' 1. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд кык чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ичӧтджык.<br />
<br />
2. Кытшвизь вомӧнасьӧ веськыд визькӧд ӧти чутын сэк да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиусыскӧд ӧткодь.<br />
<br />
3. Кытшвизь оз вомӧнась веськыд визькӧд да сӧмын сэк, кор шӧр чутсяньыс веськыд визьӧдз ылнаыс радиуссьыс ыджыдджык.<br />
<br />
===Гӧгӧртана да тӧрӧдчӧм кытшвизьяс===<br />
<br />
Урчитӧм. Мед унапельӧсалӧн быд йыв куйлӧ кытшвизь вылын. Сэки кытшвизьыс шусьӧ гӧгӧртанаӧн.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед унапельӧсалӧн быд дор инмӧдчӧ кытшвизькӧд. Сэки кытшвизьыс шусьӧ тӧрӧдчӧмаӧн.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса. Нуӧдам AB да AC вундӧгъяслы шӧр перпендикуляръяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Сэки AO = OB, AO = OC. Сідзкӧ, O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн гӧгӧртана кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут. Сэки OA = OB = OC. Та вӧсна O чут куйлӧ AB да AC вундӧгъяслӧн шӧр перпендикуляръяс вылын. Колис казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын.<br />
<br />
Теорема. Быд куимпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса. Нуӧдам A да B пельӧсъяслысь биссектрисаяссӧ. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Мед OK, OL, OM – AB, AC да BC вылӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. AO да BO – биссектрисаяс, та вӧсна OK = OL, OK = OM. Сідзкӧ, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсаӧ тӧрӧдчӧм кытшвизь сӧмын ӧти.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, OK, OL, OM – AB, AC да BC-ӧ нуӧдӧм перпендикуляръяс. Сэки OK = OL = OM. Та вӧсна O чут куйлӧ A да B пельӧсъяслӧн биссектрисаяс вылын. Кольӧ казьтыштны: веськыд визьяс вомӧнасьӧны сӧмын ӧти чутын. <br />
<br />
Теорема. Ӧти чутысь петысь инман вундӧгъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, AB да AC – инман вундӧгъяс (B да C – инман чутъяс). Сэки ABO да ACO куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь катет да гипотенуза серти. Сідзкӧ, AB = AC.<br />
<br />
Урчитӧм. Мед пельӧслӧн доръясыс вомӧнасьӧны кытшвизькӧд да ӧти вомӧнасян чутыс – пельӧсыслӧн йыв. Сэки тайӧ пельӧсыс шусьӧ тӧрӧдчӧма пельӧсӧн.<br />
<br />
Казьтылам: шӧр пельӧс юклӧ кытшвизьсӧ кык мегыр вылӧ. Ӧти мегырыслӧн чутъяс куйлӧны пельӧс доръяс костын. Шуам: тайӧ мегырлӧн ыдждаыс лоӧ шӧр пельӧсыслӧн ыджда. Мӧд мегыр ыдждаыс лоӧ 360° да медводдза мегыр ыджда чинтас.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ӧти дор мунӧ кытшвизьлӧн шӧрчут пырыс. Сэки пельӧсыслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут, AC – диаметр. <br />
AOB – ӧткодь берда куимпельӧса. Сідзкӧ, ∠OAB = ∠OBA. ∠BOC лоӧ AOB куимпельӧсалӧн ортсыса пельӧс; та вӧсна ∠BOC = ∠OAB + ∠OBA = 2∠CAB.<br />
<br />
Теорема. Тӧрӧдчӧма пельӧслӧн ыджда лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A – пельӧсыслӧн йыв, B да C – кытшвизькӧд вомӧнасян чутъяс, O – кытшлӧн шӧрчут. Колӧ петкӧдлыны: ∠BOC = 2∠BAC.<br />
Мед AD – диаметр. AD кӧ лӧсялӧ пельӧсыслӧн ӧти доркӧд, ӧткодьлуныс подулалӧма нин. <br />
Мед AD мунӧ AB да AC костын. Сэки ∠BOC = ∠BOD + ∠DOC = 2∠BAD + 2∠DAC = 2∠BAC.<br />
Мед AD оз мун AB да AC костын. Шуам, AC мунӧ AB да AD костын. Сідзкӧ, ∠BOC = ∠BOD – ∠COD = 2∠BAD – 2∠CAD = 2∠BAC.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Тӧрӧдчӧма пельӧс мыджсьӧ диаметр вылӧ сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ веськыд.<br />
<br />
Кытш сайын чут пыр инман веськыд гижтӧм.<br />
<br />
Анализ. Мед O – кытшвизьлӧн шӧрчут, A – кытш сайын куйлысь чут, AB – инман веськыд (B – инман чут). Сэки OBA пельӧс веськыд. Та вӧсна сійӧ тӧрӧдчӧма OA диаметра кытшвизьӧ. Сідзкӧ, B – сетӧм кытшвизь OA диаметра кытшвизькӧд вомӧнасян чут.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Йитам O да A чутъяс вундӧгӧн, сэсся пуктам сылысь шӧрчутсӧ. Сы бӧрын гижтам OA диаметра кытшвизьсӧ. Сійӧ вомӧнасяс сетӧм кытшвизькӧд кык чутын: B да B’-ын. OB да OB’ лоӧ инман веськыд.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш пытшкын. Сэки сійӧ ыджыдджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A — пельӧсыслӧн йыв. Мед кытшвизьыс вомӧнасьӧ пельӧсыслӧн доръяскӧд B да C чутъясын. Нюжӧдам AB вундӧгсӧ да артмӧдам веськыд визь. Сійӧ вомӧнасьӧ кытшвизькӧд B да D чутъясын.<br />
Миян артмӧ: ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB < 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ыджыдджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
<br />
Теорема. Мед пельӧслӧн йыв куйлӧ кытш ортсыын, кыкнан дорыс вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд. Сэки сійӧ ичӧтджык сійӧс мыджысь мегыр джынйысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Пельӧсыслӧн дор либӧ вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд торъялана кык чутын, либӧ инмӧ сыӧ. Эм кӧ кык вомӧнасян чут, мегыр пом пыдди позьӧ босьтны йывсянь ылынджык куйлысь чутсӧ (сэки мыджысь мегыр ыдждаыс лоас медічӧтӧн). Миян артмӧ кык случай.<br />
1) Пельӧсыслӧн ӧти дор вомӧнасьӧ кытшвизьыскӧд кык чутын. Сэки ∠BDC = 180° – ∠DBC – ∠DCB > 180° – ∠DBC – ∠DCB = ∠BAC. Сідзкӧ, ∠BAC ичӧтджык ∠BDC-ысь, коді лоӧ сійӧс мыджысь мегыр ыджда джын; тайӧ мегырыс мыджӧ и ∠BAC пельӧссӧ.<br />
2) Пельӧсыслӧн кыкнан дор инмӧ кытшвизьӧ. Мед ∠BAC = α. Сэки ∠BOC = 360° – α – 90° – 90° = 180° – α. Сідзкӧ, мыдждыс мегырыс лоӧ 360° – (180° – α) = 180° + α. Кольӧ казявны: α < 180°, та вӧсна α < (180° + α)/2.<br />
<br />
Теорема. Нёльпельӧсалӧн кӧ эм гӧгӧртана кытшвизь, сылӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь. Сэки ∠ABC = ‿ADC/2, ∠ADC = ‿ABC/2; сідзкӧ, ∠ABC + ∠ADC = (‿ADC + ‿ABC)/2 = 360°/2 = 180°.<br />
<br />
Теорема (мӧдара). Нёльпельӧсалӧн кӧ воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°, сылӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн воча пельӧсъяс суммаыс лоӧ 180°. Гижтам ABC‐лысь гӧгӧртана кытшвизьсӧ. D чут кӧ куйлӧ кытш пытшкас, ∠ADC > ‿ABC/2 = 180° – ‿ADC/2 = 180° – ∠ABC; та вӧсна ∠ADC + ∠ABC > 180°. D чут кӧ куйлӧ кытш ортсыас, сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: ∠ADC + ∠ABC < 180°. Сідзкӧ, D чут куйлӧ кытшвизь вылын.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ веськыдсэрӧг.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча пельӧсъясыс ӧтыдждаӧсь. Сідзкӧ, налӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор тайӧ пельӧсъясыс веськыдӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн эм гӧгӧртана кытшвизь сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ ӧткодь берда.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Трапециялӧн боквыв дор бердса пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда. Сідзкӧ, воча пельӧсъяслӧн суммаыс 180° ыджда сэк да сӧмын сэк, кор подувбердса пельӧсъяс ӧтыдждаӧсь (а сідзкӧ, трапецияыс ӧткодь берда).<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Сэки сылӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь. Колӧ петкӧдлыны: AB + CD = BC + DA. Мед K, L, M, N — кытшвизьӧ инман чутъяс. Сэки AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN. Сідзкӧ, AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + BL + CM + DN = BC + DA.<br />
<br />
Теорема. Мед нёльпельӧсалӧн воча доръяс суммаясыс ӧткодьӧсь. Сэки сылӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD нёльпельӧсалӧн AB + CD = BC + DA. Гижтам ∠A да ∠B-лысь биссектрисаяссӧ; налӧн вомӧнасян чутыс лоас шӧрчутӧн кытшвизьлы, коді инмӧ AB, DA да BC доръясӧ. Колӧ петкӧдлыны: CD дор инмӧ тайӧ кытшвизяс.<br />
Гижтам C чут пыр кытшвизьыскӧд мӧд инман веськыд визьсӧ. Мед сійӧ вомӧнасьӧ AD веськыд визькӧд D' чутын. Сідзкӧ, ABCD' нёльпельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧма кытшвизь; сідзкӧ, AB + CD' = BC + AD'. Та понда CD' + AD = CD + AD'. Мед D' чут куйлӧ A да D костын. Сэки AD = AD' + D'D. Та вӧсна CD = CD' + DD'. Но куимпельӧса ӧткодьтӧмлун серти, CD < CD' + DD'. Артмӧ кыв вожалӧм. D чут кӧ куйлӧ A да D' костын, сэтшӧм жӧ ногӧн петкӧдам: CD' = CD + DD'. Бара кыв вожалӧм артмас. Сідзкӧ, D' = D.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сійӧ лоӧ ромб.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Параллелограммлӧн воча доръясыс ӧткодьӧсь. Сідзкӧ, воча доръяс суммаясыс кӧ ӧткодьӧсь, параллелограммлӧн став дорыс ӧтыджда. Сідзкӧ, тайӧ ромб.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Трапециялӧн кӧ эм тӧрӧдчӧма кытшвизь, сылӧн подувъяс суммаыс ӧтыджда боквыв доръяс суммаыскӧд.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Параллелограммлӧн эмӧсь гӧгӧртана да тӧрӧдчӧма кытшвизьяс сэк да сӧмын сэк, кор сійӧ лоӧ квадрат.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьлӧн хордаяс AB да CD вомӧнасьӧны N чутын. Сэки AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Эскӧдӧм. ∠ADC да ∠ABC мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегыр вылӧ да, найӧ ӧтыдждаӧсь. Сідзи жӧ артмӧ: ∠DAB = ∠DCB. Та вӧсна ADN да CBN куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь да AN : CN = DN : BN, кытысь артмӧ AN∙NB = CN∙ND.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки на костса пельӧс лоӧ инман вундӧг да вундысьлӧн ортсыса юкӧн костса мегырлӧн ыджда джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысьлӧн ортсыса юкӧн, O — кытшвизьлӧн шӧрчут. Мед ∠CBA = α. Сэки ∠OBC = ∠OCB = 90° – α, ∠BOC = 180° – (90° – α) – (90° – α) = 2α.<br />
<br />
Теорема. Мед кытш ортсыса ӧти чутысь петӧны инман веськыд визь да вундысь. Сэки инман вундӧг кузьтаыслӧн квадрат лоӧ вундысьлӧн да сылӧн ортсыса юкӧнлӧн кузьтаяс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AB — инман веськыд визь, B — инман чут, AC — вундысь, AD — сылӧн ортсыса юкӧн. Миянлы колӧ артмӧдны: AB2 = AD∙AC, либӧ AB : AD = AC : AB.<br />
Петкӧдлам: BAC да DAB куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Налӧн эм ӧтувъя A пельӧс. ∠ACB = ∠DCB = ‿BD/2 = ∠DBA. Сідзкӧ, куимпельӧсаясыс ӧтсямаӧсь медводдза тӧдмӧс серти.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс шусьӧны ӧткодь шӧраясӧн, налӧн кӧ ӧти сійӧ жӧ шӧрчут.<br />
<br />
Урчитӧм. Кытшвизьяс инмӧны, налӧн кӧ эм дзик ӧти ӧтувъя чут. Ӧти кытшвизь кӧ куйлӧ мӧд кытш пытшкын, найӧ шусьӧны пытшкӧссянь инмысь кытшвизьясӧн; мӧдарӧ кӧ, найӧ шусьӧны ортсысянь инмысь кытшвизьясӧн.<br />
<br />
Теорема. Кык кытшвизьлӧн оз вермы лоны куим ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P, Q — кытшвизьясыслӧн шӧрчутъяс, A, B да C — налӧн ӧтувъя чутъяс. Сідзкӧ, PA = PB, QA = QB; та вӧсна PAQ да PBQ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь коймӧд тӧдмӧс серти. Таысь артмӧ: ∠APQ = ∠BPQ. Сідзкӧ, PQ лоӧ AB‐лы перпендикуляр. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧ: PQ лоӧ AC‐лы перпендикуляр. Та вӧсна A, B, C куйлӧны ӧти веськыд визь вылын. Мед, шуам, C куйлӧ A да B костын. Гижтам P чутысь APC да BPC куимпельӧсаяслысь медианаяссӧ. Найӧ лоӧны сідзжӧ судтаясӧн. Сідзкӧ, P чутысь позьӧ гижтыны кык торъялана перпендикуляр AB веськыд визьлы. Артмӧ кыв вожалӧм.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r > d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ичӧтджык кытшыс куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≤ OP + AP; та вӧсна OA ≤ d + r < R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ ыджыдджык кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ ичӧтджык кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ ичӧтджык кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA < OP + AP; та вӧсна OA < d + r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ ыджыдджык кытш пытшкын; ыджыдджык кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP + AP = d + r = R, либӧ OA = |AP − OP| = |r − d| < R.<br />
<br />
Теорема. Мед a, b, c — плюса лыдъяс, a ≥ b, a ≥ c, a < b + c. Сэки эм a, b да c доръяса куимпельӧса.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед h лоӧ a кузьта дорӧ гижтӧм судта; мед сійӧ юклӧ подувсӧ x да a − x кузьта вундӧгъяс вылӧ. Сэки h2 = b2 − x2 = c2 − (a − x)2. Татысь артмӧ: x = (a2 + b2 − c2)/2a. Казялам: x > 0. Куимпельӧсасӧ позьӧ артмӧдны, b2 − x2 лыд кӧ плюса. Сідзкӧ, колӧ подулавны b > x ӧткодьтӧмлунсӧ; сійӧ ӧтвына 2ab > a2 + b2 − c2 ӧткодьтӧмлункӧд, либӧ (a − b)2 < c2; колис казьтывны: a > b, a < b + c, та вӧсна (a − b)2 < c2.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, r ≤ R, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед P да Q чутъяс — r да R радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс.<br />
Миянлы сетӧма: r ≤ R, R < r + d, d < R + r. Сідзкӧ, эм r, R да d доръяса куимпельӧса (AB = d, AC = r, BC = R). Куимпельӧсаяс йылысь аксиома серти, эмӧсь ABC‐кӧд ӧткодь кык куимпельӧса: PQK да PQL, PQ = AB = d, PK = PL = AC = r, QK = QL = BC = R. Сідзкӧ, K да L — кытшвизьясыслӧн вомӧнасян чутъяс.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r < d. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны; ӧти кытшыс куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A чут куйлӧ r радиуса кытшвизь вылас. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA ≥ OP − AP; та вӧсна OA ≥ d − r > R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылас сійӧ оз куйлы.<br />
<br />
Теорема. Мед кытшвизьялӧн радиусъясыс R да r ыджда, шӧрчутъяс костын ылнаыс d ыджда, R + r = d. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь. Налӧн ӧтувъя чут да шӧрчутъясыс куйлӧны ӧти веськыд визь вылын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед O лоӧ R радиуса кытшлӧн шӧрчут, P лоӧ r радиуса кытшлӧн шӧрчут, A лоӧ r радиуса кытшвизьлӧн кутшӧмкӧ чут. Мед A чут оз куйлы OP веськыд визь вылын. Куимпельӧса ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: OA > OP − AP; та вӧсна OA > d − r = R. Сідзкӧ, A чут куйлӧ R радиуса кытш ортсыас; R радиуса кытшвизь вылын сійӧ оз куйлы. Мед A чут куйлӧ OP веськыд визь вылын. Сэки OA = OP − AP = d − r = R, либӧ OA = AP + OP = r + d > R.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс костын ылнаыс лоӧ d.<br />
1) Мед d < R − r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ичӧтджык кытш куйлӧ ыджыдджык пытшкас.<br />
2) Мед d = R − r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны пытшкӧссянь.<br />
