Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема
Содержание
Терминъяс
куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник ӧткодь берда куимпельӧса — равнобедренный треугольник боквыв дор — боковая сторона судта — высота ӧткодь куимпельӧсаяс — равные треугольники ӧткодь куимсэрӧгъяс — равные треугольники лӧсялана пельӧсъяс — соответствующие углы (в равных треугольниках) тшӧтшкӧсджын — полуплоскость ортсы пельӧс — внешний угол ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс — накрест лежащие углы лӧсялысь вундӧгъяс — совпадающие отрезки паныдсянь подулавны — доказать от противного ӧткодьтӧмлун — неравенство кыв вожалӧм — противоречие визьньӧв — луч вундӧг — отрезок кытшвизь — окружность тӧрӧдчӧм пельӧс — вписанный угол
Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема
Школа геометрияысь ми тӧдам: куимпельӧса кӧ ӧткодь берда, сэки
- сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм судтаяс ӧткузяӧсь,
- сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм медианаяс ӧткузяӧсь,
- сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм биссектрисаяс ӧткузяӧсь.
Позьӧ-ӧ шуны мӧдарӧ: куимпельӧсалӧн кӧ эм ӧткузя кык судта (медиана, биссектриса), сэки куимпельӧсаыс ӧткодь берда? Вӧлӧмкӧ, позьӧ.
Судтаяс да медианаяс йылысь теоремаяссӧ абу вывті сьӧкыд подулавны; коді школа геометрия тӧдӧ, ӧдйӧ аддзас серпас вылысь ӧткодь куимпельӧсаяс да гӧгӧрвоас, мый ∠B = ∠C.
Вӧлӧмкӧ, биссектрисаяс йылысь теоремасӧ подулавны сьӧкыдджык нин. Медводзысь тайӧ теоремаыс вӧлі пасйӧма сӧмын 1840-ӧд воын, Шарль Штурм дорӧ Кристиан Лемуслӧн письмӧын. Сёрӧнджык сійӧс подулалӧма Якоб Штейнер; текстыс вель сьӧкыд, дай сэні тырмытӧмторъяс эмӧсь.
Сэсся унакодь подулалӧм вӧлі лӧсьӧдӧма; на пӧвстын эмӧсь дженьыдкодьяс, но быдын эм кутшӧмкӧ аслыспӧлӧс идея. Некымын йывсьыс ми мӧдысь гижам.
Медводдза подулалӧм
Ӧні подулалам Штейнер−Лемуслысь теоремасӧ (босьтӧма татысь). Подулалӧмыс абу медся дженьыд, но меным сійӧ мичаӧн кажитчис.
ABC куимпельӧсалӧн BE да CF биссектрисаясыс ӧтыдждаӧсь. Колӧ петкӧдлыны: ∠ABC = ∠ACB.
Гижтам GBE куимпельӧса сідзи, медым ∆GBE да ∆AFC вӧліны ӧткодьӧсь, а G да A чутъяс куйлісны ӧти тшӧтшкӧсджынйын BE визь серти.
Миян артмӧ: ∠BGE = ∠BAE. Сідзкӧ (планиметрия курсысь теорема серти) B, G, A да E чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын.
Сідзкӧ ∠ABE = ∠AGE (найӧ мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегырӧ да).
Гижтам GH — ∆BGE-лысь биссектрисасӧ. Пасъям I шыпасӧн BE да CF-лысь вомӧнасянінсӧ.
Петкӧдлам: ∠AIE = ∠AGH.
∠AIE лоӧ ∆BAI-лӧн ортсы пельӧсӧн; формула серти,
∠AIE = ∠ABI + ∠BAI.
I чут — ABC куимпельӧсалӧн биссектрисаяслӧн вомӧнасянін, та вӧсна
∠BAI = ∠BAC/2.
Но ∆GBE = ∆AFC, та вӧсна ∠BAC/2 = ∠BGE/2 = ∠EGH.
Сідзкӧ
∠BAI = ∠EGH.
Кыдзи ми тӧдам нин, ∠ABE = ∠AGE, а ∠ABI да ∠ABE — ӧти сійӧ жӧ пельӧс. Сідзкӧ
∠ABI = ∠AGE.
Миян артмис:
∠AIE = ∠ABI + ∠BAI = ∠AGE + ∠EGH = ∠AGH.
Ӧні казялам: ∠AIE + ∠AIH = 180°; сідзкӧ
∠AGH + ∠AIH = 180°.
