Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема — различия между версиями

Материал из Коми тӧданін
(→‎Терминъяс)
(→‎Медводдза подулалӧм)
Строка 31: Строка 31:
  
 
==Медводдза подулалӧм==
 
==Медводдза подулалӧм==
 +
 +
Ӧні подулалам Штейнер−Лемуслысь теоремасӧ (босьтӧма татысь). Подулалӧмыс абу медся дженьыд, но меным сійӧ мичаӧн кажитчис.
 +
 +
ABC куимпельӧсалӧн BE да CF биссектрисаясыс ӧтыдждаӧсь. Колӧ петкӧдлыны: ∠ABC = ∠ACB.
 +
 +
Гижтам GBE куимпельӧса сідзи, медым ∆GBE да ∆AFC вӧліны ӧткодьӧсь, а G да A чутъяс куйлісны ӧти тшӧтшкӧсджынйын BE визь серти.
 +
 +
Миян артмӧ: ∠BGE = ∠BAE. Сідзкӧ (планиметрия курсысь теорема серти) B, G, A да E чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын.
 +
 +
Сідзкӧ ∠ABE = ∠AGE (найӧ мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегырӧ да).
 +
 +
Гижтам GH —  ∆BGE-лысь биссектрисасӧ. Пасъям I шыпасӧн BE да CF-лысь вомӧнасянінсӧ.
 +
 +
Петкӧдлам: ∠AIE = ∠AGH.
 +
 +
∠AIE лоӧ ∆BAI-лӧн ортсы пельӧсӧн; формула серти,
 +
 +
∠AIE = ∠ABI + ∠BAI.
 +
 +
I чут — ABC куимпельӧсалӧн биссектрисаяслӧн вомӧнасянін, та вӧсна
 +
 +
∠BAI = ∠BAC/2.
 +
 +
Но ∆GBE = ∆AFC, та вӧсна ∠BAC/2 = ∠BGE/2 = ∠EGH.
 +
 +
Сідзкӧ
 +
 +
∠BAI = ∠EGH.
 +
 +
Кыдзи ми тӧдам нин, ∠ABE = ∠AGE, а ∠ABI да ∠ABE — ӧти сійӧ жӧ пельӧс. Сідзкӧ
 +
 +
∠ABI = ∠AGE.
 +
 +
Миян артмис: 
 +
 +
∠AIE = ∠ABI + ∠BAI = ∠AGE + ∠EGH = ∠AGH.
 +
 +
 +
 +
Ӧні казялам: ∠AIE + ∠AIH = 180°; сідзкӧ
 +
 +
∠AGH + ∠AIH = 180°.
 +
 +
Та вӧсна A, G, H, I чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын (планиметрия курсысь теорема серти).
 +
 +
Казьтыштам: GH да AI — ӧткодь куимсэрӧгъяслӧн лӧсялана пельӧсъяслӧн биссектрисаяс; сідзкӧ найӧ ӧтыдждаӧсь. Миян артмӧ: GH да AI — ӧтыджда хордаяс. Та вӧсна IH да AG вундӧгъяс — параллельяс.
 +
 +
Ӧні ми вермам петкӧдлыны, мый ∠ABC = ∠ACB.
 +
 +
Ми тӧдам нин:
 +
 +
∠ABC/2 = ∠ABE = ∠AGE;
 +
 +
∠ACB/2 = ∠ACF = ∠GEB (лӧсялана пельӧсъяс ӧткодь куимсэрӧгъясын);
 +
 +
∠AGE = ∠GEB (ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс; AG да BE — параллельяс).
 +
 +
Сідзкӧ ∠ABC/2 = ∠ACB/2, кытысь ∠ABC = ∠ACB.
  
 
==Мӧд подулалӧм==
 
==Мӧд подулалӧм==

Версия 19:15, 8 йирым 2022

Терминъяс

куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник
ӧткодь берда куимпельӧса — равнобедренный треугольник
боквыв дор — боковая сторона 
судта — высота
ӧткодь куимпельӧсаяс — равные треугольники
ӧткодь куимсэрӧгъяс — равные треугольники
лӧсялана пельӧсъяс — соответствующие углы (в равных треугольниках)
тшӧтшкӧсджын — полуплоскость 
ортсы пельӧс — внешний угол
ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс — накрест лежащие углы

Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема

Школа геометрияысь ми тӧдам: куимпельӧса кӧ ӧткодь берда, сэки

  1. сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм судтаяс ӧткузяӧсь,
  2. сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм медианаяс ӧткузяӧсь,
  3. сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм биссектрисаяс ӧткузяӧсь.