3) Мед R − r < d < R + r. Сэки кытшвизьясыслӧн эм кык ӧтувъя чут.<br />
4) Мед d = R + r. Сэки кытшвизьясыс инмӧны ортсысянь.<br />
5) Мед d > R + r. Сэки кытшвизьясыс оз вомӧнасьны, ӧти кытш куйлӧ мӧд ортсыас.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы ортсыса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, R ≥ r, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R − r. Колӧ артмӧдны налы ортсыса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R − r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
Кык кытшвизьлы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ гижтӧм. Сетӧма R да r радиуса кытшвизьяс, d — шӧрчутъяс костас ылна, d ≥ R + r. Колӧ артмӧдны налы пытшкӧсса инман веськыд визьсӧ.<br />
<br />
Артмӧдӧм. Мед O да P — R да r радиуса кытшвизьяслӧн шӧрчутъяс. Гижтам P чутсянь O шӧрчута R + r радиуса кытшвизьлы инман веськыдсӧ. Мед Q — инман чут, OQ визьньӧв вомӧнасьӧ R радиуса кытшвизькӧд A чутын. Сэки PQ да AQ — перпендикуляръяс, AQ = r. Артмӧдам PQAB веськыдсэрӧг. Миян артмӧ: BP = r, AB да BP — перпендикуляръяс, AB да AO — перпендикуляръяс. Сідзкӧ, AB — сетӧм кытшвизьясыслы инман веськыд.<br />
<br />
==Бур унапельӧсаяс==<br />
<br />
Урчитӧм. Унапельӧса шусьӧ бурӧн, сылӧн кӧ став дорыс ӧтыджда да став пельӧсыс ӧтыджда.<br />
<br />
Видлӧг. Бур куимпельӧса — ӧткодь доръяса куимпельӧса; бур нёльпельӧса — квадрат.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм гӧгӧртана кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса. Гижтам A1 да A2 пельӧсъяслысь биссектрисаяс. Найӧ вомӧнасьӧны O чутын. Петкӧдлам: O лоӧ гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчутӧн.<br />
Унапельӧсаыс бур да, ∠AnA1A2 = ∠A1A2A3. Сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA2A1. Та вӧсна OA1 = OA2.<br />
A1A2 = A2A3, та вӧсна OA1A2 да OA2A3 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь медводдза тӧдмӧс серти; сідзкӧ, ∠OA1A2 = ∠OA3A2 да OA3 лоӧ A3 пельӧслӧн биссектрисаӧн, OA2 = OA3. Сэтшӧм жӧ ногӧн артмӧдам: OA3 = OA4 = OA5 = ... = Oan.<br />
<br />
Теорема. Бур унапельӧсалӧн эм тӧрӧдчӧм кытшвизь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед A1A2A3...An — бур унапельӧса, O — гӧгӧртана кытшвизьыслӧн шӧрчут. Петкӧдлам: сійӧ лоӧ тӧрӧдчӧма кытшвизьлӧн шӧрчутӧн.<br />
Ми тӧдам: OA1 = OA2 = OA3 = ... = OAn, A1A2 = A2A3 = ... = An−1An. Сідзкӧ, A1OA2, A2OA3, ..., An−1OAn, AnOA1 куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь. Та вӧсна O чутсянь гижтӧм судтаясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
==Эрд==<br />
<br />
Урчитӧм. Мыгӧр шусьӧ прӧстӧйӧн, сійӧс кӧ позьӧ юклыны некымын куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Аксиома. Быд прӧстӧй мыгӧрлӧн эм эрд – минустӧм лыд. Эрдлӧн торъяланлунъяс со кутшӧмӧсь:<br />
1) прӧстӧй мыгӧр кӧ юклӧма некымын прӧстӧй мыгӧр вылӧ, сылӧн эрдыс ӧтыджда юкӧнъясыслӧн эрдъяс суммаыскӧд;<br />
<br />
S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5<br />
<br />
2) ӧткодь куимпельӧсаяслӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь;<br />
<br />
3) квадратлӧн дор кузьта кӧ лоӧ 1, сылӧн эрдыс лоӧ 1.<br />
<br />
Кык веськыдсэрӧг ӧткодьӧсь, налӧн кӧ лӧсялана доръясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Висьталӧм. Ӧткодь кык веськыдсэрӧглӧн эрдъясыс ӧтыдждаӧсь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ веськыдсэрӧгъяс ӧткодьӧсь: AB = A’B’, BC = B’C’. Нуӧдам BD да B’D’ диагональяссӧ. Миян артмӧ: ABD, CBD, A’B’D’, C’B’D’ куимпельӧсаяс ӧткодьӧсь кык катет серти. Сідзкӧ, налӧн ӧткодь эрдъясыс да <br />
SABCD = SABD + SCBD = SA’B’D’ + SC’B’D’ = SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC дорыс n пӧв ыджыдджык B’C’ дорысь (n – эма лыд: 1, 2, 3, 4....). Сэки ABCD-лӧн эрдыс n пӧд ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Юклам BC дорсӧ n ӧтыджда вундӧг вылӧ да нуӧдам юкан чутъяс пыр веськыд визьяс AB-кӧд параллель ногӧн. Сідз ABCD лоас юклӧма A’B’C’D’-кӧд ӧткодь n веськыдсэрӧг вылӧ. Та вӧсна SABCD = n∙SA’B’C’D’.<br />
<br />
Висьталӧм. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’, BC : B’C’ = m : n (m да n – эма лыдъяс). Сэки ABCD-лӧн эрдыс m/n пӧв ыджыдджык A’B’C’D’-лӧн эрдысь.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед KLMN – веськыдсэрӧг, KL = AB, LM = n∙BC. Миян артмӧ: <br />
SABCD : SKLMN = 1 : n, SA’B’C’D’ : SKLMN = 1 : m. Сідзкӧ,<br />
SABCD : SA’B’C’D’ = m : n.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ABCD да A’B’C’D’ – веськыдсэрӧгъяс, AB = A’B’. Сэки ABCD да A’B’C’D’-лӧн эрдъясыс лӧсялӧны BC : B’C’ моз.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед веськыдсэрӧглӧн доръясыс a да b кузьтаяс. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ ab.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн эрдыс лоӧ катетъясыс кузьтаяслӧн лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимсэрӧг, AB = a да BC = c – сылӧн катетъяс. Артмӧдам ABCD веськыдсэрӧгсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆ADC,<br />
ac = SABCD = 2S∆ABC.<br />
Та вӧсна S∆ABC = ac/2.<br />
<br />
Теорема. Параллелограммлӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм параллелограмм, ∠A – сылӧн тшӧтшыд пельӧс. Нуӧдам BK да DL судтаяссӧ. Миян артмӧ KBLD веськыдсэрӧг; сійӧ юклӧма ABCD параллелограмм да KBA, LDC веськыдпельӧса куимсэрӧгъяс вылӧ. Мед AD = a, AK = b, BK = h. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SKBLD – SKBA – SLDC = (a + b)h – bh/2 – bh/2 = ah.<br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрдыс лоӧ ӧти дорыс да сы вылӧ нуӧдӧм судтаыс лыдмӧдас джын.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – индӧм куимпельӧса, BH – сылӧн судта, AC = a, BH = h. Артмӧдам ABLC параллелограммсӧ. Сідзкӧ, ∆ABC = ∆LCB,<br />
SABLC = 2S∆ABC. Татысь артмӧ: S∆ABC = SABLC/2 = ah/2.<br />
<br />
Теорема. Трапециялӧн эрдыс лоӧ сылӧн подувъясыс содтасджынлӧн да судтаыслӧн лыдмӧдас.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABCD – индӧм трапеция, AD да BC – сылӧн подувъяс, AD = a, BC = b. Мед судтаыс лоӧ h ыджда. Трапецияыс юксьӧ BD диагональӧн ABD да CBD куимпельӧсаяс вылӧ. Сідзкӧ,<br />
SABCD = SABD + SCBD = ah/2 + bh/2 = (a + b)h/2.<br />
<br />
Пифагор теорема. Веськыдпельӧса куимсэрӧглӧн гипотенуза квадрат ӧтыджда кык катет квадрат содтаскӧд.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед куимсэрӧгыслӧн катетъясыс a да b кузьтаяс, гипотенузаыс c кузьта. Юклам a + b дора квадратсӧ кык ногӧн, кыдзи петкӧдлӧма серпас вылын.<br />
Сылӧн эрдыс лоӧ: c2 + 4∙ab/2 = a2 + b2 + 2ab.<br />
Сідзкӧ, c2 = a2 + b2.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед ӧткодь доръяса куимпельӧсалӧн дорыс a кузьта. Сэки сылӧн эрдыс лоӧ S = a2√3/4.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Нуӧдам куимпельӧсаыслысь судтасӧ. Сійӧ лоӧ медианаӧн. Та вӧсна Пифагор теоремаысь петӧ: судта кузьтаыс лоӧ h = a√3/2. Сідзкӧ, эрдыс лоӧ ah/2 = a2√3/4.<br />
<br />
Урчитӧм. Кык мыгӧр ӧтыдждаӧсь, налӧн эрдъясыс кӧ ӧткодьӧсь.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Медиана юклӧ куимпельӧсаӧс ӧтыджда кык куимпельӧса вылӧ.<br />
<br />
Кывкӧртӧд. Мед CC’ да AB веськыдъяс ӧтнырвизяӧсь. Сэки ABC да ABC’ куимпельӧсаяс ӧтыдждаӧсь. <br />
<br />
Теорема. Куимпельӧсалӧн эрд лоӧ сылӧн периметр джын тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус пӧв лыдмӧдӧм.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед ABC – куимпельӧса, P – сылӧн периметр, O – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн шӧрчут, r – тӧрӧдчӧм кытшвизьлӧн радиус. Сідзкӧ, SABC = SAOB + SBOC + SAOC = AB∙r/2 + BC∙r/2 + AC∙r/2 = r∙P/2.<br />
<br />
Теорема. Мед куимпельӧсалӧн доръясыс a, b, c кузьтаяс, R – гӧгӧртана кытшвизь радиус, S – куимпельӧса эрдыс. Сэки S = abc/4R.<br />
<br />
Эскӧдӧм. Мед AK = h лоӧ BC = a дорӧ гижтӧм судта. Сэки S = ah/2. Сідзкӧ, колӧ петкӧдлыны: h = bc/2R.<br />
Мед O – гӧгӧртана кытшвизьлӧн шӧрчут, OH лоӧ AC дорӧ гижтӧм судта. Сэки ∠AOC = 2∠ABC, та вӧсна ∠HOC = ∠ABC; сідзкӧ, HOC да KBA куимпельӧсаяс ӧтсямаӧсь. Миян артмӧ: HC : OC = AK : AB, либӧ h = AK = HC∙AB/OC = bc/2R.<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==<br />
<br />
[[Category:Математика школаын]]</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%AE%D0%B3%D1%8B%D0%B4_%D1%82%D1%83%D0%B9_(1918-25,_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D0%B3%D0%B8%D0%B6%D3%A7%D0%B4%D1%8A%D1%8F%D1%81%D0%BB%D1%8B_%D1%8E%D1%80%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8B%D1%81%D1%8C)&diff=92088
Югыд туй (1918-25, коми гижӧдъяслы юриндалысь)
2026-09-09T15:18:27Z
<p>Наста: </p>
<hr />
<div>Тані шӧр коми газетса коми гижӧдъяслы юриндалысь. Газетлӧн нимыс:<br />
*1918–1920: «Зырянская жизнь»<br />
*1919ʼ вося апрель-юньын: «В Зырянском краю»<br />
*1921ʼ во воддза джынйын: «Удж»<br />
*1921ʼ во шӧрсянь «Югыд туй»<br />
<br />
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="text-align:center; border:1px solid #aaa; border-collapse:collapse"<br />
|1918-06-22<br />
|№4<br />
| Лб. 4: "Водзе" кб (Н.А. Шаков); [http://komikyv.org/kpv/node/30255 Ивӧ Ёгор статьяын]<br />
|-<br />
|1918-08-11<br />
|№ 16<br />
|Лб. 4: "Помоздинъ" ст (роча-комиа); [http://komikyv.org/kpv/node/9429 коми частушкаяс]; оригинал блокнотӧ гижӧма<br />
|-<br />
|1918-08-18<br />
|№ 18<br />
|Лб. 3: "Гӧрд звӧн" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30582 *]<br />
|-<br />
|1918-08-27<br />
|№ 20<br />
|Лб. 3: "Ыджид бӧрдэм" (Нёбдінса Виттор); мӧд редакция эм небӧгын; оригинал блокнотӧ гижӧма [http://komikyv.org/kpv/node/35507 *]<br />
|-<br />
|1918-09-12<br />
|№ 25<br />
|Лб. 3: "Вокъяс! Мед полысь оз повзи..." (Зырянин) [http://komikyv.org/kpv/node/33553 *]<br />
|-<br />
|1918-09-14<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Вундэм" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/33173 *]<br />
|-<br />
|1918-11-07<br />
|№ 35<br />
|Лб. 3"Ыджыд вӧля" (Бур Морт) [http://komikyv.org/kpv/node/33914 *]<br />
|-<br />
|1918-11-29<br />
|№ 39<br />
|Лб. 2: "Озырлы, сарйаслы пом!" [http://komikyv.org/kpv/node/33543 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1918-12-08<br />
|№ 41<br />
|Лб. 2: "Чолом" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30584 *]<br />
|-<br />
|1918-12-13<br />
|№ 42<br />
|Лб. 1: "Регыд лоӧ..." ст [http://komikyv.org/kpv/node/29668 *]<br />
|-<br />
|1918-12-13<br />
|№ 42<br />
|Лб. 2-3: "Кык револьуціа" (А.М.) [http://komikyv.org/kpv/node/33536 *]<br />
|-<br />
|1918-12-18<br />
|№ 43<br />
|Лб. 1: "Посньі йӧз" ст [http://komikyv.org/kpv/node/29669 *]<br />
|-<br />
|1918-12-18<br />
|№ 43<br />
|Лб. 3: "Тӧвса рыт" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30585 *]<br />
|-<br />
|1918-12-22<br />
|№ 44<br />
|Лб. 1: "Паськыд Комі муыд..." ст [http://komikyv.org/kpv/node/31725 *]<br />
|-<br />
|1918-12-22<br />
|№ 44<br />
|Лб. 3: "Гіжӧд тӧварышйаслы коми йӧзлы" (Ипполит Саввин) [http://komikyv.org/kpv/node/34762 *]<br />
|-<br />
|1918-12-22<br />
|№ 44<br />
|Лб. 4: Интернационал [http://komikyv.org/kpv/node/34763 *]<br />
|-<br />
|1918-12-26<br />
|№ 45<br />
|Лб. 3: "Шогсись ныв" (Юсь) [http://komikyv.org/kpv/node/34764 *]<br />
|-<br />
|1919-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 1: "Выль во" ст [http://komikyv.org/kpv/node/33791 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 4: "Коды?" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30586 *]<br />
|-<br />
|1919-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 6: Ичӧт текст комиӧн<br />
|-<br />
|1919-01-05<br />
|№ 2<br />
|Лб. 2: "Коньӧрасӧй ті, том йӧзӧй" кб (Коми велӧдчысь) [http://komikyv.org/kpv/node/33792 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-16<br />
|№ 4<br />
|Лб. 2: "Кык во нин кольны кутіс" (Илля Вась) [https://komikyv.org/kpv/node/33793 *]; фото<br />
|-<br />
|1919-01-22<br />
|№ 5<br />
|Лб. 2: "Коми йӧзлы" (Н. Попов) [http://komikyv.org/kpv/node/33794 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. 2-3: "Кывзъі кодъі пэля" (Лазар) [http://komikyv.org/kpv/node/33795 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. 3-4: "Ежва вожса тӧварышйаслы" (Носьімса) [http://komikyv.org/kpv/node/33796 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. 4: "Гажа-ін муса-ін" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30583 *]<br />
|-<br />
|1919-01-29<br />
|№ 6<br />
| Лб. 5: "Йанварын 24, 25 лунйа" (В.Л.)<br />
|-<br />
|1919-02-23<br />
|№ 9<br />
|Лб. 3: коми сьыланкыв [http://komikyv.org/kpv/node/33797 *]; оригинал эм тетрадьын<br />
|-<br />
|1919-07-31<br />
|№ 38<br />
|Лб. 2: "Мый керны?" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30587 *]<br />
|-<br />
|1919-08-27<br />
|№ 48<br />
|Лб. 2: "Кібраса Кульіковлы" (ичӧт юӧр)<br />
|-<br />
|1919-09-07<br />
|№ 50<br />
|Лб. 4: "Мӧдысь" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30588 *]<br />
|-<br />
|1919-09-07<br />
|№ 50<br />
|Лб. 6: "Кыдйа роч" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30485 *]<br />
|-<br />
|1919-09-18<br />
|№ 54<br />
|Лб. 2: "Сӧветскӧй" кб (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30589 *]<br />
|-<br />
|1919-09-27<br />
|№ 58<br />
|Лб. 2: "Нальк" Нёбдінса Виттор [http://komikyv.org/kpv/node/33790 *]<br />
|-<br />
|1919-11-07<br />
|№ 74<br />
|Лб. 3: "Чераньйяс, гутйас" кб (Варыш) [http://komikyv.org/kpv/node/32476 *]<br />
|-<br />
|1919-12-05<br />
|№ 77<br />
|Лб. 2: "Губерньатӧм Губернатор" (Нёбдінса Виттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30595 *]<br />
|-<br />
|1920-01-01<br />
|№ 1<br />
|Лб. 3-4: "Гудрасьӧм" (Нёбдінса Виттор; Міча Матрӧн гусянимӧн) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/35494 *]<br />
|-<br />
|1920-03-03<br />
|№ 17<br />
|Лб. 1: "Медбӧрйа звӧн" (Ньобдінса Віттор) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/35495 *]<br />
|-<br />
|1920-03-17<br />
|№ 21<br />
|Лб. 2: "Локтӧ коммуна" (Варыш) [http://komikyv.org/kpv/node/32475 *]<br />
|-<br />
|1920-03-26<br />
|№ 23<br />
|Лб. 2: "Дона гу вылын" (Ньобдінса Віттор) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/30606 *]<br />
|-<br />
|1920-04-21<br />
|№ 31<br />
|Лб. 1: "Кык туй" (Варыш) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/32474 *]<br />
