Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема — различия между версиями

Материал из Коми тӧданін
(Мӧд подулалӧм)
(Мӧд подулалӧм)
Строка 115: Строка 115:
  
 
''MP'' да ''NQ'' вундӧгъяс кӧ лӧсяласны, позяс нин аддзыны: ∠''ABC'' = ∠''ACB''.
 
''MP'' да ''NQ'' вундӧгъяс кӧ лӧсяласны, позяс нин аддзыны: ∠''ABC'' = ∠''ACB''.
 +
 +
[[Файл:St lem kop2.jpg|thumb|center|220px|]]
  
 
Ӧні подулалам паныдсянь, мый ''MP'' да ''NQ'' лӧсялӧны. Мед, шуам, ''PM'' визь куйлӧ ''NQ'' да ''BC'' визьяс костын.
 
Ӧні подулалам паныдсянь, мый ''MP'' да ''NQ'' лӧсялӧны. Мед, шуам, ''PM'' визь куйлӧ ''NQ'' да ''BC'' визьяс костын.

Версия 19:48, 8 йирым 2022

Терминъяс

куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник
ӧткодь берда куимпельӧса — равнобедренный треугольник
боквыв дор — боковая сторона 
судта — высота
ӧткодь куимпельӧсаяс — равные треугольники
ӧткодь куимсэрӧгъяс — равные треугольники
лӧсялана пельӧсъяс — соответствующие углы (в равных треугольниках)
тшӧтшкӧсджын — полуплоскость 
ортсы пельӧс — внешний угол
ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс — накрест лежащие углы
лӧсялысь вундӧгъяс — совпадающие отрезки
паныдсянь подулавны — доказать от противного 
ӧткодьтӧмлун — неравенство 
кыв вожалӧм — противоречие

Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема

Школа геометрияысь ми тӧдам: куимпельӧса кӧ ӧткодь берда, сэки

  1. сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм судтаяс ӧткузяӧсь,
  2. сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм медианаяс ӧткузяӧсь,
  3. сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм биссектрисаяс ӧткузяӧсь.

Позьӧ-ӧ шуны мӧдарӧ: куимпельӧсалӧн кӧ эм ӧткузя кык судта (медиана, биссектриса), сэки куимпельӧсаыс ӧткодь берда? Вӧлӧмкӧ, позьӧ.

Судтаяс да медианаяс йылысь теоремаяссӧ абу вывті сьӧкыд подулавны; коді школа геометрия тӧдӧ, ӧдйӧ аддзас серпас вылысь ӧткодь куимпельӧсаяс да гӧгӧрвоас, мый ∠B = ∠C.

Sudta mediana001.jpg

Вӧлӧмкӧ, биссектрисаяс йылысь теоремасӧ подулавны сьӧкыдджык нин. Медводзысь тайӧ теоремаыс вӧлі пасйӧма сӧмын 1840-ӧд воын, Шарль Штурм дорӧ Кристиан Лемуслӧн письмӧын. Сёрӧнджык сійӧс подулалӧма Якоб Штейнер; текстыс вель сьӧкыд, дай сэні тырмытӧмторъяс эмӧсь.

411px-JakobSteiner.jpg

Сэсся унакодь подулалӧм вӧлі лӧсьӧдӧма; на пӧвстын эмӧсь дженьыдкодьяс, но быдын эм кутшӧмкӧ аслыспӧлӧс идея. Некымын йывсьыс ми мӧдысь гижам.

Медводдза подулалӧм

Ӧні подулалам Штейнер−Лемуслысь теоремасӧ (босьтӧма татысь). Подулалӧмыс абу медся дженьыд, но меным сійӧ мичаӧн кажитчис.

ABC куимпельӧсалӧн BE да CF биссектрисаясыс ӧтыдждаӧсь. Колӧ петкӧдлыны: ∠ABC = ∠ACB.

St lem101.jpg

Гижтам GBE куимпельӧса сідзи, медым ∆GBE да ∆AFC вӧліны ӧткодьӧсь, а G да A чутъяс куйлісны ӧти тшӧтшкӧсджынйын BE визь серти.

St lem2.jpg

Миян артмӧ: ∠BGE = ∠BAE. Сідзкӧ (планиметрия курсысь теорема серти) B, G, A да E чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын.

St lem3.jpg

Сідзкӧ ∠ABE = ∠AGE (найӧ мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегырӧ да).

