Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема
Содержание
Терминъяс
куимпельӧса, куимсэрӧг — треугольник ӧткодь берда куимпельӧса — равнобедренный треугольник боквыв дор — боковая сторона судта — высота ӧткодь куимпельӧсаяс — равные треугольники ӧткодь куимсэрӧгъяс — равные треугольники лӧсялана пельӧсъяс — соответствующие углы (в равных треугольниках) тшӧтшкӧсджын — полуплоскость ортсы пельӧс — внешний угол ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс — накрест лежащие углы
Штейнерлӧн да Лемуслӧн теорема
Школа геометрияысь ми тӧдам: куимпельӧса кӧ ӧткодь берда, сэки
- сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм судтаяс ӧткузяӧсь,
- сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм медианаяс ӧткузяӧсь,
- сылӧн боквыв доръяслань нуӧдӧм биссектрисаяс ӧткузяӧсь.
Позьӧ-ӧ шуны мӧдарӧ: куимпельӧсалӧн кӧ эм ӧткузя кык судта (медиана, биссектриса), сэки куимпельӧсаыс ӧткодь берда? Вӧлӧмкӧ, позьӧ.
Судтаяс да медианаяс йылысь теоремаяссӧ абу вывті сьӧкыд подулавны; коді школа геометрия тӧдӧ, ӧдйӧ аддзас серпас вылысь ӧткодь куимпельӧсаяс да гӧгӧрвоас, мый ∠B = ∠C.
Вӧлӧмкӧ, биссектрисаяс йылысь теоремасӧ подулавны сьӧкыдджык нин. Медводзысь тайӧ теоремаыс вӧлі пасйӧма сӧмын 1840-ӧд воын, Шарль Штурм дорӧ Кристиан Лемуслӧн письмӧын. Сёрӧнджык сійӧс подулалӧма Якоб Штейнер; текстыс вель сьӧкыд, дай сэні тырмытӧмторъяс эмӧсь.
Сэсся унакодь подулалӧм вӧлі лӧсьӧдӧма; на пӧвстын эмӧсь дженьыдкодьяс, но быдын эм кутшӧмкӧ аслыспӧлӧс идея. Некымын йывсьыс ми мӧдысь гижам.
Медводдза подулалӧм
Ӧні подулалам Штейнер−Лемуслысь теоремасӧ (босьтӧма татысь). Подулалӧмыс абу медся дженьыд, но меным сійӧ мичаӧн кажитчис.
ABC куимпельӧсалӧн BE да CF биссектрисаясыс ӧтыдждаӧсь. Колӧ петкӧдлыны: ∠ABC = ∠ACB.
Гижтам GBE куимпельӧса сідзи, медым ∆GBE да ∆AFC вӧліны ӧткодьӧсь, а G да A чутъяс куйлісны ӧти тшӧтшкӧсджынйын BE визь серти.
Миян артмӧ: ∠BGE = ∠BAE. Сідзкӧ (планиметрия курсысь теорема серти) B, G, A да E чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын.
Сідзкӧ ∠ABE = ∠AGE (найӧ мыджсьӧны ӧти сійӧ жӧ мегырӧ да).
Гижтам GH — ∆BGE-лысь биссектрисасӧ. Пасъям I шыпасӧн BE да CF-лысь вомӧнасянінсӧ.
Петкӧдлам: ∠AIE = ∠AGH.
∠AIE лоӧ ∆BAI-лӧн ортсы пельӧсӧн; формула серти,
∠AIE = ∠ABI + ∠BAI.
I чут — ABC куимпельӧсалӧн биссектрисаяслӧн вомӧнасянін, та вӧсна
∠BAI = ∠BAC/2.
Но ∆GBE = ∆AFC, та вӧсна ∠BAC/2 = ∠BGE/2 = ∠EGH.
Сідзкӧ
∠BAI = ∠EGH.
Кыдзи ми тӧдам нин, ∠ABE = ∠AGE, а ∠ABI да ∠ABE — ӧти сійӧ жӧ пельӧс. Сідзкӧ
∠ABI = ∠AGE.
Миян артмис:
∠AIE = ∠ABI + ∠BAI = ∠AGE + ∠EGH = ∠AGH.
Ӧні казялам: ∠AIE + ∠AIH = 180°; сідзкӧ
∠AGH + ∠AIH = 180°.
Та вӧсна A, G, H, I чутъяс куйлӧны ӧти кытшвизь вылын (планиметрия курсысь теорема серти).
Казьтыштам: GH да AI — ӧткодь куимсэрӧгъяслӧн лӧсялана пельӧсъяслӧн биссектрисаяс; сідзкӧ найӧ ӧтыдждаӧсь. Миян артмӧ: GH да AI — ӧтыджда хордаяс. Та вӧсна IH да AG вундӧгъяс — параллельяс.
Ӧні ми вермам петкӧдлыны, мый ∠ABC = ∠ACB.
Ми тӧдам нин:
∠ABC/2 = ∠ABE = ∠AGE;
∠ACB/2 = ∠ACF = ∠GEB (лӧсялана пельӧсъяс ӧткодь куимсэрӧгъясын);
∠AGE = ∠GEB (ӧтар-мӧдар куйлысь пельӧсъяс; AG да BE — параллельяс).
Сідзкӧ ∠ABC/2 = ∠ACB/2, кытысь ∠ABC = ∠ACB.