|-<br />
|1920-04-24<br />
|№ 32<br />
|Лб. 2: "Кор долыд?" (Ньобдінса Віттор) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/30596 *]<br />
|-<br />
|1920-06-07<br />
|№ 43<br />
|Лб. 2: "Чушканлы" (ичӧт юӧр)<br />
|-<br />
|1920-08-07<br />
|№ 58<br />
|Лб. 2: "Интернационал" (В. Савін, А. Маегов, В. Чістальов) НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/29453 *]<br />
|-<br />
|1920-08-25<br />
|№ 61<br />
|Лб. 2: "Саԃмӧԁчы пемыԁ комі ныв-баба..." (лозунг) НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1920-08-27<br />
|№ 62<br />
|Лб. 1: Мый-понда ӧнъи вӧчьӧны переписьяс (статья) НЭБ [http://www.komikyv.org/kpv/node/36872 *] фото<br />
|-<br />
|1920-10-09<br />
|№ 67<br />
|Лб. 2: "Југыԁлаԋ!" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30599 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1920-10-16<br />
|№ 69<br />
|Лб. 2: "Ем-кӧ шог — ем і мог" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35496 *] фото<br />
|-<br />
|1920-10-27 <br />
|№ 71<br />
|Лб. 1: "Прансузкӧј кіры-нары" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35497 *] фото<br />
|-<br />
|1920-10-30<br />
|№ 72<br />
|Лб. 1: "Том војтыр, саԃмӧ! Пӧрыԍјас, лаԋтӧ!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30600 *] фото<br />
|-<br />
|1920-11-07<br />
|№ 73<br />
|Лб. 1: "Уҗалыԍ јӧз!.." (лозунг) НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1920-11-07<br />
|№ 73<br />
|Лб. 2: "1917 — окԏаб — 1920" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35498 *] фото<br />
|-<br />
|1920-11-13<br />
|№ 74<br />
|Лб. 2: "Гажа саԁ" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30601 *] фото<br />
|-<br />
|1920-11-18<br />
|№ 75<br />
|Лб. 2: "Ԍӧлӧм ԍылӧм" кб (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30602 *] фото<br />
|-<br />
|1920-12-11<br />
|№ 80<br />
|Лб. 1: "Комі ӧтлаԍӧм јылыԍ" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/35503 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; Лб. 2: Меԁа (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30681 *]; Лб. 3: Јереԏԋічество (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/35505 *] НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1920-12-18<br />
|№ 81<br />
|Лб. 2: Меԁа (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' НЭБ [http://komikyv.org/kpv/node/30681 *] фото<br />
|-<br />
|1920-12-23<br />
|№ 82<br />
|Лб. 1: юӧр: "Ставным тӧԁам..." НЭБ '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35506 *] фото<br />
|-<br />
|1921-01-01<br />
|№ 1 Удж<br />
|Лб. 1: "Выԉ во" ст (Ԋобдінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36460 *] фото<br />
|-<br />
|1921-01-12<br />
|№ 2<br />
|Лб. 1: "Комі војтыр!.." (лозунг); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-01-21<br />
|№ 4<br />
|Лб. 1: "Быԁтор мі кужны кутам..." (юӧр); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-01-21<br />
|№ 4<br />
|Лб. 1-2: "Комі Інԍԏітут" кб + ст (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36461 *] фото<br />
|-<br />
|1921-01-26<br />
|№ 5<br />
|Лб. 1 "Быԁӧнлы колӧ..." лозунг; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-01-29<br />
|№ 6<br />
|Лб. ? Пошта куԁ; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; ӧти шыпас клеитӧма<br />
|-<br />
|1921-02-02<br />
|№ 7<br />
|Лб. 1: "Віԁчыԍӧј! Пеԉкӧԁчӧј! Локтӧ бара біја-віԍӧм!" (Агас); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/36462 *] фото<br />
|-<br />
|1921-02-02<br />
|№ 7 <br />
|Лб. 2: "Мыј те талун..." лозунг; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-02-02<br />
|№ 7 <br />
|Лб. 2: "Вічко служба ԁа проповӧԃ" кб юкӧн (Јогор Коԉегов); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-02-09<br />
|№ 8<br />
|Лб. 2: "Пармаын вотчӧны посԋыԃік чеԉаԃ" (В. Пеԁӧр); тетрадьын [http://komikyv.org/kpv/node/27032 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-02-09<br />
|№ 8<br />
|Лб. 3: "Баба вӧтаԍӧм" (А. Пӧрԏіс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36463 *] фото<br />
|-<br />
|1921-02-12<br />
|№ 9<br />
|Лб. 2: "Дяденька Миша-јылыԍ мојԁан-кыв" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36464 *] фото<br />
|-<br />
|1921-02-26<br />
|№ 11<br />
|Лб. 1: "Кӧԇтӧм му вылын..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; фото<br />
|-<br />
|1921-03-02<br />
|№ 12<br />
|Лб. 1: "Кыԇі коміӧн лыԃԃыны?" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''', фото; [http://komikyv.org/kpv/node/36465 *]; "Важӧн і ӧні" (Јогор Коԉегов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36671 *]<br />
|-<br />
|1921-03-06<br />
|№ 13<br />
|Лб. 2: "Комі гіжыԍјаслы" (Віԇ); $сэсся водзӧ гижӧм, "Ԍіԅ" кырымпасӧн '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36672 *], фото<br />
|-<br />
|1921-03-06<br />
|№ 13<br />
|Лб. 4: "Тӧдан-он, Комі ныв-баба?" (Комі-ныв) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36673 *]; "Ез ков вӧчны ныв-баба тӧԁтӧг" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36674 *]; "Кыпӧԁчӧны" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36675 *]<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 1: "Комі Респубԉіка јылыԍ" эм фото; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36681 *]<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 2: "Ог вермы" кб (Ј. Коԉегов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36694 *]; "Ен тӧжԁыԍ! Ен шогԍы!" кб (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30604 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' + нӧшта коми текст? фото<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 3: "Коԉӧма-тај" кб (Віԅ) [http://komikyv.org/kpv/node/35312 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''', фото<br />
|-<br />
|1921-03-09<br />
|№ 14<br />
|Лб. 4: "Уҗалӧј таԇі – быԁтор лоӧ!" (Браԏінков) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36692 *]<br />
|-<br />
|1921-03-18<br />
|№ 16<br />
|Лб. 1: "Паріжса Коммуна" (Віԅ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36704 *]<br />
|-<br />
|1921-03-18<br />
|№ 16<br />
|Лб. 3: "Ыҗыԁ шог" кб (Ԍіԅ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-18<br />
|№ 16<br />
|Лб. 4: "Мојԁ-збыԉ" (Ыщкыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36705 *]<br />
|-<br />
|1921-03-23<br />
|№ 17<br />
|Лб. 1: "Ыҗыԁ тујвеж" ст (Агас) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36706 *]<br />
|-<br />
|1921-03-23<br />
|№ 17<br />
|Лб. 3: "Выԉ закон ԋаԋ јылыԍ" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36707 *]; "Сар" кб (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36709 *]<br />
|-<br />
|1921-03-26<br />
|№ 18<br />
|Лб. 2: "Кыланныԁ, креԍԏана!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36708 *]; "Јенлы" кб (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36710 *]<br />
|-<br />
|1921-03-26<br />
|№ 18<br />
|Лб. 4: "Колӧ чышкыштны" ст (С.М.) [http://komikyv.org/kpv/node/30256 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 1: "Креԍԏана! Кылӧԁӧј вӧрнытӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 1: "Кылӧԁӧј вӧрнытӧ!" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/32503 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 2: "Ытва-ԁырјы" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36711 *]<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 2-3: 2 статья комиӧн "По уезду" юкӧнысь: "Село Летка" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36712 *]; "Ныв-баба саԃмӧны" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36713 *]<br />
|-<br />
|1921-03-31<br />
|№ 19<br />
|Лб. 3: "Том нывјаслы" (Санԁрік Мікол) [http://komikyv.org/kpv/node/27281 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Зыпка ԁорын" (Габ Јак) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36714 *]; "Ва воԍԍас – уҗ вежԍас" (Ӧԋӧ Ӧԉӧксан) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36715 *]<br />
|-<br />
|1921-04-02<br />
|№ 20<br />
|Лб. 2: "Ныв-баба овмӧс лӧԍӧԁыԍ" ст (Јоԉ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36721 *]; "Саԃмӧԁчы комі ныв-баба!" ст (Выԉ морт) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36722 *]; "Саԁ јылыԍ" ст (Велӧԁыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36723 *]; "Мыјла воԍтӧны поԍевкомјас" (Пеԁӧр Јакӧ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36717 *]<br />
|-<br />
|1921-04-07<br />
|№ 21<br />
|Лб. 1: "Комі му боԍтԍас" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36726 *]<br />
|-<br />
|1921-04-07<br />
|№ 21<br />
|Лб. 2: "Шыбіт важсӧ!" (Віԅ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36724 *]<br />
|-<br />
|1921-04-07<br />
|№ 21<br />
|Лб. 3: "Комілы" (Коԁкӧ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36725 *]<br />
|-<br />
|1921-04-15<br />
|№ 22<br />
|Лб. 3: "Веԍкӧԁӧм" (В. Пеԁӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36466 *] фото<br />
|-<br />
|1921-04-20<br />
|№ 23<br />
|Лб. 2: "Комі школајасӧ" (Ваԍ Пеԁӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/36467 *] фото<br />
|-<br />
|1921-04-20<br />
|№ 23<br />
|Лб. 3: "Баба ԍорԋі" кб (из местной живой газеты) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36727 *]<br />
|-<br />
|1921-04-20<br />
|№ 23<br />
|Лб. ?: "Петіс комиӧн Конституция..." юӧр '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-05-01<br />
|№ 25<br />
|Лб. 2: "1-ј мај" ст (С.М.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36728 *]; "1-ј мај" кб (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36729 *]<br />
|-<br />
|1921-05-01<br />
|№ 25<br />
|Лб. 4: "Гажа тулыс" (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30605 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-05-08<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Ԋеважӧн-на велӧԁчӧм јӧз..." ст (Комі ізԁаԏеԉство) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36730 *]<br />
|-<br />
|1921-05-29<br />
|№ 29<br />
|Лб. 3: "Віԍталӧј" (Кӧсјыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36731 *]; "Важ олӧм вежԍо" кб (Санԁрік Мікол) [http://www.komikyv.org/kpv/node/27261 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-06-04<br />
|№ 30<br />
|Лб. 3-4: "Паракоԁ віԁчіԍӧм" ст (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/31482 *] фото<br />
|-<br />
|1921-06-12<br />
|№ 31<br />
|Лб. 1-2: "Кујім во міјан гаԅетлы" ст (Гіжыԍ); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35486 *] фото<br />
|-<br />
|1921-07-09<br />
|№ 36<br />
|Лб. 3-4: "Быԁ грезԁӧ, быԁ ԍіктӧ" (Ваԍ Пеԁӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36733 *]<br />
|-<br />
|1921-07-09<br />
|№ 36<br />
|Лб. 4: "Мічӧԁчӧм" (В.П.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36734 *]<br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 1: "Комі ез, југыԁ, паԍкыԁ туј..." лозунг; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 1: "Сувт, четчы, Комі војтыр, аслыԁ шуԁтӧ ԁор!" статья (Ԋобԁінса Віттор) '''РГБ-ысь (Химкиын)'''; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/32502 *]<br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 2: "Југыԁ туј" кб (Ԋобԁінса Віттор) [http://komikyv.org/kpv/node/30609 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1921-07-15<br />
|№ 1 Югыд туй<br />
|Лб. 4: "Комі рыт вылын" (С.М.) [http://komikyv.org/kpv/node/30257 *] '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; Библиография (С.М.; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''') [http://komikyv.org/kpv/node/35487 *] фото<br />
|-<br />
|1921-07-19<br />
|№ 2<br />
|Лб. 1-2: "Колӧ, колӧ бырӧԁны!" (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35484 *] ; '''РГБ-ысь (Химки карын)'''<br />
|-<br />
|1921-08-11<br />
|№ 10 <br />
|Лб. 1: Юӧръяс; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35488 *]; '''РГБ-ысь (Химки карын)'''<br />
|-<br />
|1921-08-13<br />
|№ 11-12<br />
|Лб. 1-2: "Нӧшта ӧтчыԁ шуам" (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35485 *] фото<br />
|-<br />
|1921-08-13<br />
|№ 11-12<br />
|Лб. 2: "Солнце всходит и заходит, а..." кб (Ԋобԁінса Віттор) роча-комиа; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36732 *]<br />
|-<br />
|1921-08-18<br />
|№ 13<br />
|Лб. 1: "Ԍі-пож" кб; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35489 *] фото<br />
|-<br />
|1921-08-20<br />
|№ 14-15<br />
|Лб. 3: "Важ ԍыланкыв выԉ ногӧн" (Ԋобԁінса Віттор); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35473 *] фото<br />
|-<br />
|1921-08-25<br />
|№ 16-17<br />
|Лб. 3: "Комі гӧлӧс ылі муԍаԋ" (Ԍібырса Комі М.В. Ԋікіԏін); '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; [http://komikyv.org/kpv/node/35466 *] фото<br />
|-<br />
|1921-09-08<br />
|№ 22-23<br />
|Лб. 3: "Ачыс тӧԁӧ" шмонь; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/35490 *]; фото<br />
|-<br />
|1921-09-23<br />
|№ 29-30<br />
|Лб. 3: "Му уҗалыԍјас..." юӧр; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; '''РГБ-ысь (Химкиын)''' [http://komikyv.org/kpv/node/35491 *] фото<br />
|-<br />
|1921-09-29<br />
|№ 32-33<br />
|Лб. 2: "Комі ныв-бабајаслы, коԁјас вӧліны Областнӧј конференціја вылын!" ст (Торлопов); [http://komikyv.org/kpv/node/35360 *]; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' фото<br />
|-<br />
|1921-10-01<br />
|№ 34<br />
|Лб. 2: "Ылын-ылын, Волга ԁорын" ԍыланкыв (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36735 *]<br />
|-<br />
|1921-10-16<br />
|№ 40-41<br />
|Лб. 2: Піјесаыԍ "Воԇӧс" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36736 *]<br />
|-<br />
|1921-11-07<br />
|№ 48<br />
|Лб. 1: "Вітӧԁ во вылӧ петігӧн" кб (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30610 *]<br />
|-<br />
|1922-01-17<br />
|№ 10<br />
|Лб. 2: "Бара-на сы јылыԍ" (Ас морт) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36823 *]; "Огоньки" (роча-комиа; Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-01-24<br />
|№ 14-15<br />
|Лб. 3: "Бубин зильгӧ, гудӧк дзизгӧ..." (статьяын коми кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36824 *]<br />
|-<br />
|1922-01-27<br />
|№ 18<br />
|Лб. 1‐2: "Ԁасӧн верԁӧны ӧԏікӧс" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36825 *]<br />