Та вӧсна A, G, H, I чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын (планиметрия курсысь теорема серти).
Казьтыштам: GH да AI — ӧткодь куимсэрӧгъяслӧн лӧсялана пельӧсъяслӧн биссектрисаяс; сідзкӧ найӧ ӧтыдждаӧсь. Миян артмӧ: GH да AI — ӧтыджда хордаяс. Та вӧсна IH да AG вундӧгъяс — параллельяс.
Ӧні ми вермам петкӧдлыны, мый ∠ABC = ∠ACB.
Ми тӧдам нин:
∠ABC/2 = ∠ABE = ∠AGE;
∠ACB/2 = ∠ACF = ∠GEB (лӧсялана пельӧсъяс ӧткодь куимсэрӧгъясын);
∠AGE = ∠GEB (ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс; AG да BE — параллельяс).
Сідзкӧ ∠ABC/2 = ∠ACB/2, кытысь ∠ABC = ∠ACB.
Мӧд подулалӧм
Гижам Штейнер−Лемуслӧн теоремалы мӧд подулалӧмсӧ. Сійӧс вӧзйӧма Д. О. Шкляркӧйлӧн кружокын велӧдчысь Лидия Копейкина 1939-ӧд воын (сэсся сійӧ лоӧма мехматса доцентӧн).
ABC куимпельӧсаын BM да CN биссектрисаяс ӧткузяӧсь. Гижтам M да N чутъяс пыр BC‐лы параллельяс; найӧ вомӧнасясны AB да AC‐кӧд P да Q чутъясын.
MP да NQ вундӧгъяс кӧ лӧсяласны, позяс нин аддзыны: ∠ABC = ∠ACB.
Ӧні подулалам паныдсянь, мый MP да NQ лӧсялӧны. Мед, шуам, PM визь куйлӧ NQ да BC визьяс костын.
Ми аддзам: ∠PMB = ∠MBC (найӧ ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс да). BM — биссектриса, та вӧсна ∠MBC = ∠PBM. Сідзкӧ ∠PMB = ∠PBM, кытысь артмӧ: PB = PM. Татшӧм жӧ ногӧн позьӧ подулавны, мый QC = QN.
Миян артмисны ӧткодь берда куимпельӧсаяс: ∆BPM да ∆CQN; налӧн подувъясыс (BM да CN) ӧткузяӧсь. PM куйлӧ NQ да BC костын, та понда PM > NQ. Сідзкӧ ∠PBM > ∠QCN. Казьтыштам, мый BM да CN — биссектрисаяс, да аддзам: ∠ABC > ∠ACB.
Ӧні видлалам BPMC трапециясӧ. ∠PBC > ∠MCB ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: PB < MC. Сідзкӧ
PB < MC < QC = NQ < PM = PB,
либӧ PB < PB. Тайӧ кыв вожалӧм.
Коймӧд подулалӧм
Ӧні гижам Штейнер−Лемуслӧн теоремалы нӧшта ӧти подулалӧм — буракӧ медся дженьыдсӧ. Сійӧс лӧсьӧдӧмаӧсь англияса кык инженер — Г. Джильберт да Д. Мак-Доннелл; йӧзӧдӧмаӧсь 1963-ӧд воын American Mathematical Monthly журналын.
ABC куимпельӧсалӧн ∠ABC < ∠ACB, BM да CN — сылӧн биссектрисаяс. Петкӧдлам: CN < BM (мӧд ногӧн кӧ шуны, биссектрисаясыс абу ӧткузяӧсь).
Мед ∠ABC = 2β, ∠ACB = 2γ (сідзкӧ β < γ). Гижтам CN да CM костті CP визьньӧв сідзи, медым ∠NCP = β. CP визь вомӧнасис BM вундӧгкӧд M' чутын.
Ми аддзам: ∠NBM' = ∠NCM'. Планиметрия курсысь теорема серти, N, B, C да M' чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын.
Ӧні видлалам тӧрӧдчӧм кык пельӧс: ∠NBC да ∠M'CB. Ми аддзам: ∠NBC = 2β < β + γ = ∠M'CB. Планиметрия курсысь ми тӧдам: ичӧтджык пельӧс мыджсьӧ дженьыдджык хорда вылӧ. Сідзкӧ CN < BM'. Но BM' < BM. Со миян и артмис CN > BM ӧткодьтӧмлун.
