Просмотр исходного текста страницы Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема

==Терминъяс==
 куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник
 ӧткодь берда куимпельӧса — равнобедренный треугольник
 боквыв дор — боковая сторона 
 судта — высота
 ӧткодь куимпельӧсаяс — равные треугольники
 ӧткодь куимсэрӧгъяс — равные треугольники
 лӧсялана пельӧсъяс — соответствующие углы (в равных треугольниках)
 тшӧтшкӧсджын — полуплоскость 
 ортсы пельӧс — внешний угол
 ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс — накрест лежащие углы
 лӧсялысь вундӧгъяс — совпадающие отрезки
 паныдсянь подулавны — доказать от противного 
 ӧткодьтӧмлун — неравенство 
 кыв вожалӧм — противоречие
 визьньӧв — луч 
 вундӧг — отрезок
 кытшвизь — окружность
 тӧрӧдчӧм пельӧс — вписанный угол

==Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема==

Школа геометрияысь ми тӧдам: куимпельӧса кӧ ӧткодь берда, сэки
# сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм судтаяс ӧткузяӧсь,
# сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм медианаяс ӧткузяӧсь,
# сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм биссектрисаяс ӧткузяӧсь.

Позьӧ-ӧ шуны мӧдарӧ: куимпельӧсалӧн кӧ эм ӧткузя кык судта (медиана, биссектриса), сэки куимпельӧсаыс ӧткодь берда? Вӧлӧмкӧ, позьӧ.

Судтаяс да медианаяс йылысь теоремаяссӧ абу вывті сьӧкыд подулавны; коді школа геометрия тӧдӧ, ӧдйӧ аддзас серпас вылысь ӧткодь куимпельӧсаяс да гӧгӧрвоас, мый ∠''B'' = ∠''C''.

[[Файл:Sudta mediana001.jpg|thumb|center|330px|]]

Вӧлӧмкӧ, биссектрисаяс йылысь теоремасӧ подулавны сьӧкыдджык нин. Медводзысь тайӧ теоремаыс вӧлі пасйӧма сӧмын 1840-ӧд воын, Шарль Штурм дорӧ Кристиан Лемуслӧн письмӧын. Сёрӧнджык сійӧс подулалӧма Якоб Штейнер; текстыс вель сьӧкыд, дай сэні тырмытӧмторъяс эмӧсь.

[[Файл:411px-JakobSteiner.jpg|thumb|center|220px|]]

Сэсся унакодь подулалӧм вӧлі лӧсьӧдӧма; на пӧвстын эмӧсь дженьыдкодьяс, но быдын эм кутшӧмкӧ аслыспӧлӧс идея. Некымын йывсьыс ми мӧдысь гижам.

==Медводдза подулалӧм==

Ӧні подулалам Штейнер−Лемуслысь теоремасӧ (босьтӧма татысь). Подулалӧмыс абу медся дженьыд, но меным сійӧ мичаӧн кажитчис.

''ABC'' куимпельӧсалӧн ''BE'' да ''CF'' биссектрисаясыс ӧтыдждаӧсь. Колӧ петкӧдлыны: ∠''ABC'' = ∠''ACB''.

[[Файл:St lem101.jpg|thumb|center|220px|]]

Гижтам ''GBE'' куимпельӧса сідзи, медым ∆''GBE'' да ∆''AFC'' вӧліны ӧткодьӧсь, а ''G'' да ''A'' чутъяс куйлісны ӧти тшӧтшкӧсджынйын ''BE'' визь серти.

[[Файл:St lem2.jpg|thumb|center|220px|]]

Миян артмӧ: ∠''BGE'' = ∠''BAE''. Сідзкӧ (планиметрия курсысь теорема серти) ''B'', ''G'', ''A'' да ''E'' чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын.

[[Файл:St lem3.jpg|thumb|center|220px|]]

Сідзкӧ ∠''ABE'' = ∠''AGE'' (найӧ мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегырӧ да).