|-<br />
|1922-01-31<br />
|№ 21<br />
|Лб. 1: "Рочӧн-кӧ тӧԁтӧм — віԍталам коміӧн" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/32504 *]<br />
|-<br />
|1922-02-04<br />
|№ 25<br />
|Лб. 2: "Аркіреј" (Ԋобԁінса Віттор; баллаԁа јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30683 *]<br />
|-<br />
|1922-02-07<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Коԁі?.." (В. Јогор; кывбур јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36826 *]<br />
|-<br />
|1922-02-07<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Аркіреј" (Ԋобԁінса Віттор; баллаԁалӧн мӧԁ јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30683 *]<br />
|-<br />
|1922-02-10<br />
|№ 28<br />
|Лб. 2: "Коԁі?.." (В. Јогор; кывбурлӧн мӧԁ јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36826 *]<br />
|-<br />
|1922-02-14<br />
|№ 31<br />
|Лб. 2: "Коԁі?.." (В. Јогор; кывбурлӧн којмӧԁ јукӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36826 *]<br />
|-<br />
|1922-02-17<br />
|№ 32<br />
|Лб. 2: "Зеленецкая коровушка" (Ԋобԁінса Віттор; роча-коміа ԍыланкыв) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36892 *]<br />
|-<br />
|1922-02-17<br />
|№ 32<br />
|Лб. 2: "Е. Игнатову (с. Помоздин)" (вочакыв) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1922-02-18<br />
|№ 33<br />
|Лб. 2: "Оз-ӧмӧј-поԅ?" (јуӧртӧм) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36893 *]<br />
|-<br />
|1922-04-05<br />
|№ 65<br />
|Лб. 1: "Ԁасвіт во сајын..." (јуӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-04-13<br />
|№ 70-71<br />
|Лб. 2-3: "Коԁлы овны ӧні ԁолыԁ" (Ԋобԁінса Віттор; поема) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30684 *]<br />
|-<br />
|1922-05-01<br />
|№ 81-82<br />
|Лб. 2: "Вен" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30612 *]<br />
|-<br />
|1922-05-06<br />
|№ 84<br />
|Лб. 2: "Ӧніја гаԅет" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30613 *]<br />
|-<br />
|1922-06-03<br />
|№ 96-97<br />
|Лб. 4: "Чуԃеса-ԃіво" (публ. гіжӧԁ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36894 *]<br />
|-<br />
|1922-06-30<br />
|№ 101-102<br />
|Лб. 3: "Уҗјӧз" (Ԋобԁінса Віттор; частушкајас) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36895 *]<br />
|-<br />
|1922-07-01<br />
|№ 103-104<br />
|Лб. 3: "Суԁ мунӧ!" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30615 *]<br />
|-<br />
|1922-07-02<br />
|№ 105<br />
|Лб. 2: "Ԋімкоԃаԍ, Ԍерапім Саровскӧј!" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30616 *]<br />
|-<br />
|1922-07-04<br />
|№ 106<br />
|Лб. 2: "Поп „мавтчӧ“" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36896 *]<br />
|-<br />
|1922-07-06<br />
|№ 107-108<br />
|Лб. 4: "Ԋӧбаԍыԍ" (Ԋобԁінса Віттор; кывбур) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36943 *]<br />
|-<br />
|1922-07-09<br />
|№ 110<br />
|Лб. 2: "Міјан „ԉімоԋерјас“" (кывзыԍ: Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' лёк качество [http://komikyv.org/kpv/node/37173 *]<br />
|-<br />
|1922-07-29<br />
|№ 122<br />
|Лб. 4: "Кыԇі колӧ ԍорԋітны коміӧн" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30269 *]<br />
|-<br />
|1922-07-30<br />
|№ 123<br />
|Лб. 2: "Ен кыскав менӧ!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36944 *]<br />
|-<br />
|1922-08-01<br />
|№ 124<br />
|Лб. 2: "Пом ԋі ԁор" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30617 *]<br />
|-<br />
|1922-08-03<br />
|№ 125<br />
|Лб. 4: "Вӧлӧга перјӧм" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30618 *];<br />
"Воча кыв Іԉԉа Ваԍ Лыткінлы" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36945 *]<br />
|-<br />
|1922-08-12<br />
|№ 130<br />
|Лб. 4: "Поп ԁа Ваԍіԉіса" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36946 *]<br />
|-<br />
|1922-08-19<br />
|№ 134<br />
|Лб. 4: "Кулӧм лов ловԅӧԁӧм" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36947 *]<br />
|-<br />
|1922-09-12<br />
|№ 146<br />
|Лб. 2: "Ваԍ Пеԁӧр кулӧм куԅа" (Іԉԉа Ваԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/27105 *]<br />
|-<br />
|1922-09-14<br />
|№ 147<br />
|Лб. 3: "Ваԍ Пеԁӧр — Комі поет" (Іԉԉа Ваԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/33531 *]<br />
|-<br />
|1922-09-21<br />
|№ 151<br />
|Лб. 4: "Воԇ-на шојччыны" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30620 *]<br />
|-<br />
|1922-09-28<br />
|№ 154<br />
|Лб. 3: "Посԋі чеԉаԃлы" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36970 *]<br />
|-<br />
|1922-09-30<br />
|№ 155<br />
|Лб. 4: "Ставным вӧлім мамлӧн пі..." (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36971 *]<br />
|-<br />
|1922-10-01<br />
|№ 156<br />
|Лб. 2: "Салԁат ԍыланкыв" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36980 *]<br />
|-<br />
|1922-10-03<br />
|№ 157<br />
|Лб. 1: "Ӧтувтчӧмӧн уҗалӧм" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30258 *]<br />
|-<br />
|1922-10-05<br />
|№ 158<br />
|Лб. 1: "Грамота помын став бурыс" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/32505 *]<br />
|-<br />
|1922-10-05<br />
|№ 158<br />
|Лб. 4: "Шонԁі бан" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36982 *]<br />
|-<br />
|1922-10-07<br />
|№ 159<br />
|Лб. 3: "Потан ԁорын ԍыланкыв" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/27260 *]<br />
|-<br />
|1922-10-19<br />
|№ 165<br />
|Лб. 1: "Аԅербејԁжанскӧј респубԉікаын...", "Мукӧԁлаын важӧн..." (лозунгјас) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-10-21<br />
|№ 166 <br />
|Лб. 3: "Выԉгортса олӧм-вылӧм" (Комі пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36983 *]<br />
|-<br />
|1922-10-22<br />
|№ 167<br />
|Лб. 2: "Выԉ пјеса" (С. М.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36984 *]; "Грек" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36985 *]<br />
|-<br />
|1922-10-24<br />
|№ 168<br />
|Лб. 1: "Сортовка" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36986 *]<br />
|-<br />
|1922-10-28<br />
|№ 170<br />
|Лб. 1: "Мыјла Сӧвет-влаԍт лӧԍӧԁаліс ԃеԋгаа налогјас" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/36999 *]<br />
|-<br />
|1922-10-28<br />
|№ 170<br />
|Лб. 2: "Креԍԏаԋін! Мынты налогтӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1922-11-02<br />
|№ 172<br />
|Лб. 2-3: "Со-ӧԁ кӧні пемыԁ-олӧмыс!" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37000 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 1: "Віт во Окԏабрса Ревоԉутсіјалы" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37001 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 2: "Окԏаб" (Ваԍіԉеј Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37002 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 3: "Лаԃімер Іԉјіч Уԉјанов-Ԉеԋін" (Пашкін Јӧвгӧ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37003 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 5: "Віт" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/30621 *]<br />
|-<br />
|1922-11-07<br />
|№ 174<br />
|Лб. 6: "Сӧвет-влаԍт-ԁырјі віт воԍа олӧм" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/33799 *]<br />
|-<br />
|1922-11-16<br />
|№ 178<br />
|Лб. 1: "Кык вежончӧжԍа отсалӧм школалы" (С. М.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30270 *]<br />
|-<br />
|1922-11-18<br />
|№ 179<br />
|Лб. 2-3: "Сӧвет влаԍт ԁырјі вітвоԍа олӧм" С.М. '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/33799 *]<br />
|-<br />
|1922-11-25<br />
|№ 183<br />
|Лб. 2: "Ӧніја налог іԉі важ вуз-вот унҗык" (Комі пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37004 *]<br />
|-<br />
|1922-11-30<br />
|№ 186<br />
|Лб. 1: "Лозанна" кб (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30622 *]<br />
|-<br />
|1922-12-30<br />
|№ 201<br />
|Лб. 4: "Ԁугԁӧј ԁурны!" (А. Нестеров) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37172 *]<br />
|-<br />
|1923-01-30<br />
|№ 14<br />
|Лб. 1: "Кыԇі аслыԁ і казналы бур вӧчны" (Парма пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37482 *]<br />
|-<br />
|1923-02-01<br />
|№ 15<br />
|Лб. 1: "Коміԏет Креԍԏанскӧј Взаімопомощі" (Комі пі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37483 *]<br />
|-<br />
|1923-02-01<br />
|№ 15<br />
|Лб. 2: "Кыԇі Ԍӧвет-влаԍт отсалӧ ныв-бабалы" (Бур-Аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37568 *]<br />
|-<br />
|1923-02-08<br />
|№ 19<br />
|Лб. 1: "Труԁгужналог поԅӧ ԃеԋгаӧн мынтыны" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37512 *]<br />
|-<br />
|1923-02-10<br />
|№ 20<br />
|Лб. 1: "Мыјла колӧ гаԅет" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/30259 *]<br />
|-<br />
|1923-02-13<br />
|№ 22<br />
|Лб. 1-2: "Колӧ бурҗыка гӧгӧрвоны" ; (В.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37569 *]<br />
|-<br />
|1923-02-15<br />
|№ 23<br />
|Лб. 1: "Мыј ԍетӧ креԍԏаналы ԍеԉско-кӧԅајственнӧј коопераԏів" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37513 *]<br />
|-<br />
|1923-02-20<br />
|№ 26<br />
|Лб. 2: "Отсаламӧј школајаслы" (Конӧ Пеԁӧр Іріԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37524 *]<br />
|-<br />
|1923-02-22<br />
|№ 27<br />
|Лб. 1-2: "Коԁјаскӧԁ вермаԍіс Гӧрԁ Арміја віт воӧн" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37560 *]<br />
|-<br />
|1923-02-24<br />
|№ 28<br />
|Лб. 2: "Школа" (Сабрі) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37561 *]<br />
|-<br />
|1923-02-27<br />
|№ 30<br />
|Лб. 2: "Гылыԁ" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37562 *]<br />
|-<br />
|1923-03-06<br />
|№ 34<br />
|Лб. 1: "Вотчіна уҗалӧм-јылыԍ" (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37563 *]<br />
|-<br />
|1923-03-08<br />
|№ 35<br />
| Лб. 1-2: "Ныв-баба лун" (Аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37564 *]<br />
|-<br />
|1923-03-18<br />
|№ 42<br />
| Лб. 1-2: "Паріжса Коммуна" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37565 *]<br />
|-<br />
|1923-03-24<br />
|№ 47<br />
| Лб. 1: "Ӧтувја кӧјԁыс-јӧртӧԁ" (М-л) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37566 *]<br />
|-<br />
|1923-03-30<br />
|№ 52<br />
|Лб. 1: "Убытка оз ло" ст (В.) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37567 *]<br />
|-<br />
|1923-04-07<br />
|№ 58<br />
|Лб. 3: "Гажа-лун" (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37570 *]<br />
|-<br />
|1923-04-14<br />
|№ 62<br />
|Лб. 2-3: "Колӧ-оз комі школалы комі кыв" (Комі велӧԁыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37571 *]<br />
|-<br />
|1923-04-19<br />
|№ 66<br />
|Лб. 1: "Коԁі мыжа" ст (М. Торлопов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37572 *]<br />
|-<br />
|1923-04-21<br />
|№ 68<br />
|Лб. 3: "Понятно каждому..." роча-комиа; '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-04-26<br />
|№ 72<br />
|Лб. 4: "Коԁі меԁбур велӧԁыԍ?" (Санԁрік Мікол) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37573 *]<br />
|-<br />
|1923-04-29<br />
|№ 75<br />
|Лб. 3: "Павкӧԁчыԍјас" ст (Скоԁујтыԍ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37596 *]<br />
|-<br />
|1923-05-01<br />
|№ 76<br />
|Лб. 2: "Кык праԅԋік" кб (В. Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37603 *]<br />
|-<br />
|1923-05-01<br />
|№ 76<br />
|Лб. 4-5: "Колӧ кӧԇны турун" ст (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37606 *]<br />
|-<br />
|1923-05-05<br />
|№ 79<br />
|Лб. 2: "Комі креԍԏаналы" ст (Ԋобԁінса Віттор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/32506 *]<br />
|-<br />
|1923-05-05<br />
|№ 79<br />
|Лб. 2: "Быԁ кыԅ віт Комі керка јурӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Комі креԍԏана!.." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1923-05-05<br />
|№ 79<br />
|Лб. 4: "Комі јӧз!.." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-05-10<br />
|№ 82<br />
|Лб. 2: "Кыԇі колӧ кӧԇны турун" ст (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37607 *]<br />
|-<br />
|1923-05-11<br />
|№ 83<br />
|Лб. 2: "Колӧ воԇвыв ԋаԋ лӧԍоԁны. Колӧ магаԅа кумјас бӧр лептыны" ст (Віԍер Јепім) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37644 *]<br />
|-<br />
|1923-05-20<br />
|№ 90<br />
|Лб. 3: "Југыԁлаԋ" кб (Ԍіԅ Паш) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1923-05-22<br />
|№ 91<br />
|Лб. 2-3: "Віԇ-му мерајтӧм – јуклӧм јылыԍ"(П. Мішев) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37646 *]<br />
|-<br />
|1923-05-23<br />
|№ 92<br />
| Лб. 2-3: "Віԇ-му мерајтӧм – јуклӧм јылыԍ"(П. Мішев) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37646 *]<br />
|-<br />
|1923-06-02<br />
|№ 101<br />
|Лб. 2-3: "Кӧјԁыс весалӧм" ст (В. Ԋікіԏін) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37647 *]<br />
|-<br />
|1923-06-10<br />
|№ 108<br />
|Лб. 3: "Комі креԍԏана!.." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' <br />
|-<br />
|1923-06-12<br />
|№ 109<br />
|Лб. 4: "Југыԁ тујыԁ петӧ бура" 4 визя кывбур (В. Ј-р) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37648 *]<br />
|-<br />
|1923-06-13<br />
|№ 110<br />
|Лб. 1-2: "Креԍԏаԋін, гаԅет тенаԁ! Гіж сетчӧ!" ст (Варыш) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37649 *]<br />
|-<br />
|1923-06-15<br />
|№ 112<br />
|Лб. 1: "Быԁ кыԅ віт Комі керка јурӧ..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-06-16<br />
|№ 113<br />
|Лб. 2: "Југыԁ туј" кб (В. Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37650 *]<br />
|-<br />
|1923-06-20<br />
|№ 116<br />
|Лб. 2: "Комі Креԍԏана!" (јуӧр) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-06-27<br />
|№ 122<br />
|Лб. 2-3: "Кыԇі віԁчыԍны капуста гагјыԍ" ст (Н.П. Чеусов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37651 *]<br />
|-<br />
|1923-07-05<br />
|№ 129<br />
|Лб. 3: "Лебалан караб" кб (В. Јогор) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37652 *]<br />
|-<br />
|1923-07-19<br />
|№ 140<br />
|Лб. 1: "Комі јӧзлы — Комі кыв" (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-07-26<br />
|№ 146<br />
|Лб. 2-3: "Вегыԉ-гаг" ст (Ԏемнојев) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37653 *]<br />
|-<br />
|1923-07-27<br />
|№ 147<br />