Позьӧ-ӧ шуны мӧдарӧ: куимпельӧсалӧн кӧ эм ӧткузя кык судта (медиана, биссектриса), сэки куимпельӧсаыс ӧткодь берда? Вӧлӧмкӧ, позьӧ.

Судтаяс да медианаяс йылысь теоремаяссӧ абу вывті сьӧкыд подулавны; коді школа геометрия тӧдӧ, ӧдйӧ аддзас серпас вылысь ӧткодь куимпельӧсаяс да гӧгӧрвоас, мый ∠B = ∠C.

Sudta mediana001.jpg

Вӧлӧмкӧ, биссектрисаяс йылысь теоремасӧ подулавны сьӧкыдджык нин. Медводзысь тайӧ теоремаыс вӧлі пасйӧма сӧмын 1840-ӧд воын, Шарль Штурм дорӧ Кристиан Лемуслӧн письмӧын. Сёрӧнджык сійӧс подулалӧма Якоб Штейнер; текстыс вель сьӧкыд, дай сэні тырмытӧмторъяс эмӧсь.

411px-JakobSteiner.jpg

Сэсся унакодь подулалӧм вӧлі лӧсьӧдӧма; на пӧвстын эмӧсь дженьыдкодьяс, но быдын эм кутшӧмкӧ аслыспӧлӧс идея. Некымын йывсьыс ми мӧдысь гижам.

Медводдза подулалӧм

Ӧні подулалам Штейнер−Лемуслысь теоремасӧ (босьтӧма татысь). Подулалӧмыс абу медся дженьыд, но меным сійӧ мичаӧн кажитчис.

ABC куимпельӧсалӧн BE да CF биссектрисаясыс ӧтыдждаӧсь. Колӧ петкӧдлыны: ∠ABC = ∠ACB.

Гижтам GBE куимпельӧса сідзи, медым ∆GBE да ∆AFC вӧліны ӧткодьӧсь, а G да A чутъяс куйлісны ӧти тшӧтшкӧсджынйын BE визь серти.

Миян артмӧ: ∠BGE = ∠BAE. Сідзкӧ (планиметрия курсысь теорема серти) B, G, A да E чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын.

Сідзкӧ ∠ABE = ∠AGE (найӧ мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегырӧ да).

Гижтам GH — ∆BGE-лысь биссектрисасӧ. Пасъям I шыпасӧн BE да CF-лысь вомӧнасянінсӧ.

Петкӧдлам: ∠AIE = ∠AGH.

∠AIE лоӧ ∆BAI-лӧн ортсы пельӧсӧн; формула серти, 

∠AIE = ∠ABI + ∠BAI.

I чут — ABC куимпельӧсалӧн биссектрисаяслӧн вомӧнасянін, та вӧсна 

∠BAI = ∠BAC/2.

Но ∆GBE = ∆AFC, та вӧсна ∠BAC/2 = ∠BGE/2 = ∠EGH.

Сідзкӧ 

∠BAI = ∠EGH.

Кыдзи ми тӧдам нин, ∠ABE = ∠AGE, а ∠ABI да ∠ABE — ӧти сійӧ жӧ пельӧс. Сідзкӧ 

∠ABI = ∠AGE.

Миян артмис: 

∠AIE = ∠ABI + ∠BAI = ∠AGE + ∠EGH = ∠AGH.


Ӧні казялам: ∠AIE + ∠AIH = 180°; сідзкӧ 

∠AGH + ∠AIH = 180°.

Та вӧсна A, G, H, I чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын (планиметрия курсысь теорема серти).

Казьтыштам: GH да AI — ӧткодь куимсэрӧгъяслӧн лӧсялана пельӧсъяслӧн биссектрисаяс; сідзкӧ найӧ ӧтыдждаӧсь. Миян артмӧ: GH да AI — ӧтыджда хордаяс. Та вӧсна IH да AG вундӧгъяс — параллельяс.

Ӧні ми вермам петкӧдлыны, мый ∠ABC = ∠ACB.

Ми тӧдам нин:

∠ABC/2 = ∠ABE = ∠AGE;

∠ACB/2 = ∠ACF = ∠GEB (лӧсялана пельӧсъяс ӧткодь куимсэрӧгъясын);

∠AGE = ∠GEB (ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс; AG да BE — параллельяс).

Сідзкӧ ∠ABC/2 = ∠ACB/2, кытысь ∠ABC = ∠ACB.

Мӧд подулалӧм

Коймӧд подулалӧм

Содтӧд юӧр

Велӧдӧм паськӧдан блогын − 1.

Велӧдӧм паськӧдан блогын − 2.

Источник — «http://wiki.komikyv.org/index.php?title=Штейнерлӧн_да_Лемуслӧн_теорема&oldid=82995»