Гижтам ''GH'' —  ∆''BGE''-лысь биссектрисасӧ. Пасъям ''I'' шыпасӧн ''BE'' да ''CF''-лысь вомӧнасянінсӧ.

[[Файл:St lem4.jpg|thumb|center|220px|]]

Петкӧдлам: ∠''AIE'' = ∠''AGH''. 

[[Файл:St lem5.jpg|thumb|center|220px|]]

∠''AIE'' лоӧ ∆''BAI''-лӧн ортсы пельӧсӧн; формула серти,

 ∠''AIE'' = ∠''ABI'' + ∠''BAI''.

''I'' чут — ''ABC'' куимпельӧсалӧн биссектрисаяслӧн вомӧнасянін, та вӧсна 

 ∠''BAI'' = ∠''BAC''/2.

Но ∆''GBE'' = ∆''AFC'', та вӧсна ∠''BAC''/2 = ∠''BGE''/2 = ∠''EGH''.

Сідзкӧ

 ∠''BAI'' = ∠''EGH''.

Кыдзи ми тӧдам нин, ∠''ABE'' = ∠''AGE'', а ∠''ABI'' да ∠''ABE'' — ӧти сійӧ жӧ пельӧс. Сідзкӧ 

 ∠''ABI'' = ∠''AGE''.

Миян артмис:  

 ∠''AIE'' = ∠''ABI'' + ∠''BAI'' = ∠''AGE'' + ∠''EGH'' = ∠''AGH''.

 
Ӧні казялам: ∠''AIE'' + ∠''AIH'' = 180°; сідзкӧ 

 ∠''AGH'' + ∠''AIH'' = 180°.

Та вӧсна ''A'', ''G'', ''H'', ''I'' чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын (планиметрия курсысь теорема серти).

[[Файл:St lem6.jpg|thumb|center|220px|]]

Казьтыштам: ''GH'' да ''AI'' — ӧткодь куимсэрӧгъяслӧн лӧсялана пельӧсъяслӧн биссектрисаяс; сідзкӧ найӧ ӧтыдждаӧсь. Миян артмӧ: ''GH'' да ''AI'' — ӧтыджда хордаяс. Та вӧсна ''IH'' да ''AG'' вундӧгъяс — параллельяс.

[[Файл:St lem7.jpg|thumb|center|220px|]]

Ӧні ми вермам петкӧдлыны, мый ∠''ABC'' = ∠''ACB''.

Ми тӧдам нин:

∠''ABC''/2 = ∠''ABE'' = ∠''AGE'';

∠''ACB''/2 = ∠''ACF'' = ∠''GEB'' (лӧсялана пельӧсъяс ӧткодь куимсэрӧгъясын);

∠''AGE'' = ∠''GEB'' (ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс; ''AG'' да ''BE'' — параллельяс).

Сідзкӧ ∠''ABC''/2 = ∠''ACB''/2, кытысь ∠''ABC'' = ∠''ACB''.

==Мӧд подулалӧм==
Гижам Штейнер−Лемуслӧн теоремалы мӧд подулалӧмсӧ. Сійӧс вӧзйӧма Д. О. Шкляркӧйлӧн кружокын велӧдчысь Лидия Копейкина 1939-ӧд воын (сэсся сійӧ лоӧма мехматса доцентӧн).

''ABC'' куимпельӧсаын ''BM'' да ''CN'' биссектрисаяс ӧткузяӧсь. Гижтам ''M'' да ''N'' чутъяс пыр ''BC''‐лы параллельяс; найӧ вомӧнасясны ''AB'' да ''AC''‐кӧд ''P'' да ''Q'' чутъясын.

[[Файл:St lem kop1.jpg|thumb|center|220px|]]

''MP'' да ''NQ'' вундӧгъяс кӧ лӧсяласны, позяс нин аддзыны: ∠''ABC'' = ∠''ACB''.

[[Файл:St lem kop2.jpg|thumb|center|220px|]]

Ӧні подулалам паныдсянь, мый ''MP'' да ''NQ'' лӧсялӧны. Мед, шуам, ''PM'' визь куйлӧ ''NQ'' да ''BC'' визьяс костын.