|Лб. 2: "И. Т. Чисталев" (некролог; гижӧма рочӧн, сэн ӧти сёрникузя комиӧн) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-07-28<br />
|№ 148<br />
|Лб. 3: "Бӧрја гіжӧмјас І. Чістаԉовлӧн" кб (Жан Морӧс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/35278 *]<br />
|-<br />
|1923-08-02<br />
|№ 152<br />
|Лб. 3: "Јеҗыԁ опітсер" кб (Жан Морӧс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/35279 *]<br />
|-<br />
|1923-08-26<br />
|№ 171<br />
|Лб. 2: "Том ныв" (Іван Куратов) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/27316 *]<br />
|-<br />
|1923-09-06<br />
|№ 179<br />
|Лб. 1-2: "Кытыԍ лоӧма Вомынӧ шева" (Комі аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37654 *]<br />
|-<br />
|1923-09-16<br />
|№ 187<br />
|Лб. 3: "Кӧԇӧј быԁӧн сіԍмытӧм турун!" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37655 *]<br />
|-<br />
|1923-09-28<br />
|№ 197 <br />
|Лб. 3: "Выставка вылын (Кущӧма прімітоны Мӧскуаын выставка вылӧ воыԍјасӧс)" (Анна Чеусова) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37656 *]<br />
|-<br />
|1923-09-29<br />
|№ 198<br />
|Лб. 3: "Выставка вылын (Выставкаыԁ-школа)" (Анна Чеусова) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37656 *]<br />
|-<br />
|1923-10-03<br />
|№ 201<br />
|Лб. 3: "Кыскӧны велӧԁчыны!" ичӧт статья (Гр-ва) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37657 *]; "Том-ԁорыԍ бурҗыка уҗалӧ!" ичӧт статья (Пр.-) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37658 *]<br />
|-<br />
|1923-10-09<br />
|№ 206<br />
|Лб. 3: "Велӧԁчӧј выԉ ногӧн овны" ст (Ас морт) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37659 *]<br />
|-<br />
|1923-10-13<br />
|№ 210<br />
|Лб. 2-3: "Чурка ԋім чеԉаԃлӧн бырӧма. (Нывбабајас, велӧԁчӧј выԉ-ногӧн овны!)" ст (Комі нывбаба) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37660 *]<br />
|-<br />
|1923-10-31<br />
|№ 225<br />
|Лб. 2: "Гермаԋіја јылыԍ" ст (Парма) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37661 *]<br />
|-<br />
|1923-11-01<br />
|№ 226<br />
|Лб. 3: "Гермаԋіја јылыԍ" ст (Парма) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37661 *]<br />
|-<br />
|1923-11-04<br />
|№ 229<br />
|Лб. 2: "Ыҗыԁлун" ст (Комі аԋ) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/37662 *]<br />
|-<br />
|1923-11-07<br />
|№ 230<br />
|Лб. 2: "Му вылын сӧмын..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Мыј ԍетіс Окԏабр Комі јӧзлы" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37744 *]<br />
|-<br />
|1923-11-10<br />
|№ 231<br />
|Лб. 2: "Мыј ԍетіс Окԏабрса ревоԉутсіја" '''текстуйтӧма, прӧверитӧма''' [http://www.komikyv.org/kpv/node/37745 *]<br />
|-<br />
|1923-11-11<br />
|№ 232<br />
|Лб. 1: "Креԍԏана ӧтнаныс..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-13<br />
|№ 233<br />
|Лб. 2: "Чорыԁҗыка, топыԁҗыка..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-14<br />
|№ 234<br />
|Лб. 3: "Віԇӧј Окԏабрса Ревоԉутсіја-ԁырјі..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''; "Окԏабрса Ревоԉутсіја Роԍԍіјаын..." (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-16<br />
|№ 236<br />
|Лб. 3: "Шешкинская волость" (Парма; рочӧн; эмӧсь коми фразаяс) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-11-24 <br />
|№ 243<br />
| '''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-11-24._№243|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-11-28<br />
|№ 246<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-11-28._№246|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-11-30<br />
|№ 248<br />
|Лб. 2: "Детские годы" (Нёбдінса Виттор; рочӧн; эм коми кывбурысь кык строфа) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-12-01<br />
|№ 249<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-01._№249|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-05<br />
|№ 252<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-05._№252|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-06<br />
|№ 253<br />
|Лб. 4: "Јуӧртӧм" (лозунг) '''текстуйтӧма, прӧверитӧма'''<br />
|-<br />
|1923-12-08<br />
|№ 255<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-08._№255|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-12<br />
|№ 258<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-12._№258|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-15<br />
|№ 261<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-15._№261|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-25<br />
|№ 269<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-25._№269|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1923-12-29<br />
|№ 272<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1923-12-29._№272|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-03<br />
|№ 2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-03._№2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-05<br />
|№ 4<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-05._№4|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-12<br />
|№ 9<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-12._№9|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-16<br />
|№ 12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-16._№12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-01-19<br />
|№ 15<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-01-19._№15|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-02<br />
|№ 26<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-02._№26|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-06<br />
|№ 29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-06._№29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-09<br />
|№ 32<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-09._№32|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-13<br />
|№ 35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-13._№35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-17<br />
|№ 39<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-17._№39|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-21<br />
|№ 42<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-21._№42|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-02-24<br />
|№ 45<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-02-24._№45|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-01<br />
|№ 50<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-03-01._№50|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-05<br />
|№ 53<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-03-05._№53|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-14<br />
|№ 59<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд_туй._1924-03-14._№59|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-03-20<br />
|№ 63<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-03-20. №63|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-10<br />
|№ 80<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-10. №80|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-16<br />
|№ 85<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-16. №85|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-19<br />
|№ 88<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-19. №88|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-23<br />
|№ 91<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-23. №91|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-04-26<br />
|№ 94<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-04-26. №94|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-01<br />
|№ 99<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-01. №99|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-05<br />
|№ 100<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-05. №100|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-09<br />
|№ 103<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-09. №103|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-14<br />
|№ 107<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-14. №107|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-21<br />
|№ 113<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-21. №113|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-24<br />
|№ 116<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-24. №116|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-05-30<br />
|№ 121<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-05-30. №121|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-06-07<br />
|№ 128<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-06-07. №128|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-06-20<br />
|№ 137<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-06-20. №137|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-06-25<br />
|№ 141<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-06-25. №141|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-02<br />
|№ 147<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-02. №147|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-05<br />
|№ 150<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-05. №150|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-11<br />
|№ 155<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-11. №155|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-16<br />
|№ 159<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-16. №159|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-19<br />
|№ 162<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-19. №162|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-23<br />
|№ 165<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-23. №165|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-26<br />
|№ 168<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-26. №168|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-07-30<br />
|№ 171<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-07-30. №171|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-02<br />
|№ 174<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-02. №174|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-06<br />
|№ 177<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-06. №177|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-09<br />
|№ 179<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-09. №179|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-13<br />
|№ 182<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-13. №182|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-16<br />
|№ 185<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-16. №185|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-20<br />
|№ 187<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-20. №187|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-08-27<br />
|№ 190<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-08-27. №190|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-09-04<br />
|№ 194<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-09-04. №194|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-09-11<br />
|№ 197<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-09-11. №197|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-09-23<br />
|№ 202<br />
|"Газет лэдзанінсянь" (юӧртана гижӧд) '''тексталӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/39719 *]<br />
|-<br />
|1924-10-18<br />
|№ 218<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-10-18. №218|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-10-25<br />
|№ 221<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-10-25. №221|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-01<br />
|№ 224<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-01. №224|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-20<br />
|№ 231<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-20. №231|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-25<br />
|№ 234<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-25. №234|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-11-28<br />
|№ 237<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-11-28. №237|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-02<br />
|№ 240<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-02. №240|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-04<br />
|№ 242<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-04. №242|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-06<br />
|№ 244<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-06. №244|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-09<br />
|№ 246<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-09. №246|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-11<br />
|№ 248<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-11. №248|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-16<br />
|№ 252<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-16. №252|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-18<br />
|№ 254<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-18. №254|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-20<br />
|№ 256<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-20. №256|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-23<br />
|№ 258<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-23. №258|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-26<br />
|№ 260<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-26. №260|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-27<br />
|№ 261<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-27. №261|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1924-12-30<br />
|№ 263<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1924-12-30. №263|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-03<br />
|№2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-03. №2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-07<br />
|№5<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-07. №5|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-10<br />
|№7<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-10. №7|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-11<br />