Гижтам GH — ∆BGE-лысь биссектрисасӧ. Пасъям I шыпасӧн BE да CF-лысь вомӧнасянінсӧ.

St lem4.jpg

Петкӧдлам: ∠AIE = ∠AGH.

St lem5.jpg

AIE лоӧ ∆BAI-лӧн ортсы пельӧсӧн; формула серти,

AIE = ∠ABI + ∠BAI.

I чут — ABC куимпельӧсалӧн биссектрисаяслӧн вомӧнасянін, та вӧсна

BAI = ∠BAC/2.

Но ∆GBE = ∆AFC, та вӧсна ∠BAC/2 = ∠BGE/2 = ∠EGH.

Сідзкӧ

BAI = ∠EGH.

Кыдзи ми тӧдам нин, ∠ABE = ∠AGE, а ∠ABI да ∠ABE — ӧти сійӧ жӧ пельӧс. Сідзкӧ

ABI = ∠AGE.

Миян артмис:

AIE = ∠ABI + ∠BAI = ∠AGE + ∠EGH = ∠AGH.


Ӧні казялам: ∠AIE + ∠AIH = 180°; сідзкӧ

AGH + ∠AIH = 180°.

Та вӧсна A, G, H, I чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын (планиметрия курсысь теорема серти).

St lem6.jpg

Казьтыштам: GH да AI — ӧткодь куимсэрӧгъяслӧн лӧсялана пельӧсъяслӧн биссектрисаяс; сідзкӧ найӧ ӧтыдждаӧсь. Миян артмӧ: GH да AI — ӧтыджда хордаяс. Та вӧсна IH да AG вундӧгъяс — параллельяс.

St lem7.jpg

Ӧні ми вермам петкӧдлыны, мый ∠ABC = ∠ACB.

Ми тӧдам нин:

ABC/2 = ∠ABE = ∠AGE;

ACB/2 = ∠ACF = ∠GEB (лӧсялана пельӧсъяс ӧткодь куимсэрӧгъясын);

AGE = ∠GEB (ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс; AG да BE — параллельяс).

Сідзкӧ ∠ABC/2 = ∠ACB/2, кытысь ∠ABC = ∠ACB.

Мӧд подулалӧм

Гижам Штейнер−Лемуслӧн теоремалы мӧд подулалӧмсӧ. Сійӧс вӧзйӧма Д. О. Шкляркӧйлӧн кружокын велӧдчысь Лидия Копейкина 1939-ӧд воын (сэсся сійӧ лоӧма мехматса доцентӧн).

ABC куимпельӧсаын BM да CN биссектрисаяс ӧткузяӧсь. Гижтам M да N чутъяс пыр BC‐лы параллельяс; найӧ вомӧнасясны AB да AC‐кӧд P да Q чутъясын.

St lem kop1.jpg

MP да NQ вундӧгъяс кӧ лӧсяласны, позяс нин аддзыны: ∠ABC = ∠ACB.

St lem kop2.jpg

Ӧні подулалам паныдсянь, мый MP да NQ лӧсялӧны. Мед, шуам, PM визь куйлӧ NQ да BC визьяс костын.

Ми аддзам: ∠PMB = ∠MBC (найӧ ӧтар-мӧдар куйлысь пытшкӧс пельӧсъяс да). BM — биссектриса, та вӧсна ∠MBC = ∠PBM. Сідзкӧ ∠PMB = ∠PBM, кытысь артмӧ: PB = PM. Татшӧм жӧ ногӧн позьӧ подулавны, мый QC = QN.

Миян артмисны ӧткодь берда куимпельӧсаяс: ∆BPM да ∆CQN; налӧн подувъясыс (BM да CN) ӧткузяӧсь. PM куйлӧ NQ да BC костын, та понда PM > NQ. Сідзкӧ ∠PBM > ∠QCN. Казьтыштам, мый BM да CN — биссектрисаяс, да аддзам: ∠ABC > ∠ACB.

Ӧні видлалам BPMC трапециясӧ. ∠PBC > ∠MCB ӧткодьтӧмлунысь артмӧ: PB < MC. Сідзкӧ

PB < MC < QC = NQ < PM = PB,

либӧ PB < PB. Тайӧ кыв вожалӧм.

Коймӧд подулалӧм

Содтӧд юӧр

Велӧдӧм паськӧдан блогын − 1.

Велӧдӧм паськӧдан блогын − 2.