[[Файл:St lem kop3.jpg|thumb|center|220px|]]

Ми аддзам: ∠''PMB'' = ∠''MBC'' (найӧ ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс да). ''BM'' — биссектриса, та вӧсна ∠''MBC'' = ∠''PBM''. Сідзкӧ ∠''PMB'' = ∠''PBM'', кытысь артмӧ: ''PB'' = ''PM''. Татшӧм жӧ ногӧн позьӧ подулавны, мый ''QC'' = ''QN''. 

Миян артмисны ӧткодь берда куимпельӧсаяс: ∆''BPM'' да ∆''CQN''; налӧн подувъясыс (''BM'' да ''CN'') ӧткузяӧсь. ''PM'' куйлӧ ''NQ'' да ''BC'' костын, та понда ''PM'' > ''NQ''. Сідзкӧ ∠''PBM'' > ∠''QCN''. Казьтыштам, мый ''BM'' да ''CN'' — биссектрисаяс, да аддзам: ∠''ABC'' > ∠''ACB''.

Ӧні видлалам ''BPMC'' трапециясӧ. ∠''PBC'' > ∠''MCB'' ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: ''PB'' < ''MC''. Сідзкӧ

 ''PB'' < ''MC'' < ''QC'' = ''NQ'' < ''PM'' = ''PB'',

либӧ ''PB'' < ''PB''. Тайӧ кыв вожалӧм.

==Коймӧд подулалӧм==
Ӧні гижам Штейнер−Лемуслӧн теоремалы нӧшта ӧти подулалӧм — буракӧ медся дженьыдсӧ. Сійӧс лӧсьӧдӧмаӧсь англияса кык инженер — Г. Джильберт да Д. Мак-Доннелл; йӧзӧдӧмаӧсь 1963-ӧд воын American Mathematical Monthly журналын.

''ABC'' куимпельӧсалӧн ∠''ABC'' < ∠''ACB'', ''BM'' да ''CN'' — сылӧн биссектрисаяс. Петкӧдлам: ''CN'' < ''BM'' (мӧд ногӧн кӧ шуны, биссектрисаясыс абу ӧткузяӧсь).

[[Файл:St lem kop1.jpg|thumb|center|220px|]]

Мед ∠''ABC'' = 2''β'', ∠''ACB'' = 2''γ'' (сідзкӧ ''β'' < ''γ''). Гижтам ''CN'' да ''CM'' костті ''CP'' визьньӧв сідзи, медым ∠''NCP'' = ''β''. ''CP'' визь вомӧнасис ''BM'' вундӧгкӧд ''M''' чутын. 

Ми аддзам: ∠''NBM' '' = ∠''NCM'.'' Планиметрия курсысь теорема серти, ''N'', ''B'', ''C'' да ''M''' чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын.

Ӧні видлалам тӧрӧдчӧм кык пельӧс: ∠''NBC'' да ∠''M'CB''. Ми аддзам: ∠''NBC'' = 2''β'' < ''β'' + ''γ'' = ∠''M'CB''. Планиметрия курсысь ми тӧдам: ичӧтджык пельӧс мыджсьӧ дженьыдджык хорда вылӧ. Сідзкӧ ''CN'' < ''BM'.'' Но ''BM''' < ''BM''. Со миян и артмис ''CN'' > ''BM'' ӧткодьтӧмлун.

==Содтӧд юӧр==
[https://lovziem.blogspot.com/2022/06/1.html Велӧдӧм паськӧдан блогын − 1.]

[https://lovziem.blogspot.com/2022/07/2.html Велӧдӧм паськӧдан блогын − 2.]

[https://lovziem.blogspot.com/2022/07/3.html Велӧдӧм паськӧдан блогын − 3.]

[https://lovziem.blogspot.com/2022/07/4.html Велӧдӧм паськӧдан блогын − 4.]

[[Category:Математика]]