|№8<br />
|Јанвар 9-ӧԁ лун (5 торја ворсантор; пом) '''тексталӧма''' [http://komikyv.org/kpv/node/40424 *]<br />
|-<br />
|1925-01-16<br />
|№12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-16. №12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-22<br />
|№16<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-22. №16|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-27<br />
|№19<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-27. №19|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-01-29<br />
|№21<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-01-29. №21|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-03<br />
|№25<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-03. №25|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-05<br />
|№27<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-05. №27|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-07<br />
|№29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-07. №29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-10<br />
|№31<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-10. №31|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-14<br />
|№35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-14. №35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-17<br />
|№37<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-17. №37|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-19<br />
|№39<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-19. №39|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-21<br />
|№41<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-21. №41|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-24<br />
|№43<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-24. №43|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-02-27<br />
|№46<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-02-27. №46|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-03<br />
|№49<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-03. №49|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-05<br />
|№51<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-05. №51|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-07<br />
|№53<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-07. №53|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-10<br />
|№55<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-10. №55|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-12<br />
|№57<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-12. №57|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-21<br />
|№63<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-21. №63|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-27<br />
|№67<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-27. №67|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-03-31<br />
|№70<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-03-31. №70|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-02<br />
|№72<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-02. №72|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-04<br />
|№74<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-04. №74|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-07<br />
|№76<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-07. №76|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-09<br />
|№78<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-09. №78|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-11<br />
|№80<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-11. №80|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-12<br />
|№81<br />
|Лб.3: Чиновники нашего времени (статья, Жугыль: рочӧн, эмӧсь коми цитатаяс); коми юкӧнсӧ '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-04-14<br />
|№82<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-14. №82|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-17<br />
|КС№1<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-04-17. №1|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-21<br />
|№86<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-21. №86|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-23<br />
|№88<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-23. №88|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-24<br />
|№89<br />
|"Поправка" гижӧдын эмӧсь коми фразаяс; гижӧдыс '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-04-25<br />
|КС№2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-04-25. №2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-04-28<br />
|№91<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-04-28. №91|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-01<br />
|КС№3<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-01. №3|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-03<br />
|№94<br />
|"Поправка" гижӧдын эмӧсь коми фразаяс; гижӧдыс '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-05-07<br />
|№96<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-07. №96|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-09<br />
|КС№4<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-09. №4|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-12<br />
|№99<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-12. №99|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-14<br />
|№101<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-14. №101|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-16<br />
|КС№5<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-16. №5|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-21<br />
|№107<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-21. №107|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-23<br />
|КС№6<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-23. №6|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-27<br />
|№111<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-05-27. №111|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-05-30<br />
|КС№7<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-05-30. №7|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-02<br />
|№115<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-02. №115|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-04<br />
|№117<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-04. №117|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-06<br />
|КС№8<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-06. №8|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-10<br />
|№120<br />
|Роч кывъя номер; сэн "Југыԁ туј" кывбур (Акіԋ-пілӧн) да чолӧмалӧм (Ԍпіра Прокӧлӧн); '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-06-11<br />
|№121<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-11. №121|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-13<br />
|КС№9<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-13. №9|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-16<br />
|№124<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-16. №124|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-18<br />
|№126<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-18. №126|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-20<br />
|КС№10<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-20. №10|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-23<br />
|№129<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-23. №129|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-25<br />
|№131<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-25. №131|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-27<br />
|КС№11<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-06-27. №11|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-06-30<br />
|№134<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-06-30. №134|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-04<br />
|КС№12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-04. №12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-07<br />
|№139<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-07. №139|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-09<br />
|№141<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-09. №141|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-11<br />
|КС№13<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-11. №13|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-14<br />
|№144<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-14. №144|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-16<br />
|№146<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-16. №146|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-18<br />
|КС№14<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-18. №14|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-21<br />
|№149<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-21. №149|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-23<br />
|№151<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-23. №151|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-25<br />
|КС№15<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-07-25. №15|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-07-30<br />
|№156<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-07-30. №156|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-01<br />
|КС№16<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-01. №16|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-04<br />
|№159<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-04. №159|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-06<br />
|№161<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-06. №161|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-08<br />
|КС№17<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-08. №17|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-11<br />
|№164<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-11. №164|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-13<br />
|№166<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-13. №166|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-15<br />
|КС№18<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-15. №18|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-18<br />
|№168<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-18. №168|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-20<br />
|№170<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-20. №170|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-22<br />
|КС№19<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-22. №19|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-25<br />
|№173<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-25. №173|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-27<br />
|№175<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-08-27. №175|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-08-29<br />
|КС№20<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-08-29. №20|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-01<br />
|№178<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-01. №178|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-03<br />
|№180<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-03. №180|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-05<br />
|КС№21<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-05. №21|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-08<br />
|№183<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-08. №183|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-10<br />
|№185<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-10. №185|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-12<br />
|КС№22<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-12. №22|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-15<br />
|№188<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-15. №188|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-17<br />
|№190<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-17. №190|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-19<br />
|КС№23<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-19. №23|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-22<br />
|№193<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-22. №193|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-24<br />
|№195<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-24. №195|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-26<br />
|КС№24<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-09-26. №24|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-09-29<br />
|№198<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-09-29. №198|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-01<br />
|№200<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-01. №200|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-03<br />
|КС№25<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-03. №25|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-04<br />
|№202<br />
|роч номер, эм кык вочакыв комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-10-06<br />
|№203<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-06. №203|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-08<br />
|№205<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-08. №205|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-10<br />
|КС№26<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-10. №26|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-13<br />
|№208<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-13. №208|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-14<br />
|№209<br />
|роч номер, эм ӧти юӧр комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-10-15<br />
|№210<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-15. №210|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-17<br />
|КС№27<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-17. №27|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-20<br />
|№213<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-20. №213|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-22<br />
|№215<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-22. №215|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-23<br />
|№216<br />
|роч номер, эм некымын вочакыв комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-10-24<br />
|КС№28<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-24. №28|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-28<br />
|№219<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-10-28. №219|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-10-31<br />
|КС№29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-10-31. №29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-01<br />
|№222<br />
|роч номер, ӧти вочакыв комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-11-07<br />
|КС№30<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-07. №30|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-10<br />
|№226<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-10. №226|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-12<br />
|№228<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-12. №228|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-14<br />
|КС№31<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-14. №31|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-18<br />
|№232<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-18. №232|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-21<br />
|КС№32<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-21. №32|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-25<br />
|№237<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-11-25. №237|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-11-28<br />
|КС№33<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-11-28. №33|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-01<br />
|№241<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-12-01. №241|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-05<br />
|КС№34<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-05. №34|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-08<br />
|№246<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-12-08. №246|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-10<br />
|№248<br />
|роч номер, ӧти фраза комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-12-11<br />
|№249<br />
|роч номер, ӧти фраза комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-12-12<br />
|КС№35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-12. №35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-15<br />
|№251<br />
|'''тексталӧма'''; [[Югыд туй. 1925-12-15. №251|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-18<br />
|КС№36<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-18. №36|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-23<br />
|№256<br />
|роч номер, Пошта кудйын неуна эм комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1925-12-25<br />
|КС№37<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1925-12-25. №37|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1925-12-29<br />
|№259<br />
|роч номер, Пошта кудйын неуна эм комиӧн; '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1926-01-01<br />
|КС№1<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-01. №1|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-09<br />
|КС№2<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-09. №2|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-16<br />
|КС№3<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-16. №3|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-24<br />
|КС№4<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-24. №4|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-01-29<br />
|№19<br />
|Лб. 1, кык коми гижӧд: [https://komikyv.org/kpv/node/43950 Речь Мишарина], [https://komikyv.org/kpv/node/43951 Международное и внутреннее положение] '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1926-01-30<br />
|№20<br />
|Лб. 1-2, коми гижӧд: [https://komikyv.org/kpv/node/43952 Доклад тов. Мишарина] '''тексталӧма'''<br />
|-<br />
|1926-01-31<br />
|КС№5<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-01-31. №5|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-06<br />
|КС№6<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-06. №6|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-13<br />
|КС№7<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-13. №7|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-20<br />
|КС№8<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-20. №8|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-02-27<br />
|КС№9<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-02-27. №9|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-06<br />
|КС№10<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-06. №10|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-14<br />
|КС№11<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-14. №11|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-20<br />
|КС№12<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-20. №12|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-03-27<br />
|КС№13<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-03-27. №13|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-03<br />
|КС№14<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-03. №14|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-10<br />
|КС№15<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-10. №15|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-17<br />
|КС№16<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-17. №16|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-04-24<br />
|КС№17<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-04-24. №17|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-01<br />
|КС№18<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-01. №18|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-05<br />
|№82<br />
|'''тексталӧма'''; Нёбдінса Виттор, "Коми автономия" кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/30631 *]<br />
|-<br />
|1926-05-08<br />
|КС№19<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-08. №19|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-15<br />
|КС№20<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-15. №20|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-22<br />
|КС№21<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-22. №21|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-05-29<br />
|КС№22<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-05-29. №22|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-05<br />
|КС№23<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-05. №23|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-12<br />
|КС№24<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-12. №24|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-19<br />
|КС№25<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-19. №25|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-06-26<br />
|КС№26<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-06-26. №26|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-03<br />
|КС№27<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-03. №27|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-10<br />
|КС№28<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-10. №28|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-17<br />
|КС№29<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-17. №29|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-24<br />
|КС№30<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-24. №30|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-07-31<br />
|КС№31<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-07-31. №31|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-08<br />
|КС№32<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-08. №32|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-14<br />
|КС№33<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-14. №33|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-21<br />
|КС№34<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-21. №34|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-08-28<br />
|КС№35<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-08-28. №35|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-09-04<br />
|КС№36<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-09-04. №36|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-09-05<br />
|№166<br />
|'''тексталӧма'''; Сим Вань, "Миян праздник (МЮД)" кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/45380 *]<br />
|-<br />
|1926-09-11<br />
|КС№37<br />
|'''тексталӧма'''; [[Коми сикт. 1926-09-11. №37|юриндалысь]]<br />
|-<br />
|1926-09-22<br />
|№178<br />
|'''тексталӧма'''; Нёбдінса Виттор, "Поводдя сералӧ" кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/45381 *]<br />
|-<br />
|1926-10-29<br />
|№198<br />
|'''тексталӧма'''; Акинь пи, "Сизим во" кывбур<br />
|}</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-11._%E2%84%9637&diff=92087
Коми сикт. 1926-09-11. №37
2026-09-09T15:11:29Z
<p>Наста: /* Пытшкӧс */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Нывбабаяс конференция вылӧ!''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45382 *]<br />
*'''Из шом перйысь рабочӧйяс чорыда сулалӧны''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45383 *]<br />
*'''Англия повзьӧма''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45384 *]<br />
*'''Америкаса кӧрт туй вылын уджалысьяс отсалӧны англияса из шом перйысь рабочӧйяслы''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45385 *]<br />
*'''Ставсоюзса профсоюзъяс Сӧветлӧн президиумыс...''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45386 *]<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Война Китайын''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45387 *]<br />
*'''Кантонса войска мунӧны водзӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45388 *]<br />
*'''Мукӧд государствоса капиталистъяс отсалӧны революциялы паныд мунысь генералъяслы''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45389 *]<br />
*'''Чжан Цзолинь бара зыртчӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45390 *]<br />
*'''У Пэйфу ранитчӧма''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45391 *]<br />
*'''Выль войналы паныд''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45392 *]<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Нянь донъяс''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45393 *]<br />
*'''Крестьянскӧй ной вӧчан пабрик''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45394 *]<br />
☼ ☼ ☼<br />
*'''Германияӧс босьтӧмаӧсь Лига Нацийӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45395 *]<br />
*'''Италия оз лыддьы Бессарабиясӧ Румыниялысь''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45396 *]<br />
*'''Крестьяна да пӧлича кост кось''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45397 *]<br />
*'''Томскӧй ёртӧс оз лэдзны Англияӧ''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45398 *]<br />
*'''Мунӧма ыджыд тӧв Японияті''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45399 *]<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : лозунг<br />
*Военнӧй. '''Кыдзи видзӧны Краснӧй армияын''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45400 *]<br />
*'''СССР-ын овмӧс кыптӧ и содӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45401 *]<br />
*'''Электрическӧй туй Лунвыв Кавказын''' : выльтор [https://komikyv.org/kpv/node/45402 *]<br />
===КОМИ КРЕСТЬЯНА БУРМӦДӦНЫ ОЛӦМ===<br />
*Дедов. '''Плугъяс бурӧсь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45403 *]<br />
*Май. '''Йоркширскӧй порсьяс''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45404 *]<br />
*Кодзув. '''Воддза воясӧ Кебра вӧл. Сыктыв. у. крестьяналӧн...''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45405 *]<br />
☼ ☼ ☼<br />
*В. Фролов. '''Вӧлӧсьтувса бюджет''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45406 *]<br />
*Выльгортса. '''Нянь лоӧ''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45407 *]<br />
*'''Коми йӧз, юӧртӧй Латкин мыжъяс йылысь!''' : шыӧдчӧм [https://komikyv.org/kpv/node/45408 *]<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №17===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*С. Шевелёв. '''«Сӧвсем»''' : висьт [https://komikyv.org/kpv/node/45409 *]<br />
*Ӧ. Г. Липин. '''Менам быдмӧм''' : кывбур юкӧн [https://komikyv.org/kpv/node/45410 *]<br />
*Батраков. '''Гӧрд армияӧ мунысьяслы''' : кывбур [https://komikyv.org/kpv/node/45411 *]<br />
===Коми муын===<br />
====Коми сиктъясын олӧм====<br />
*'''Зыксьӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45412 *]<br />
*Коми пи. '''Юклӧны видз-му''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45413 *]<br />
*Гриша Иван. '''Артмис коль''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45414 *]<br />
*Майбыр. '''Школа пытшкӧс лӧсьӧдӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45415 *]<br />
*Комсомолеч. '''Повзьылӧмаӧсь ыджыд из усьӧмысь''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45416 *]<br />
====Партиялӧн олӧм====<br />
*Видзӧдысь. '''Коммунистъяс да комсомолечьяс гӧль йӧзлы отсасьӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45417 *]<br />
*Беспартийнӧй. '''Партияысь вӧтлісны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45418 *]<br />
====Нӧйтӧны гӧтыръяссӧ====<br />
*Р. А.-Б. '''Сітбар сиктса (Зеленеч в., Сыктыв у.)...''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45419 *]<br />
*Исасьысь. '''Епим Иван Гриша Сюзяыбысь (Кулӧмдін у.)...''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45420 *]<br />
====Тавося урожай====<br />
*'''Сю локтӧ бур''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45421 *]<br />
*Селькор. '''Турунъяс сісьмисны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45422 *]<br />
*Селькор. '''Нянь шӧркоддьӧм''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45423 *]<br />
☼ ☼ ☼<br />
*'''Коми крестьяна!..''' : лозунг<br />
*'''«Коми Сикт» — крестьяналӧн газет...''' : лозунг<br />
====КӦН ОМӦЛЯ УДЖАЛӦНЫ====<br />
*Перӧ № 80. '''Видз травитісны мӧсъяслы''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45424 *]<br />
*Пес тэчысь. '''Партаяс сісьмӧны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45425 *]<br />
*Дьӧгӧдь вӧчысь. '''Пес эз заптыны''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45426 *]<br />
====Кыйӧй ошъясӧс====<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) Веселовка сиктын...''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45427 *]<br />
*Май. '''Ыб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.) ош...''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45428 *]<br />
*Яг зон. '''Помӧсдінын (Кулӧмдін у.) пӧскӧтина...''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45429 *]<br />
☼ ☼ ☼<br />
*Дзоридз. '''Колӧ комиӧн велӧдчӧм''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45430 *]<br />
*'''Коми крестьянин! Судзӧдан он на...''' : лозунг<br />
*Коми Мишӧ. '''Коми суд''' : публ. гижӧд [https://komikyv.org/kpv/node/45431 *]<br />
===Ми кылам===<br />
*Шлен. '''Ыбса Инвалиднӧй кооперативын...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45432 *]<br />
*Замечайтысь. '''Помӧсдінын (Кулӧмдін у.) пошта...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45433 *]<br />
*Коми ань. '''Кулӧмдінса селисполнительяс...''' : юӧр [https://komikyv.org/kpv/node/45434 *]<br />
☼ ☼ ☼<br />
*'''Веськӧдӧм''' : веськӧдӧм [https://komikyv.org/kpv/node/45435 *]<br />
*'''Пошта куд''' : вочакыв [https://komikyv.org/kpv/node/45436 *]<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-11._%E2%84%9637&diff=92086
Коми сикт. 1926-09-11. №37
2026-09-09T15:05:37Z
<p>Наста: /* Ми кылам */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Нывбабаяс конференция вылӧ!''' : публ. гижӧд<br />
*'''Из шом перйысь рабочӧйяс чорыда сулалӧны''' : выльтор<br />
*'''Англия повзьӧма''' : выльтор<br />
*'''Америкаса кӧрт туй вылын уджалысьяс отсалӧны англияса из шом перйысь рабочӧйяслы''' : выльтор<br />
*'''Ставсоюзса профсоюзъяс Сӧветлӧн президиумыс...''' : выльтор<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Война Китайын''' : выльтор<br />
*'''Кантонса войска мунӧны водзӧ''' : выльтор<br />
*'''Мукӧд государствоса капиталистъяс отсалӧны революциялы паныд мунысь генералъяслы''' : выльтор<br />
*'''Чжан Цзолинь бара зыртчӧ''' : выльтор<br />
*'''У Пэйфу ранитчӧма''' : выльтор<br />
*'''Выль войналы паныд''' : выльтор<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Нянь донъяс''' : выльтор<br />
*'''Крестьянскӧй ной вӧчан пабрик''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼<br />
*'''Германияӧс босьтӧмаӧсь Лига Нацийӧ''' : выльтор<br />
*'''Италия оз лыддьы Бессарабиясӧ Румыниялысь''' : выльтор<br />
*'''Крестьяна да пӧлича кост кось''' : выльтор<br />
*'''Томскӧй ёртӧс оз лэдзны Англияӧ''' : выльтор<br />
*'''Мунӧма ыджыд тӧв Японияті''' : выльтор<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : лозунг<br />
*Военнӧй. '''Кыдзи видзӧны Краснӧй армияын''' : публ. гижӧд<br />
*'''СССР-ын овмӧс кыптӧ и содӧ''' : публ. гижӧд<br />
*'''Электрическӧй туй Лунвыв Кавказын''' : выльтор<br />
===КОМИ КРЕСТЬЯНА БУРМӦДӦНЫ ОЛӦМ===<br />
*Дедов. '''Плугъяс бурӧсь''' : публ. гижӧд<br />
*Май. '''Йоркширскӧй порсьяс''' : публ. гижӧд<br />
*Кодзув. '''Воддза воясӧ Кебра вӧл. Сыктыв. у. крестьяналӧн...''' : публ. гижӧд<br />
☼ ☼ ☼<br />
*В. Фролов. '''Вӧлӧсьтувса бюджет''' : публ. гижӧд<br />
*Выльгортса. '''Нянь лоӧ''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коми йӧз, юӧртӧй Латкин мыжъяс йылысь!''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №17===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*С. Шевелёв. '''«Сӧвсем»''' : висьт<br />
*Ӧ. Г. Липин. '''Менам быдмӧм''' : кывбур юкӧн<br />
*Батраков. '''Гӧрд армияӧ мунысьяслы''' : кывбур<br />
===Коми муын===<br />
====Коми сиктъясын олӧм====<br />
*'''Зыксьӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Коми пи. '''Юклӧны видз-му''' : публ. гижӧд<br />
*Гриша Иван. '''Артмис коль''' : публ. гижӧд<br />
*Майбыр. '''Школа пытшкӧс лӧсьӧдӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Комсомолеч. '''Повзьылӧмаӧсь ыджыд из усьӧмысь''' : публ. гижӧд<br />
====Партиялӧн олӧм====<br />
*Видзӧдысь. '''Коммунистъяс да комсомолечьяс гӧль йӧзлы отсасьӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Беспартийнӧй. '''Партияысь вӧтлісны''' : публ. гижӧд<br />
====Нӧйтӧны гӧтыръяссӧ====<br />
*Р. А.-Б. '''Сітбар сиктса (Зеленеч в., Сыктыв у.)...''' : публ. гижӧд<br />
*Исасьысь. '''Епим Иван Гриша Сюзяыбысь (Кулӧмдін у.)...''' : публ. гижӧд<br />
====Тавося урожай====<br />
*'''Сю локтӧ бур''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Турунъяс сісьмисны''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Нянь шӧркоддьӧм''' : публ. гижӧд<br />
☼ ☼ ☼<br />
*'''Коми крестьяна!..''' : лозунг<br />
*'''«Коми Сикт» — крестьяналӧн газет...''' : лозунг<br />
====КӦН ОМӦЛЯ УДЖАЛӦНЫ====<br />
*Перӧ № 80. '''Видз травитісны мӧсъяслы''' : публ. гижӧд<br />
*Пес тэчысь. '''Партаяс сісьмӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Дьӧгӧдь вӧчысь. '''Пес эз заптыны''' : публ. гижӧд<br />
====Кыйӧй ошъясӧс====<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) Веселовка сиктын...''' : публ. гижӧд<br />
*Май. '''Ыб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.) ош...''' : публ. гижӧд<br />
*Яг зон. '''Помӧсдінын (Кулӧмдін у.) пӧскӧтина...''' : публ. гижӧд<br />
☼ ☼ ☼<br />
*Дзоридз. '''Колӧ комиӧн велӧдчӧм''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коми крестьянин! Судзӧдан он на...''' : лозунг<br />
*Коми Мишӧ. '''Коми суд''' : публ. гижӧд<br />
===Ми кылам===<br />
*Шлен. '''Ыбса Инвалиднӧй кооперативын...''' : юӧр<br />
*Замечайтысь. '''Помӧсдінын (Кулӧмдін у.) пошта...''' : юӧр<br />
*Коми ань. '''Кулӧмдінса селисполнительяс...''' : юӧр<br />
☼ ☼ ☼<br />
*'''Веськӧдӧм''' : веськӧдӧм<br />
*'''Пошта куд''' : вочакыв<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-11._%E2%84%9637&diff=92085
Коми сикт. 1926-09-11. №37
2026-09-09T15:03:55Z
<p>Наста: /* Кыйӧй ошъясӧс */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Нывбабаяс конференция вылӧ!''' : публ. гижӧд<br />
*'''Из шом перйысь рабочӧйяс чорыда сулалӧны''' : выльтор<br />
*'''Англия повзьӧма''' : выльтор<br />
*'''Америкаса кӧрт туй вылын уджалысьяс отсалӧны англияса из шом перйысь рабочӧйяслы''' : выльтор<br />
*'''Ставсоюзса профсоюзъяс Сӧветлӧн президиумыс...''' : выльтор<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Война Китайын''' : выльтор<br />
*'''Кантонса войска мунӧны водзӧ''' : выльтор<br />
*'''Мукӧд государствоса капиталистъяс отсалӧны революциялы паныд мунысь генералъяслы''' : выльтор<br />
*'''Чжан Цзолинь бара зыртчӧ''' : выльтор<br />
*'''У Пэйфу ранитчӧма''' : выльтор<br />
*'''Выль войналы паныд''' : выльтор<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Нянь донъяс''' : выльтор<br />
*'''Крестьянскӧй ной вӧчан пабрик''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼<br />
*'''Германияӧс босьтӧмаӧсь Лига Нацийӧ''' : выльтор<br />
*'''Италия оз лыддьы Бессарабиясӧ Румыниялысь''' : выльтор<br />
*'''Крестьяна да пӧлича кост кось''' : выльтор<br />
*'''Томскӧй ёртӧс оз лэдзны Англияӧ''' : выльтор<br />
*'''Мунӧма ыджыд тӧв Японияті''' : выльтор<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : лозунг<br />
*Военнӧй. '''Кыдзи видзӧны Краснӧй армияын''' : публ. гижӧд<br />
*'''СССР-ын овмӧс кыптӧ и содӧ''' : публ. гижӧд<br />
*'''Электрическӧй туй Лунвыв Кавказын''' : выльтор<br />
===КОМИ КРЕСТЬЯНА БУРМӦДӦНЫ ОЛӦМ===<br />
*Дедов. '''Плугъяс бурӧсь''' : публ. гижӧд<br />
*Май. '''Йоркширскӧй порсьяс''' : публ. гижӧд<br />
*Кодзув. '''Воддза воясӧ Кебра вӧл. Сыктыв. у. крестьяналӧн...''' : публ. гижӧд<br />
☼ ☼ ☼<br />
*В. Фролов. '''Вӧлӧсьтувса бюджет''' : публ. гижӧд<br />
*Выльгортса. '''Нянь лоӧ''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коми йӧз, юӧртӧй Латкин мыжъяс йылысь!''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №17===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*С. Шевелёв. '''«Сӧвсем»''' : висьт<br />
*Ӧ. Г. Липин. '''Менам быдмӧм''' : кывбур юкӧн<br />
*Батраков. '''Гӧрд армияӧ мунысьяслы''' : кывбур<br />
===Коми муын===<br />
====Коми сиктъясын олӧм====<br />
*'''Зыксьӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Коми пи. '''Юклӧны видз-му''' : публ. гижӧд<br />
*Гриша Иван. '''Артмис коль''' : публ. гижӧд<br />
*Майбыр. '''Школа пытшкӧс лӧсьӧдӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Комсомолеч. '''Повзьылӧмаӧсь ыджыд из усьӧмысь''' : публ. гижӧд<br />
====Партиялӧн олӧм====<br />
*Видзӧдысь. '''Коммунистъяс да комсомолечьяс гӧль йӧзлы отсасьӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Беспартийнӧй. '''Партияысь вӧтлісны''' : публ. гижӧд<br />
====Нӧйтӧны гӧтыръяссӧ====<br />
*Р. А.-Б. '''Сітбар сиктса (Зеленеч в., Сыктыв у.)...''' : публ. гижӧд<br />
*Исасьысь. '''Епим Иван Гриша Сюзяыбысь (Кулӧмдін у.)...''' : публ. гижӧд<br />
====Тавося урожай====<br />
*'''Сю локтӧ бур''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Турунъяс сісьмисны''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Нянь шӧркоддьӧм''' : публ. гижӧд<br />
☼ ☼ ☼<br />
*'''Коми крестьяна!..''' : лозунг<br />
*'''«Коми Сикт» — крестьяналӧн газет...''' : лозунг<br />
====КӦН ОМӦЛЯ УДЖАЛӦНЫ====<br />
*Перӧ № 80. '''Видз травитісны мӧсъяслы''' : публ. гижӧд<br />
*Пес тэчысь. '''Партаяс сісьмӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Дьӧгӧдь вӧчысь. '''Пес эз заптыны''' : публ. гижӧд<br />
====Кыйӧй ошъясӧс====<br />
*Перӧ № 80. '''Позтыын (Кулӧмдін у.) Веселовка сиктын...''' : публ. гижӧд<br />
*Май. '''Ыб вӧлӧсьтын (Сыктыв у.) ош...''' : публ. гижӧд<br />
*Яг зон. '''Помӧсдінын (Кулӧмдін у.) пӧскӧтина...''' : публ. гижӧд<br />
☼ ☼ ☼<br />
*Дзоридз. '''Колӧ комиӧн велӧдчӧм''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коми крестьянин! Судзӧдан он на...''' : лозунг<br />
*Коми Мишӧ. '''Коми суд''' : публ. гижӧд<br />
===Ми кылам===<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста
https://wiki.komikyv.org/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B8_%D1%81%D0%B8%D0%BA%D1%82._1926-09-11._%E2%84%9637&diff=92084
Коми сикт. 1926-09-11. №37
2026-09-09T15:01:46Z
<p>Наста: /* КӦН ОМӦЛЯ УДЖАЛӦНЫ */</p>
<hr />
<div>==Пытшкӧс==<br />
*'''Мед ёнмас крестьяналӧн рабочӧйяскӧд ӧтувтчӧм!''' : лозунг<br />
*'''Быд вежонын ӧтчыд лэдзӧ «Югыд туй» газет''' : юӧр<br />
*'''Нывбабаяс конференция вылӧ!''' : публ. гижӧд<br />
*'''Из шом перйысь рабочӧйяс чорыда сулалӧны''' : выльтор<br />
*'''Англия повзьӧма''' : выльтор<br />
*'''Америкаса кӧрт туй вылын уджалысьяс отсалӧны англияса из шом перйысь рабочӧйяслы''' : выльтор<br />
*'''Ставсоюзса профсоюзъяс Сӧветлӧн президиумыс...''' : выльтор<br />
===Став му вылын===<br />
*'''Война Китайын''' : выльтор<br />
*'''Кантонса войска мунӧны водзӧ''' : выльтор<br />
*'''Мукӧд государствоса капиталистъяс отсалӧны революциялы паныд мунысь генералъяслы''' : выльтор<br />
*'''Чжан Цзолинь бара зыртчӧ''' : выльтор<br />
*'''У Пэйфу ранитчӧма''' : выльтор<br />
*'''Выль войналы паныд''' : выльтор<br />
===СССР-ын===<br />
*'''Нянь донъяс''' : выльтор<br />
*'''Крестьянскӧй ной вӧчан пабрик''' : выльтор<br />
☼ ☼ ☼<br />
*'''Германияӧс босьтӧмаӧсь Лига Нацийӧ''' : выльтор<br />
*'''Италия оз лыддьы Бессарабиясӧ Румыниялысь''' : выльтор<br />
*'''Крестьяна да пӧлича кост кось''' : выльтор<br />
*'''Томскӧй ёртӧс оз лэдзны Англияӧ''' : выльтор<br />
*'''Мунӧма ыджыд тӧв Японияті''' : выльтор<br />
*'''Селькоръяс, тіян газетӧ гижӧм кындзи...''' : лозунг<br />
*Военнӧй. '''Кыдзи видзӧны Краснӧй армияын''' : публ. гижӧд<br />
*'''СССР-ын овмӧс кыптӧ и содӧ''' : публ. гижӧд<br />
*'''Электрическӧй туй Лунвыв Кавказын''' : выльтор<br />
===КОМИ КРЕСТЬЯНА БУРМӦДӦНЫ ОЛӦМ===<br />
*Дедов. '''Плугъяс бурӧсь''' : публ. гижӧд<br />
*Май. '''Йоркширскӧй порсьяс''' : публ. гижӧд<br />
*Кодзув. '''Воддза воясӧ Кебра вӧл. Сыктыв. у. крестьяналӧн...''' : публ. гижӧд<br />
☼ ☼ ☼<br />
*В. Фролов. '''Вӧлӧсьтувса бюджет''' : публ. гижӧд<br />
*Выльгортса. '''Нянь лоӧ''' : публ. гижӧд<br />
*'''Коми йӧз, юӧртӧй Латкин мыжъяс йылысь!''' : шыӧдчӧм<br />
===КОМИ ГИЖӦМ №17===<br />
*'''Лэдзӧ КАПП...''' : юӧр<br />
*С. Шевелёв. '''«Сӧвсем»''' : висьт<br />
*Ӧ. Г. Липин. '''Менам быдмӧм''' : кывбур юкӧн<br />
*Батраков. '''Гӧрд армияӧ мунысьяслы''' : кывбур<br />
===Коми муын===<br />
====Коми сиктъясын олӧм====<br />
*'''Зыксьӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Коми пи. '''Юклӧны видз-му''' : публ. гижӧд<br />
*Гриша Иван. '''Артмис коль''' : публ. гижӧд<br />
*Майбыр. '''Школа пытшкӧс лӧсьӧдӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Комсомолеч. '''Повзьылӧмаӧсь ыджыд из усьӧмысь''' : публ. гижӧд<br />
====Партиялӧн олӧм====<br />
*Видзӧдысь. '''Коммунистъяс да комсомолечьяс гӧль йӧзлы отсасьӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Беспартийнӧй. '''Партияысь вӧтлісны''' : публ. гижӧд<br />
====Нӧйтӧны гӧтыръяссӧ====<br />
*Р. А.-Б. '''Сітбар сиктса (Зеленеч в., Сыктыв у.)...''' : публ. гижӧд<br />
*Исасьысь. '''Епим Иван Гриша Сюзяыбысь (Кулӧмдін у.)...''' : публ. гижӧд<br />
====Тавося урожай====<br />
*'''Сю локтӧ бур''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Турунъяс сісьмисны''' : публ. гижӧд<br />
*Селькор. '''Нянь шӧркоддьӧм''' : публ. гижӧд<br />
☼ ☼ ☼<br />
*'''Коми крестьяна!..''' : лозунг<br />
*'''«Коми Сикт» — крестьяналӧн газет...''' : лозунг<br />
====КӦН ОМӦЛЯ УДЖАЛӦНЫ====<br />
*Перӧ № 80. '''Видз травитісны мӧсъяслы''' : публ. гижӧд<br />
*Пес тэчысь. '''Партаяс сісьмӧны''' : публ. гижӧд<br />
*Дьӧгӧдь вӧчысь. '''Пес эз заптыны''' : публ. гижӧд<br />
====Кыйӧй ошъясӧс====<br />
*<br />
*<br />
<br />
==Содтӧд юӧр==</div>
Наста